考點(diǎn)04 平面向量（解析版）-2024年新高考藝體生一輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)04平面向量一．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．（沒(méi)有方向上的規(guī)定）(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任一向量平行或共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量二．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2.向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).向量在平面幾何中的應(yīng)用線平行、點(diǎn)共線：∥?＝λ?x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，≠0垂直：⊥?·＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且a，為非零向量夾角：(θ為向量，b的夾角)，其中，為非零向量長(zhǎng)度：||＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中＝(x，y)，為非零向量4．向量的夾角（1）已知兩個(gè)非零向量和，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，則∠AOB就是向量與的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]（2）夾角cosθ＝＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))5．平面向量的數(shù)量積（1）定義：設(shè)兩個(gè)非零向量，b的夾角為θ，則數(shù)量||||·cosθ叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作·（2）投影：||cosθ叫做向量在方向上的投影，||cosθ叫做向量在方向上的投影（3）幾何意義：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積6．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)·＝·.(2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·.(3)(＋)·＝·c＋·三．向量的線性運(yùn)算（一）加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算1.三角形法則：首尾連，連首尾2.平行四邊形法則：起點(diǎn)相同連對(duì)角交換律：＋＝＋結(jié)合律：(＋)＋＝＋(＋)減法1.三角形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減2.平行四邊形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減四．?dāng)?shù)乘：求實(shí)數(shù)λ與向量的積的運(yùn)算1.數(shù)乘：|λ|＝|λ|||，當(dāng)λ>0時(shí)，λ與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λ與的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λ＝0（1）λ(μ)＝(λμ)（2）(λ＋μ)＝λ＋μ（3）λ(＋)＝λ＋λ3．向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得＝λ.4．平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底五．易錯(cuò)點(diǎn)1.向量數(shù)量積不滿足：①消去律，即·＝·?＝②結(jié)合律，即(·)·?·(·)．2.·＝0不能推出＝0或＝0，因?yàn)椤ぃ?時(shí)，有可能⊥3.·＝·(≠0)不能推出＝，即消去律不成立．4.相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．5.共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．6.向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．7.非零向量與的關(guān)系：是與同方向的單位向量．考點(diǎn)一向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例11】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知向量，，若，則（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，即，所以．故選：D【例12】（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）設(shè)，，，，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】由向量，當(dāng)時(shí)，可得，解得；當(dāng)時(shí)，可得，解得，所以是的充分不必要條件.故選：A.【例13】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.【變式】1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D2．（2023上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【解析】由可得，即，故，故選：B3．（2023·山東·統(tǒng)考一模）已知向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】，由可得，解得.故選：D4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】向量滿足，所以.故選：B5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】法一：用坐標(biāo)表示向量由題意可知，，由得，，整理得，，所以．則A對(duì)；法二：因?yàn)橄蛄?，所以，又，所以，所?故選：A．考點(diǎn)二數(shù)量積【例21】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量均為單位向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以.故選：B【例22】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.【例23】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）平面向量，，且．若，則（

）A．0 B．2 C．0或 D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，，，所以，即，解得或．故選：C．【變式】1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，且，，則（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】∵，∴．∵，，∴，∴，∴．故選：D．2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，將代入可得，所以，所以，由于，所以，故選：B3．（2023·安徽）設(shè)非零向量，滿足且，則，的夾角大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，的夾角為，由，得，即．因?yàn)?，所以不妨設(shè)，則，所以，解得．因?yàn)?，所以．故選：C．4．（2023·云南）已知平面向量，滿足，，，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】A【解析】將兩邊同時(shí)平方，得，而，，，因此，即依題意，又，所以.故選：A5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B.考點(diǎn)三向量的線性運(yùn)算【例31】（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，故選：C.【例32】（2023上·遼寧）在中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以M是位于BC上的靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，如下圖所示：所以.故選：D【例33】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)?，則，整理得，可得，所以.故選：A.【變式】1．（2023·陜西）在中，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，．兩式相減，得，所以．故選：D．2．（2023·四川）設(shè)，為所在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，故選：B.3．（2023湖北）如圖所示，在中，，，若，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選：B4．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為△所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，為邊的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知,故選：.5．（2024·四川）設(shè)，為所在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示，因?yàn)?，所以，所以，故選：D6．（2023·安徽）如圖，在中，，P為上一點(diǎn)，且滿足，則m的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，即，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以.故選：C考向四投影向量與投影長(zhǎng)【例41】（2023北京）已知為單位向量，，則在方向上的投影的數(shù)量為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】由題意，在方向上的投影的數(shù)量為：故選：C【例42】（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A．1 B．1 C． D．【答案】C【解析】由題知，因?yàn)椋?，所以，所以，向量在向量上的投影向量為?故選：C.【變式】1．（2024湖南）已知向量，滿足，且，則在方向上的投影為（）A．3 B．3 C． D．【答案】B【解析】由,得,,于是,因此在方向上的投影為.故選：B2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意得，所以，解得，所以，所以，則向量在向量上的投影向量為．故選：D．3．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，則，，則，則向量在向量上的投影向量為.故選：B考向五平面向量與其他知識(shí)綜合【例51】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知，，，，若存在非零實(shí)數(shù)使得，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】若存在非零實(shí)數(shù)使得，即，又，，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：B【例52】．（2023上·廣西河池·高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A． B．1 C．或1 D．【答案】C【解析】，則，即，當(dāng)時(shí)，即，則，結(jié)合，解得或者，結(jié)合檢驗(yàn)得；當(dāng)時(shí)，滿足題意.故選：C【變式】1．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），向量，的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），故存在，使得，即，即，因?yàn)橄蛄?，所以，可得，，，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C．2．（2023上·貴州六盤(pán)水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x，y為非零實(shí)數(shù)，向量，為非零向量，則“”是“存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，故，整理得到，即，故，共線且方向相同，存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得，故，共線，即“”是“存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得”的充分不必要條件.故選：A.3．（2023下·安徽滁州·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）在三角形中，記為的面積，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，因?yàn)?，即，又，則，所以.1．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知向量，且與共線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，又與共線，，化簡(jiǎn)得.故選：C.2．（2023·四川綿陽(yáng)）已知向量，若，則實(shí)數(shù)m等于（

）A． B．0 C．1 D．【答案】D【解析】由題意：；故選：D.3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則（

）A．14 B． C．50 D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，，，所以，解得：?故選：C.4．（2023·海南）已知，，，若，則（

）A．9 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解?故選：A．5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知向量，且，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】，由于，所以.故選：C6．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·?？寄M預(yù)測(cè)）若向量，且，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【解析】，，由，得，解得.故選：B．7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．若非零實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，．因?yàn)椋?，整理得，即．故選:A．8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，．故選：B9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，若實(shí)數(shù)m，n滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，又，所以，即，所以與的夾角為,故選：B.10．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知得，，，若，則，即，解得，所以“”“”，但“”“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B．11．（2023·河北）已知，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一

由題意，得，．∵，∴，即，∴，解得．方法二

∵，∴，∴，∴．故選:B．12．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與的夾角為，且，則（

）A． B．2 C．2 D．【答案】C【解析】，解得：.因此可得：.故選：C13．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）已知單位向量，的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】因?yàn)閱挝幌蛄浚膴A角為，所以，所以，所以.故選：B14．（2023上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以又，則所以，則，故選：15．（2023·湖南）若非零向量，的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得：，即：，整理得：.根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算公式可得：，由于，可得：，解得：.故選：C16．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故選：C17．（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)單位向量與滿足，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：，設(shè)與的夾角為，則，又，；法二：根據(jù)，，取，設(shè)，與的夾角為，從而，又，；法三：利用運(yùn)算法則，設(shè)，，，則，如圖，則設(shè)向量與夾角為，則，，，，又，.故選：A18．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知向量，，，，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄浚?，，，所以，，向量在向量方向上的投影向量?故選：C19．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在梯形中，，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

由題意可得，，，則，則，所以.故選：A20．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）設(shè)向量，為單位向量，且，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，，，所以，即，所以，即，又因?yàn)椋?，所?故選：C.21．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在梯形中，，，，，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.故選：C.22．（2023·四川宜賓·?？既＃┤羲倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，，分別為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，，所以.所以故選：A23（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知不共線的平面向量，滿足，則（

）A．B．與的夾角為銳角C．D．與的夾角為鈍角的充要條件是【答案】AD【解析】將兩邊平方并整理，得，即，因?yàn)椴还簿€，所以，A正確.將兩邊平方并整理，得，即，所以與的夾角為直角，B錯(cuò)誤.由，得，所以，C錯(cuò)誤，因?yàn)椴还簿€，所以與不共線，則與的夾角為鈍角的充要條件是，即，D正確.故選：AD.24．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）（多選）設(shè)向量，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對(duì)A，，所以，所以，故A正確；對(duì)B，，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，且為不共線的兩向量，所以，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋覟椴还簿€的兩向量，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.25．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知平面向量.下列命題中的真命題有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若且與的夾角為，則【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，若是零向量，則由不等得到，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，則，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，即，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若且與的夾角為，則，兩邊平方得，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD26．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【解析】法一：因?yàn)?，即，則，整理得，又因?yàn)?，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.27．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，且，則．【答案】【解析】由，得，即．整理得，解得，所以，所以，故．故答案為：28．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考一模）若平面向量與的夾角為，，，則.【答案】2【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為：2.29．（2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，滿足，則.【答案】【解析】已知單位向量，，則所以故.故答案為：.30．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，的夾角為，則向量與的夾角的余弦值為．【答案】/【解析】因?yàn)閱挝幌蛄浚膴A角為，所以，，所以.故答案為：.1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則【答案】3【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.2．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知單位向量，滿足，則與的夾角的余弦值為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?/p>