第五節(jié)-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第五節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考概覽：1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性．[知識(shí)梳理]1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)(下表中k∈Z)[辨識(shí)巧記]1．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)y＝sinx，x∈[0,2π]，y＝cosx，x∈[0,2π]的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是零點(diǎn)和極值點(diǎn)(最值點(diǎn))．2．一個(gè)關(guān)注點(diǎn)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號(hào)，只有當(dāng)ω>0時(shí)，才能把ωx＋φ看作一個(gè)整體，代入y＝sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤．[雙基自測(cè)]1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸是y軸．()(2)正切函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)．()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函數(shù)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(必修4P46A組T2,3改編)若函數(shù)y＝2sin2x－1的最小正周期為T，最大值為A，則()A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2[解析]周期T＝eq\f(2π,2)＝π，最大值A(chǔ)＝1.故選A.[答案]A3．(必修4P40練習(xí)T4)下列關(guān)于函數(shù)y＝4sinx，x∈[－π，π]的單調(diào)性的敘述，正確的是()A．在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)B．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是減函數(shù)C．在[0，π]上是增函數(shù)，在[－π，0]上是減函數(shù)D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是減函數(shù)[解析]由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)y＝4sinx在[－π，－eq\f(π,2)]上為減函數(shù)，在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上為增函數(shù)，在[eq\f(π,2)，π]上為減函數(shù)．故選B.[答案]B4．函數(shù)y＝eq\r(2sinx－1)的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)[解析]由2sinx－1≥0，得sinx≥eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)，故函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z.故選C.[答案]C5．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．[解析]由題意知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))＝0，所以3x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq\f(π,9)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝eq\f(π,9)；當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(4π,9)；當(dāng)k＝2時(shí)，x＝eq\f(7π,9)，均滿足題意，所以函數(shù)f(x)在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.[答案]3考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域、值域【例1】(1)(2018·重慶巴南區(qū)質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,12)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)，k∈Z))))(2)函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域?yàn)開_______．(3)函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))的值域是______．(4)函數(shù)y＝cos2x－2sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值為________．[思路引導(dǎo)](1)eq\x(2x＋\f(π,6)≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)→eq\x(得結(jié)果)(2)eq\x(sinx≥cosx)→eq\x(利用三角函數(shù)線或公式求解)(3)eq\x(求x＋\f(π,3)的范圍)→eq\x(結(jié)合y＝cosx性質(zhì)求值域)(4)eq\x(令sinx＝t)→eq\x(求出t的范圍)→eq\x(轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù))→eq\x(求二次函數(shù)的值域)[解析](1)由2x＋eq\f(π,6)≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x≠eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,6)＋\f(kπ,2)，k∈Z)).故選D.(2)解法一：利用三角函數(shù)線，如圖MN為正弦線，OM為余弦線，要使sinx≥cosx，即MN≥OM，則eq\f(π,4)≤x≤eq\f(5π,4)(在[0,2π]內(nèi))．∴定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ≤x≤\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z)))).解法二：sinx－cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))≥0，將x－eq\f(π,4)視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)y＝sinx的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x－eq\f(π,4)≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.所以定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z)))).(3)∵0<x≤eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)<x＋eq\f(π,3)≤eq\f(2,3)π，又y＝cosx在[0，π]上是減函數(shù)，∴coseq\f(2,3)π≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))<coseq\f(π,3)，即－eq\f(1,2)≤y<eq\f(1,2).(4)設(shè)sinx＝t，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).∴y＝1－sin2x－2sinx＝－(t＋1)2＋2，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，故當(dāng)t＝－eq\f(\r(2),2)，即x＝－eq\f(π,4)時(shí)，ymax＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋1))2＋2＝eq\f(2\r(2)＋1,2).[答案](1)D(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z))))(3)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))(4)eq\f(2\r(2)＋1,2)(1)三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)圖象來求解．(2)三角函數(shù)值域的求法①直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．②化一法：把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域．③換元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(3\r(3),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，3))[解析]當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，故3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))，即函數(shù)f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)).故選B.[答案]B2．函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)開_______．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x>0，,9－x2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ<x<kπ＋\f(π,2)，,－3≤x≤3，))k∈Z，所以－3≤x<－eq\f(π,2)或0<x<eq\f(π,2).所以函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[答案]eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性【例2】(1)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的單調(diào)遞減區(qū)間為________．(2)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(0,2)[解析](1)由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(7π,8)，k∈Z.故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)))，k∈Z.(2)由eq\f(π,2)<x<π，得eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)<ωx＋eq\f(π,4)<πω＋eq\f(π,4)，由題意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)，πω＋\f(π,4)))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)且eq\f(2π,ω)≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,2)))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，πω＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，))且0<ω≤2，故eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4).故選A.[答案](1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)))，k∈Z(2)A[拓展探究]若本例(1)中的函數(shù)改為“f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,4)))”，其他不變，結(jié)果如何？[解]f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，它的減區(qū)間是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的增區(qū)間．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得：kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，k∈Z.故所求函數(shù)的減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．(1)求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法①代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解．②圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間．(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)取值范圍的3種方法①子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．②反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．③周期性：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過eq\f(1,4)周期列不等式(組)求解．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2019·河北省石家莊市高三二檢)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋cos2x，則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))[解析]f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(3,2)cos2x＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，得kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)(k∈Z)，所以f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))，故選A.[答案]A2．(2019·廣州模擬)函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞增，常數(shù)φ的值可能是()A．0B.eq\f(π,2)C．πD.eq\f(3π,2)[解析]由函數(shù)f(x)＝sinx的圖象可以看出，要使函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)證知，需將f(x)＝sinx的圖象向左平移eq\f(3π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度，故選項(xiàng)D正確．[答案]D考點(diǎn)三三角函數(shù)的周期性、奇偶性及對(duì)稱性正、余弦函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．正切函數(shù)的圖象只是中心對(duì)稱圖形，應(yīng)把三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性結(jié)合，體會(huì)二者的統(tǒng)一．常見的考查角度有：(1)三角函數(shù)的周期性；(2)三角函數(shù)的奇偶性；(3)三角函數(shù)的對(duì)稱性．角度1：三角函數(shù)的周期性【例3－1】(1)函數(shù)y＝2sin2x＋sin2x的最小正周期是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C．πD．2π(2)函數(shù)f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期是________．[解析](1)函數(shù)y＝2sin2x＋sin2x＝2×eq\f(1－cos2x,2)＋sin2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1，則函數(shù)的最小正周期為eq\f(2π,2)＝π.故選C.(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)∴f(x)的最小正周期是eq\f(π,2).[答案](1)C(2)eq\f(π,2)三角函數(shù)的周期求法(1)利用周期定義．(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(π,|ω|).(3)利用圖象．角度2：三角函數(shù)的奇偶性【例3－2】已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋eq\r(3)cos(x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))是偶函數(shù)，則θ的值為()A．0B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)[解析]據(jù)已知可得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋θ＋\f(π,3)))，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有θ＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又由于θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故有θ＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，解得θ＝eq\f(π,6)，經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意．故選B.[答案]B利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，且x＝0時(shí)，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，且x＝0時(shí)，f(x)＝0.角度3：三角函數(shù)的對(duì)稱性【例3－3】(1)(2018·陜西寶雞二模)同時(shí)具有性質(zhì)：①最小正周期是π；②圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱的一個(gè)函數(shù)是()A．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))(2)(2018·湖南長(zhǎng)沙模擬)若函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω∈N*)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，則ω的最小值為()A．1B．2C．4D．8[思路引導(dǎo)](1)eq\x(T＝π)→eq\x(求ω)→eq\x(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))為最值)(2)eq\x(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0)→eq\x(求ω)→eq\x(得結(jié)果)[解析](1)由于y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))的周期為eq\f(2π,\f(1,2))＝4π，不滿足條件，故排除A.對(duì)于函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，它的周期為eq\f(2π,2)＝π，當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，函數(shù)取得最大值為1，因此圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，故滿足條件．對(duì)于函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，它的周期為eq\f(2π,2)＝π，當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，函數(shù)值為0，不是最值，因此圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，故不滿足條件．故選B.對(duì)于函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，它的周期為eq\f(2π,2)＝π，當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，函數(shù)值為eq\f(1,2)，不是最值，因此圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，故不滿足條件．(2)由eq\f(π,6)ω＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，得ω＝2＋6k，k∈Z.又ω＝N*，故ω的最小值為2.故選B.[答案](1)B(2)B三角函數(shù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心求法(1)直接利用公式求解如果求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．(2)利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，這一性質(zhì)求解或通過檢驗(yàn)函數(shù)值進(jìn)行判斷．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2019·安徽合肥聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－cos2x的圖象的一條對(duì)稱軸的方程可以是()A．x＝－eq\f(π,6) B．x＝eq\f(11π,12)C．x＝－eq\f(2π,3) D．x＝eq\f(7π,12)[解析]f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(3,2)cos2x＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).令2x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，可得x＝eq\f(5,12)π＋eq\f(k,2)π(k∈Z)．令k＝1可得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程是x＝eq\f(11,12)π.故選B.[答案]B2．(2019·湖南常德檢測(cè))將函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法不正確的是()A．g(x)的最小正周期為πB．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)C．x＝eq\f(π,6)是g(x)圖象的一條對(duì)稱軸D．g(x)為奇函數(shù)[解析]由題意得g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝sin2x，所以周期為π，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，直線x＝eq\f(π,6)不是g(x)圖象的對(duì)稱軸，g(x)為奇函數(shù)，故選C.[答案]C考點(diǎn)四三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】已知函數(shù)f(x)＝4tanxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3).(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的單調(diào)性．[解](1)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).f(x)＝4tanxcosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3)＝4sinxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3)＝4sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))－eq\r(3)＝2sinxcosx＋2eq\r(3)sin2x－eq\r(3)＝sin2x＋eq\r(3)(1－cos2x)－eq\r(3)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).所以，f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)令z＝2x－eq\f(π,3)，易知函數(shù)y＝2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z.設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z))))，易知A∩B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4))).所以，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時(shí)，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，又∵eq\f(π,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\f(π,2)<T，∴f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上單調(diào)遞減．解決較復(fù)雜的三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再研究y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、對(duì)稱性和單調(diào)性，通常把ωx＋φ看作一個(gè)整體與y＝sinx的相應(yīng)性質(zhì)對(duì)應(yīng)即可，注意要先把ω化為正數(shù)．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練](2018·廣東“六校聯(lián)盟”第三次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上的最值．[解](1)∵f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∴周期T＝eq\f(2π,2)＝π.由2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq\f(π,3)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(π,3)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(5π,6)))，∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)max＝1.又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－1<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，∴當(dāng)x＝－eq\f(π,6)時(shí)，f(x)min＝－1.解題方法系列⑧——與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題素養(yǎng)解讀：根據(jù)三角函數(shù)解析式的特征，采取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞钪?，常用方法有圖象法、換元法、幾何法等，下面分類例舉，強(qiáng)化技巧．1．“y＝Asin(ωx＋φ)＋b”型的最值【典例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\r(2)sin2eq\f(x,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間[－π，0]上的最小值．[切入點(diǎn)]將f(x)逆用二倍角公式化簡(jiǎn)．[關(guān)鍵點(diǎn)]化簡(jiǎn)為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b形式，結(jié)合圖象與性質(zhì)求解．[規(guī)范答題](1)由題意得f(x)＝eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)(1－cosx)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)，所以f(x)的最小正周期為2π.(2)因?yàn)椋小躼≤0，所以－eq\f(3π,4)≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,4).當(dāng)x＋eq\f(π,4)＝－eq\f(π,2)，即x＝－eq\f(3π,4)時(shí)，f(x)取得最小值．所以f(x)在區(qū)間[－π，0]上的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝－1－eq\f(\r(2),2).[提升素養(yǎng)]本例中利用三角恒等變換公式將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式構(gòu)造函數(shù)模型，從而進(jìn)一步研究函數(shù)的圖象性質(zhì)．2．“y＝f(sinx)”型的最值【典例2】(2019·山東德州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的值域?yàn)開_______．[切入點(diǎn)]化簡(jiǎn)f(x)．[關(guān)鍵點(diǎn)]利用換元法求f(x)的值域．[規(guī)范答題]由于f(x)＝sinxcosx＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝sinxcosx＋sinx－cosx.令sinx－cosx＝t，則sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，于是y＝eq\f(1－t2,2)＋t＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1，而t＝sinx－cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，所以當(dāng)t＝1時(shí)，函數(shù)取最大值1，當(dāng)t＝－eq\r(2)時(shí)，函數(shù)取最小值－eq\f(1,2)－eq\r(2)，故值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1))[提升素養(yǎng)]本例是將函數(shù)化為g(t)的一個(gè)復(fù)合函數(shù)的形式，t為中間變量．解決此類問題的核心是選擇合適的中間變量，如本例是選擇sinx－cosx＝t，利用sinx－cosx與sinxcosx的關(guān)系建立t的關(guān)系式，此時(shí)要注意中間量t的取值范圍．3．“y＝eq\f(asinx＋b,ccosx＋d)”型的最值【典例3】函數(shù)y＝eq\f(4－sinx,3－cosx)的最大值為________．[切入點(diǎn)]觀察式子結(jié)構(gòu)，考慮其幾何意義．[關(guān)鍵點(diǎn)]利用幾何法求解．[規(guī)范答題]解析式表示過A(cosx，sinx)，B(3,4)的直線的斜率，則過定點(diǎn)(3,4)與單位圓相切時(shí)的切線斜率為最值，所以設(shè)切線的斜率為k，則直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，eq\f(|－3k＋4|,\r(k2＋1))＝1，∴k＝eq\f(6±\r(6),4)，∴kmax＝eq\f(6＋\r(6),4).[答案]eq\f(6＋\r(6),4)[提升素養(yǎng)]根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到其幾何意義是解決此類問題的關(guān)鍵，常見的賦予幾何意義的模型有斜率、距離、截距等．[感悟體驗(yàn)]1．(2019·黑龍江雙鴨山一中月考)已知函數(shù)f(x)＝－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域．[解]f(x)＝－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝－eq\r(3)×eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2).(1)T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴f(x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(2－\r(3),2))).2．(2019·河北師大附中第一次段考)求函數(shù)y＝cos2x＋2cosx的最大值．[解]∵y＝cos2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,2)))2－eq\f(3,2)，∴當(dāng)cosx＝1時(shí)，函數(shù)y＝cos2x＋2cosx取最大值，ymax＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))2－eq\f(3,2)＝3.3．函數(shù)f(x)＝eq\f(2－sinx,2＋cosx)的值域?yàn)開_______．[解析]f(x)＝eq\f(2－sinx,2＋cosx)表示過點(diǎn)A(2,2)，B(－cosx，sinx)的直線斜率，則過定點(diǎn)A(2,2)的直線與單位圓有公共點(diǎn)．設(shè)直線方程為y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0.由eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))≤1，得eq\f(4－\r(7),3)≤k≤eq\f(4＋\r(7),3)，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3)))課后跟蹤訓(xùn)練(二十四)基礎(chǔ)鞏固練一、選擇題1．(2019·洛陽市高三第一次統(tǒng)一考試)下列函數(shù)中，是周期函數(shù)且最小正周期為π的是()A．y＝sinx＋cosx B．y＝sin2x－eq\r(3)cos2xC．y＝cos|x| D．y＝3sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)[解析]對(duì)于A，函數(shù)y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最小正周期是2π，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)y＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝eq\f(1,2)(1－cos2x)－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1－\r(3),2)－eq\f(1＋\r(3),2)cos2x的最小正周期是π，符合題意；對(duì)于C，y＝cos|x|＝cosx的最小正周期是2π，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)y＝3sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝eq\f(3,2)sinx的最小正周期是2π，不符合題意．故選B.[答案]B2．y＝|cosx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))[解析]將y＝cosx的圖象位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，x軸上方(或x軸上)的圖象不變，即得y＝|cosx|的圖象(如圖)．故選D.[答案]D3．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)對(duì)任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))的值為()A．2或0B．－2或2C．0D．－2或0[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對(duì)任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，所以該函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱，因?yàn)樵趯?duì)稱軸處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值或最小值，所以選B.[答案]B4．(2019·遼寧沈陽二中月考)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))成中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)[解析]∵函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))成中心對(duì)稱，∴2·eq\f(4π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ－eq\f(13π,6)(k∈Z)．由此易得|φ|min＝eq\f(π,6).故選A.[答案]A5．(2018·遼寧沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))函數(shù)y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,4)))[解析]把函數(shù)的解析式變形，得y＝eq\f(1－cos2x,2)＋sin2x＋3×eq\f(1＋cos2x,2)＝2＋sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋2.若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由eq\f(π,4)<2x＋eq\f(π,4)<eq\f(π,2)，得0<x<eq\f(π,8)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8))).故選C.[答案]C二、填空題6．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是________．[解析]由2x＋eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)得，x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,8)(k∈Z)．∴函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))，k∈Z.[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))，k∈Z7．若函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,6)))(0<φ<π)是偶函數(shù)，則φ＝________.[解析]因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以φ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，φ＝eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.又因?yàn)?<φ<π，故φ＝eq\f(2π,3).[答案]eq\f(2π,3)8．(2019·內(nèi)蒙古包頭一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,8)))＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,8)))＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則φ＝________.[解析]由f(x)的最小正周期大于2π，得eq\f(T,4)>eq\f(π,2).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,8)))＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,8)))＝0，得eq\f(T,4)＝eq\f(11π,8)－eq\f(5π,8)＝eq\f(3π,4)，所以T＝3π，則eq\f(2π,ω)＝3π?ω＝eq\f(2,3)，所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋φ)).由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,8)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(5π,8)＋φ))＝2?sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋φ))＝1，所以eq\f(5π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z.又|φ|<eq\f(π,2)，取k＝0，得φ＝eq\f(π,12).[答案]eq\f(π,12)三、解答題9．(2019·浙江紹興期末)已知函數(shù)f(x)＝2sinx·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋cosx))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))；(2)求f(x)的最大值與最小值．[解](1)因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(\r(3),2)))＝eq\r(3).(2)f(x)＝2sinx·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋cosx))＝2sinx·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))＋cosx))＝eq\f(3,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)(1－cos2x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(\r(3),2).因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6))).又因?yàn)閥＝sinz在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)有最大值eq\f(3\r(3),2)；當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(x)有最小值0.10．(2019·安徽池州一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)cos2ωx＋sinωxcosωx－eq\f(\r(3),2)(ω>0)的最小正周期為π.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)>eq\f(\r(2),2)，求x的取值集合．[解](1)f(x)＝eq\r(3)cos2ωx＋sinωxcosωx－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)(1＋cos2ωx)＋eq\f(1,2)sin2ωx－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)cos2ωx＋eq\f(1,2)sin2ωx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,3))).因?yàn)橹芷跒閑q\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(7π,12)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))，k∈Z.(2)f(x)>eq\f(\r(2),2)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))>eq\f(\r(2),2)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得eq\f(π,4)＋2kπ<2x＋eq\f(π,3)<eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,24)＋kπ<x<eq\f(5π,24)＋kπ，k∈Z，則x的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,24)＋kπ<x<\f(5π,24)＋kπ，k∈Z)))).能力提升練11．(2018·云南師大附中調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝sinωx－eq\r(3)cosωx，ω>0，x∈R，又f(x1)＝2,f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值為eq\f(3π,2)，則ω的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．2[解析]由題意知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))，設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，因?yàn)閒(x1)＝2,f(x2)＝0，所以|x1－x2|的最小值為eq\f(T,4)＝eq\f(3π,2)，所以T＝6π，所以ω＝eq\f(1,3)，故選A.[答案]A12．(2019·遼寧葫蘆島統(tǒng)測(cè))已知函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則f(x)的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)) B．[－3,3]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))[解析]因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸完全相同，所以這兩個(gè)函數(shù)的周期相同，即ω＝2，所以函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，由正弦函數(shù)的圖象及其性質(zhì)知，f(x)min＝f(0)＝－eq\f(3,2)，f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝3，故選A.[答案]A13．(2019·江蘇調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋eq\r(3)cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期為π，且滿足f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．[解析]因?yàn)閒(x)＝sin(ωx＋φ)＋eq\r(3)cos(ωx＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期為π，且滿足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－eq\f(π,3)，所以f(x)＝2sin2x，令2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，解得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)14．(2018·山東濟(jì)南外國語學(xué)校月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωxcosωx＋cos2ωx＋b＋1.(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱，且ω∈[0,3]，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,12)))時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．[解](1)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωxcosωx＋cos2ωx＋b＋1＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1＋cos2ωx,2)＋b＋1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2)＋b.∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(