函數(shù)的單調(diào)性

§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性圖示是某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖。氣溫θ是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，觀察這個(gè)氣溫變化圖，說(shuō)說(shuō)氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐漸上升或下降的？

情景引入yyxxoo11-111-1-1觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象，并說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

思考：從左向右圖象有什么變化趨勢(shì)？

函數(shù)的單調(diào)性xyo-1xOy1124-1-211.從左至右圖象————

2.在區(qū)間

(-∞,+∞)上，隨著x的增大，f(x)的值————

2.(0,+∞)上從左至右圖象______，

當(dāng)x增大時(shí)f(x)的值_____

1上升增大下降

1.(-∞,0]上從左至右圖象

當(dāng)x增大時(shí)f(x)的值

減小思考1：畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當(dāng)自變量x的值增大時(shí),函數(shù)值是如何變化的？新課探究

上升

增大xyo-1xOy1124-1-211

在某一區(qū)間內(nèi)，當(dāng)x的值增大時(shí),函數(shù)值y也增大——圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；當(dāng)x的值增大時(shí),函數(shù)值y反而減小——圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。函數(shù)的這種性質(zhì)稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)性思考2：通過(guò)上面的觀察，如何用圖象上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系來(lái)說(shuō)明上升或下降趨勢(shì)？Oxyx1x2f(x1)f(x2)單調(diào)增函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。

類(lèi)比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù).Oyx1x2f(x1)f(x2)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性。（1）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì)；注意：判斷1：函數(shù)f(x)=x2在是單調(diào)增函數(shù)。xyo（2）

x1,x

2

取值的任意性。判斷2：定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)>f(1)，則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)。yxO12f(1)f(2)解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.如圖是定義在閉區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

其中y=f(x)在區(qū)間[－2，1)，[3，5]上是增函數(shù)；說(shuō)明:區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫(xiě)開(kāi)寫(xiě)閉均可.

在區(qū)間[－5，－2），[1，3)上是減函數(shù).質(zhì)發(fā)疑展答思辯維1、根據(jù)下圖說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).

2544xyO-1321解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在區(qū)間[0，2)，[4，5]上是增函數(shù)；在區(qū)間[－1，0），[2，4)上是減函數(shù).練一練：證明函數(shù)在R上是減函數(shù).即∵∴

∴

例2、利用單調(diào)性定義：證明：設(shè)是R上任意兩個(gè)值，且，∴函數(shù)

在R上是減函數(shù)．則（3）判斷符號(hào)：

判斷的符號(hào)

用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟：

（1）取值：在所給區(qū)間上任意設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)（2）作差變形

：

作差常通過(guò)“因式分解”、“通分”、“配方”等手段將差式變形為因式乘積或平方和等形式；

（4）得出結(jié)論:得出單調(diào)性的結(jié)論2、證明：函數(shù)f(x)=在(0，+∞)上是減函數(shù)。證明：任取x1,x2

(0，+∞)

，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)f(x)=在(0，+∞)上是減函數(shù)。取值判斷符號(hào)變形作差得出結(jié)論取值

判斷符號(hào)

作差變形得出結(jié)論課堂小結(jié)1.兩個(gè)定義：增函數(shù)、減函數(shù)的定義；②(定義法)證明函數(shù)單調(diào)性，步驟:①圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：增函數(shù)的圖象從左到右減函數(shù)的圖象從左到右上升下降3.一個(gè)數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合2：兩種方法拓展探究

證明：函數(shù)