高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題28 幾何證明選講（含解析）試題

一、填空題1．(文)如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝70°，CF是△ABC的邊AB上的高，F(xiàn)P⊥BC于點(diǎn)P，F(xiàn)Q⊥AC于點(diǎn)Q，則∠CQP的大小為________．[答案]50°[解析]由PF⊥BC，F(xiàn)Q⊥AC，得C、Q、F、P四點(diǎn)共圓，所以∠CQP＝∠CFP＝∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－(60°＋70°)＝50°.(理)如圖，已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于B、C兩點(diǎn)，AC＝eq\r(3)，∠PAB＝30°，則線段PB的長(zhǎng)為________．[答案]1[解析]因?yàn)镻A是圓O的切線，∠PAB＝30°，由弦切角定理可得∠ACB＝∠PAB＝30°，而∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，所以AB＝eq\f(1,2)BC，又因?yàn)锳C＝eq\r(3)，所以AB＝1，BC＝2，∠PBA＝120°，所以∠APB＝∠PAB＝30°，∴PB＝AB＝1.2．(文)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝eq\r(2)，AFFBBE＝421.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為________．[答案]eq\f(\r(7),2)[解析]設(shè)BE＝a，則AF＝4a，F(xiàn)B＝2a，根據(jù)相交弦定理：DF·FC＝AF·FB，則2＝8a2，∴a2＝eq\f(1,4)，由切割線定理：EC2＝BE·AE＝7a2∴EC2＝eq\f(7,4)，∴EC＝eq\f(\r(7),2).(理)(2014·湖南理，12)如圖，已知AB、BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，則⊙O的半徑等于________．[答案]eq\f(3,2)[解析]本題考查勾股定理、相交弦定理．設(shè)線段AO交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AO交圓于另外一點(diǎn)E，則BD＝DC＝eq\r(2)，在三角形ABD中由勾股定理可得AD＝1，由相交弦定理可得BD·DC＝AD·DE，∴DE＝2，則直徑AE＝3?r＝eq\f(3,2)，故填eq\f(3,2).3．(2015·湖北理，15)如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的割線，且BC＝3PB，則eq\f(AB,AC)＝________.[答案]eq\f(1,2)[解析]設(shè)PB＝a，則BC＝3a，由PA2＝PB·PC可得PA＝2a；又因?yàn)椤鱌AB∽△所以由eq\f(PA,PC)＝eq\f(AB,CA)可解得eq\f(AB,AC)＝eq\f(1,2).故本題正確答案為eq\f(1,2).4．(文)如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PDDB＝916，則PD＝________，AB＝________.[答案]eq\f(9,5)，4[解析]由于PDDB＝916，設(shè)PD＝9a，則DB＝16a，根據(jù)切割線定理有PA2＝PD·PB有a＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，在直角△PBA中，AB2＝PB2－AP2＝16，所以AB＝4.(理)(2015·重慶理，14)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CEED＝21，則BE＝________.[答案]2[解析]此題主要考查切割線定理，屬于簡(jiǎn)單題型．由切割線定理知PA2＝PC·PD，易得PD＝12，故CD＝PD－PC＝9，因?yàn)镃EED＝21，故CE＝6，ED＝3.由相交弦定理可得AE·EB＝CE·ED，又因?yàn)锳E＝9，CE＝6，ED＝3，易得EB＝2.5．(文)(2015·廣東理，15)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB＝4，EC是圓O的切線，切點(diǎn)為C，BC＝1.過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P，則OD＝________.[答案]8[解析]本題考查直線與圓、直角三角形的射影定理，屬于中檔題．如下圖所示，連接OC，因?yàn)镺D∥BC，又BC⊥AC，所以O(shè)P⊥AC，又O為AB線段的中點(diǎn)，所以O(shè)P＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，在Rt△OCD中，OC＝eq\f(1,2)AB＝2，由直角三角形的射影定理可得OC2＝OP·OD，所以O(shè)D＝eq\f(OC2,OP)＝eq\f(22,\f(1,2))＝8.(理)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段AB上，且AE＝eq\f(1,2)EB，連接DE、AC，若AC與DE相交于點(diǎn)F，△AEF的面積為1cm2，則△AFD的面積為________cm2.[答案]3[解析]∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴eq\f(DF,FE)＝eq\f(DC,AE)＝3，eq\f(S△AFD,S△AFE)＝eq\f(DF,FE)＝3，S△AFD＝3S△AFE＝3cm2.6．(文)如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長(zhǎng)為________．[答案]eq\f(8,3)[解析]如圖所示：∵AE為圓的切線，∴AE2＝BE·ED，設(shè)BE＝x，∴36＝x(5＋x)，x2＋5x－36＝0，∴x＝4.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，又∠EAB＝∠ACB，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又EB∥AC，∴四邊形BCAE為平行四邊形，∴BC＝AE＝6，AC＝BE＝4，∵△DFB∽△AFC，∴eq\f(BD,AC)＝eq\f(BF,FC)，∴eq\f(5,4)＝eq\f(6－FC,FC)，∴FC＝eq\f(8,3).(理)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD于D，BD與外接圓交于點(diǎn)E，已知DE＝5，則△ABC的外接圓的半徑為________．[答案]10[解析]利用切割線定理和正弦定理求解．因?yàn)镃D是圓的切線，所以∠BCD＝∠BAC＝60°，所以DB＝eq\r(3)DC．又由切割線定理可得DC2＝DE×DB＝5eq\r(3)DC，則DC＝5eq\r(3)，所以BC＝2DC＝10eq\r(3).在直角三角形ABC中，由正弦定理可得2R＝AB＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(10\r(3),\f(\r(3),2))＝20，所以△ABC的外接圓的半徑R＝10.二、解答題7.(2015·遼寧葫蘆島市一模)如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC＝2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，證明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[證明](1)連接AB，AC．由題設(shè)知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA．因?yàn)椤螾DA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，因此BE＝EC．(2)由切割線定理得PA2＝PB·PC．因?yàn)镻A＝PD＝DC，所以PD2＝(PD－BD)·2PD，∴PD＝2BD，∴DC＝2PB，BD＝PB．由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.8．(文)(2014·沈陽市質(zhì)檢)如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AD平分∠BAC交圓O于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作圓O的切線交直線AD于點(diǎn)E.(1)求證：∠EBD＝∠CBD；(2)求證：AB·BE＝AE·DC．[解析](1)∵BE為圓O的切線，∴∠EBD＝∠BAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EBD＝∠CAD．又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠EBD＝∠CBD．(2)在△EBD和△EAB中，∠E＝∠E，∠EBD＝∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴eq\f(BE,AE)＝eq\f(BD,AB)，∴AB·BE＝AE·BD，又∵AD平分∠BAC，∴BD＝DC，故AB·BE＝AE·DC．(理)(2014·唐山市二模)如圖，E是圓O內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，過AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)F作圓O的切線FG，G為切點(diǎn)，已知EF＝FG.求證：(1)△DEF∽△EAF；(2)EF∥CB．[分析](1)欲證△DEF∽△EAF，可證兩個(gè)三角形有兩內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，亦可證兩個(gè)三角形有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角對(duì)應(yīng)相等，由已知條件，F(xiàn)G、FA分別是圓的切線、割線及EF＝FG可知兩個(gè)三角形有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，關(guān)鍵是其夾角相等，而夾角是公共角，第一問獲證．(2)欲證EF∥CB，由圓想到可證角相等(同位角、內(nèi)錯(cuò)角)，注意利用圓的有關(guān)角的性質(zhì)和(1)的結(jié)論．[解析](1)由切割線定理得FG2＝FA·FD．又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，即eq\f(EF,FA)＝eq\f(FD,EF).因?yàn)椤螮FA＝∠DFE，所以△DEF∽△EAF.(2)由(1)得∠FED＝∠FAE.因?yàn)椤螰AE＝∠DAB＝∠DCB，所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB．9．(文)(2015·洛陽市質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，ADE是⊙O的割線，C是⊙O外一點(diǎn)，且AB＝AC，連接BD，BE，CD，CE，CD交⊙O于F，CE交⊙O于G.(1)求證：BE·CD＝BD·CE；(2)求證：FG∥AC．[證明](1)由已知得∠ABD＝∠AEB，而∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，所以eq\f(BD,BE)＝eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AB)，又AB＝AC，所以BD·AE＝AB·BE，①且eq\f(AC,AE)＝eq\f(AD,AC)，又∠CAD＝∠EAC，∴△ADC∽△ACE，所以eq\f(DC,CE)＝eq\f(AC,AE)，即DC·AE＝AC·CE.②由①②兩式相除可得BE·CD＝BD·CE.(2)由△ADC∽△ACE得，∠ACD＝∠AEC，又D，F(xiàn)，G，E四點(diǎn)共圓，∴∠GFC＝∠AEC，因此∠GFC＝∠ACD，所以FG∥AC．(理)(2015·河南八市質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知BC為圓O的直徑，點(diǎn)A為圓周上一點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作圓O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BE垂直PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[證明](1)因?yàn)锳D⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以eq\f(AP,BP)＝eq\f(PD,PE)，所以AP·PE＝PD·PB，又因?yàn)镻A，PB分別為圓O的切線和割線，所以PA2＝PB·PC，所以eq\f(AP,PE)＝eq\f(PC,PD)，所以PA·PD＝PE·PC．(2)連接AC，DE，因?yàn)锽C為圓O的直徑，所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC，因?yàn)閑q\f(AP,PE)＝eq\f(PC,PD)，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，又因?yàn)锽E⊥AP，AD⊥PB，所以A，D，B，E四點(diǎn)共圓且AB為直徑，又因?yàn)锳B⊥DE，所以AD＝AE.10．圓的兩條弦AB、CD交于點(diǎn)F，從F點(diǎn)引BC的平行線和直線DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，再?gòu)狞c(diǎn)P引這個(gè)圓的切線，切點(diǎn)是Q.求證：PF＝PQ.[分析]要證PF＝PQ，因?yàn)镻Q為圓的切線，∴PQ2＝PA·PD，故只須證PF2＝PA·PD，觀察圖形及條件可以發(fā)現(xiàn)，PF與PA在△APF中，PF與PD在△EPD中，若能證得這兩個(gè)三角形相似，則問題獲解，由于兩個(gè)三角形有公共角∠APF，只須再找一角相等即可．由圓的幾何性質(zhì)不難證得∠AFP＝∠ADF，故△APF∽△FPD．[證明]因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以∠ADF＝∠ABC．因?yàn)镻F∥BC，所以∠AFP＝∠ABC，所以∠AFP＝∠ADF.又因?yàn)椤螦PF＝∠FPD，所以△APF∽△FPD，所以eq\f(PF,PA)＝eq\f(PD,PF)，所以PF2＝PA·PD．因?yàn)镻Q與圓相切，所以PQ2＝PA·PD．所以PF2＝PQ2，所以PF＝PQ.11．(文)如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四點(diǎn)共圓．(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；(2)若DB＝BE＝EA，求過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．[解析](1)因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A，由題設(shè)知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA．因?yàn)锽、E、F、C四點(diǎn)共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．(2)連接CE，因?yàn)椤螩BE＝90°，所以過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而CE2＝DC2＝DB·DA＝3DB2，故過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為eq\f(1,2).(理)(2014·唐山市一模)如圖，AE是圓O的切線，A是切點(diǎn)，AD⊥OE于D，割線EC交圓O于B、C兩點(diǎn)．(1)證明：O、D、B、C四點(diǎn)共圓；(2)設(shè)∠DBC＝50°，∠OBC＝30°，求∠OEC的大?。甗分析](1)由EA、EC分別為切線和割線，可利用切割線定理，由EA為切線，AD⊥EO，在Rt△EOA中可利用射影定理，這樣可得到邊的比例關(guān)系式．要證O、D、B、C四點(diǎn)共圓，只需證明對(duì)角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對(duì)角，結(jié)合條件與結(jié)論可考慮證明三角形相似，即△BDE∽△OCE.(2)給出∠DBC與∠OBC的大小，欲求∠OEC的大小，由外角定理∠OEC＝∠DBC－∠BDE，由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，溝通兩者的橋梁是(1)的結(jié)論，∠BDE＝∠OCB，于是獲解．[解析](1)連接OA、OC，則OA⊥EA．由射影定理得EA2＝ED·EO.由切割線定理得EA2＝EB·EC，故ED·EO＝EB·EC，即eq\f(ED,EB)＝eq\f(EC,EO)，又∠OEC＝∠OEC，所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE.因此O，D，B，C四點(diǎn)共圓．(2)因?yàn)椤螼EC＋∠OCB＋∠COE＝180°，結(jié)合(1)得∠OEC＝180°－∠OCB－∠COE＝180°－∠OBC－∠DBE＝180°－∠OBC－(180°－∠DBC)＝∠DBC－∠OBC＝20°.12．(文)(2015·江西質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．已知AD·AB＝AE·AC．(1)求證：B，C，D，E四點(diǎn)共圓；(2)若三角形ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且AD＝1，求B，C，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑．[解析](1)因?yàn)锳D·AB＝AE·AG，所以eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)，所以△ADE∽△ACB，所以∠ADE＝∠ACB，又∠ADE＋∠BDE＝180°，所以∠ACB＋∠BDE＝180°，所以B，C，D，E四點(diǎn)共圓．(2)依題意：BCED是等腰梯形，且高為eq\r(3)，設(shè)B，C，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為r，