實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的幾種方法

1.4實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的幾種方法物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量得到的許多數(shù)據(jù)需要處理后才能表示測(cè)量的最終結(jié)果。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計(jì)算、分析、擬合等，從中獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果和尋找物理量變化規(guī)律或經(jīng)驗(yàn)公式的過程就是數(shù)據(jù)處理。它是實(shí)驗(yàn)方法的一個(gè)重要組成局部，是實(shí)驗(yàn)課的根本訓(xùn)練內(nèi)容。本章主要介紹列表法、作圖法、圖解法、逐差法和最小二乘法。列表法列表法就是將一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算的中間數(shù)據(jù)依據(jù)一定的形式和順序列成表格。列表法可以簡(jiǎn)單明確地表示出物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，便于分析和發(fā)現(xiàn)資料的規(guī)律性，也有助于檢查和發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的問題，這就是列表法的優(yōu)點(diǎn)。設(shè)計(jì)記錄表格時(shí)要做到：〔1〕表格設(shè)計(jì)要合理，以利于記錄、檢查、運(yùn)算和分析?！?〕表格中涉及的各物理量，其符號(hào)、單位及量值的數(shù)量級(jí)均要表示清楚。但不要把單位寫在數(shù)字后。〔3〕表中數(shù)據(jù)要正確反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字和不確定度。列入表中的除原始數(shù)據(jù)外，計(jì)算過程中的一些中間結(jié)果和最后結(jié)果也可以列入表中?！?〕表格要加上必要的說明。實(shí)驗(yàn)室所給的數(shù)據(jù)或查得的單項(xiàng)數(shù)據(jù)應(yīng)列在表格的上部，說明寫在表格的下部。作圖法作圖法是在坐標(biāo)紙上用圖線表示物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間的聯(lián)系。作圖法既有簡(jiǎn)明、形象、直觀、便于比擬研究實(shí)驗(yàn)結(jié)果等優(yōu)點(diǎn)，它是一種最常用的數(shù)據(jù)處理方法。作圖法的根本規(guī)那么是：〔1〕根據(jù)函數(shù)關(guān)系選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)紙〔如直角坐標(biāo)紙，單對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙，雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙，極坐標(biāo)紙等〕和比例，畫出坐標(biāo)軸，標(biāo)明物理量符號(hào)、單位和刻度值，并寫明測(cè)試條件?！?〕坐標(biāo)的原點(diǎn)不一定是變量的零點(diǎn)，可根據(jù)測(cè)試范圍加以選擇。，坐標(biāo)分格最好使最低數(shù)字的一個(gè)單位可靠數(shù)與坐標(biāo)最小分度相當(dāng)?？v橫坐標(biāo)比例要恰當(dāng)，以使圖線居中。〔3〕描點(diǎn)和連線。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，用直尺和筆尖使其函數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)準(zhǔn)確地落在相應(yīng)的位置。一張圖紙上畫上幾條實(shí)驗(yàn)曲線時(shí)，每條圖線應(yīng)用不同的標(biāo)記如“+〞、“×〞、“·〞、“Δ〞等符號(hào)標(biāo)出，以免混淆。連線時(shí)，要顧及到數(shù)據(jù)點(diǎn)，使曲線呈光滑曲線〔含直線〕，并使數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在曲線〔直線〕的兩側(cè)，且盡量貼近曲線。個(gè)別偏離過大的點(diǎn)要重新審核，屬過失誤差的應(yīng)剔去?！?〕標(biāo)明圖名，即做好實(shí)驗(yàn)圖線后，應(yīng)在圖紙下方或空白的明顯位置處，寫上圖的名稱、作者和作圖日期，有時(shí)還要附上簡(jiǎn)單的說明，如實(shí)驗(yàn)條件等，使讀者一目了然。作圖時(shí)，一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代表的物理量寫在后面，中間用“～〞聯(lián)接?！?〕最后將圖紙貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告的適當(dāng)位置，便于教師批閱實(shí)驗(yàn)報(bào)告。圖解法在物理實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)圖線做出以后，可以由圖線求出經(jīng)驗(yàn)公式。圖解法就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作好的圖線，用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式。實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對(duì)數(shù)曲線。特別是當(dāng)圖線是直線時(shí)，采用此方法更為方便。1．由實(shí)驗(yàn)圖線建立經(jīng)驗(yàn)公式的一般步驟：〔1〕根據(jù)解析幾何知識(shí)判斷圖線的類型；〔2〕由圖線的類型判斷公式的可能特點(diǎn)；〔3〕利用半對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)或倒數(shù)坐標(biāo)紙，把原曲線改為直線；〔4〕確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗(yàn)公式的形式，并用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)所得公式的準(zhǔn)確程度。2．用直線圖解法求直線的方程如果作出的實(shí)驗(yàn)圖線是一條直線，那么經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)為直線方程y＝kx＋b〔1—12〕要建立此方程，必須由實(shí)驗(yàn)直接求出k和b，一般有兩種方法。〔1〕斜率截距法在圖線上選取兩點(diǎn)P1〔x1，y1〕和P2〔x2，y2〕，注意不得用原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，而應(yīng)從圖線上直接讀取，其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值。所取的兩點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開一些，以減小誤差。由解析幾何知，上述直線方程中，k為直線的斜率，b為直線的截距。k可以根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出。那么斜率為〔1—13〕其截距b為x＝0時(shí)的y值；假設(shè)原實(shí)驗(yàn)中所繪制的圖形并未給出x＝0段直線，可將直線用虛線延長(zhǎng)交y軸，那么可量出截距。如果起點(diǎn)不為零，也可以由式(1—14)求出截距，求出斜率和截距的數(shù)值代入方程中就可以得到經(jīng)驗(yàn)公式。3．曲線改直，曲線方程的建立在許多情況下，函數(shù)關(guān)系是非線性的，但可通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換化成線性關(guān)系，在作圖法中用直線表示，這種方法叫做曲線改直。作這樣的變換不僅是由于直線容易描繪，更重要的是直線的斜率和截距所包含的物理內(nèi)涵是我們所需要的。例如：〔1〕y=axb，式中a、b為常量，可變換成lgy=blgx+lga，lgy為lgx的線性函數(shù)，斜率為b，截距為lga?！?〕y=abx，式a、b中為常量，可變換成lgy=〔lgb〕x+lga，lgy為x的線性函數(shù)，斜率為lgb，截距為lga。〔3〕PV=C，式中C為常量，要變換成P=C(1/V)，P是1/V的線性函數(shù)，斜率為C?！?〕y2=2px式中p為常量，y=±x1/2，y是x1/2的線性函數(shù)，斜率為±?！?〕y=x/(a+bx)，式中a、b為常量，可變換成1/y=a(1/x)+b，1/y為1/x的線性函數(shù)，斜率為a，截距為b?！?〕s=v0t+at2/2，式中v0，a為常量，可變換成s/t=(a/2)t+v0，s/t為t的線性函數(shù)，斜率為a/2，截距為v0。例1．在恒定溫度下，一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)P隨容積V而變，畫P～V圖。為一雙曲線型如圖1—4—1所示。PVO圖1—4—1P～V曲線PO１V圖1—4—2P～1/PVO圖1—4—1P～V曲線PO１V圖1—4—2P～1/V曲線例2：?jiǎn)螖[的周期T隨擺長(zhǎng)L而變，繪出T～L實(shí)驗(yàn)曲線為拋物線型如圖1—4—3所示。假設(shè)作T2～L圖那么為一直線型，如圖1－4—4所示。斜率：由此可寫出單擺的周期公式：TLTL圖1—4—3T～L曲線T2LO圖1—4—4T2～L曲線逐差法對(duì)隨等間距變化的物理量x進(jìn)行測(cè)量和函數(shù)可以寫成x的多項(xiàng)式時(shí)，可用逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。例如，一空載長(zhǎng)為的彈簧，逐次在其下端加掛質(zhì)量為m的砝碼，測(cè)出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度，為求每加一單位質(zhì)量的砝碼的伸長(zhǎng)量，可將數(shù)據(jù)按順序?qū)Π敕殖蓛山M，使兩組對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減有：這種對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，即逐項(xiàng)求差法簡(jiǎn)稱逐差法。它的優(yōu)點(diǎn)是盡量利用了各測(cè)量量，而又不減少結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，是實(shí)驗(yàn)中常用的數(shù)據(jù)處理方法之一。注意：逐差法與作圖法一樣，都是一種粗略處理數(shù)據(jù)的方法，在普通物理實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常要用到這兩種根本的方法。在使用逐差法時(shí)要注意以下幾個(gè)問題：１、在驗(yàn)證函數(shù)的表達(dá)式的形式時(shí)，要用逐項(xiàng)逐差，不用隔項(xiàng)逐差。這樣可以檢驗(yàn)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的變化是否符合規(guī)律。２、在求某一物理量的平均值時(shí)，不可用逐項(xiàng)逐差，而要用隔項(xiàng)逐差；否那么中間項(xiàng)數(shù)據(jù)會(huì)相互消去，而只到用首尾項(xiàng)，白白浪費(fèi)許多數(shù)據(jù)。如上例，假設(shè)采用逐項(xiàng)逐差法〔相鄰兩項(xiàng)相減的方法〕求伸長(zhǎng)量，那么有可見只有、兩個(gè)數(shù)據(jù)起作用，沒有充分利用整個(gè)數(shù)據(jù)組，失去了在大量數(shù)據(jù)中求平均以減小誤差的作用，是不合理的。用最小二乘法作直線擬合作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個(gè)很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會(huì)引入附加誤差，尤其在根據(jù)圖線確定常數(shù)時(shí)，這種誤差有時(shí)很明顯。為了克服這一缺點(diǎn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究了直線擬合問題(或稱一元線性回歸問題)，常用一種以最小二乘法為根底的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線的函數(shù)可以通過數(shù)學(xué)變換改寫為直線，例如對(duì)函數(shù)取對(duì)數(shù)得，與的函數(shù)關(guān)系就變成直線型了。因此這一方法也適用于某些曲線型的規(guī)律。下面就數(shù)據(jù)處理問題中的最小二乘法原那么作一簡(jiǎn)單介紹。設(shè)某一實(shí)驗(yàn)中，可控制的物理量取x1，x2，…，xn值時(shí)，對(duì)應(yīng)的物理量依次取y1，y2，…，yn值。我們假定對(duì)xi值的觀測(cè)誤差很小，而主要誤差都出現(xiàn)在yi的觀測(cè)上。顯然如果從(xi，yi)中任取兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就可得出一條直線，只不過這條直線的誤差有可能很大。直線擬合的任務(wù)就是用數(shù)學(xué)分析的方法從這些觀測(cè)到的數(shù)據(jù)中求出一個(gè)誤差最小的最正確經(jīng)驗(yàn)式。按這一最正確經(jīng)驗(yàn)公式作出的圖線雖不一定能通過每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但是它以最接近這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的方式平滑地穿過它們。很明顯，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)xi值，觀測(cè)值yi和最正確經(jīng)驗(yàn)式的y值之間存在一偏差δyi，我們稱它為觀測(cè)值yi的偏差，即()(1—15)最小二乘法的原理就是：如各觀測(cè)值yi的誤差互相獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布，當(dāng)yi的偏差的平方和為最小時(shí)，得到最正確經(jīng)驗(yàn)式。根據(jù)這一原那么可求出常數(shù)a和b。設(shè)以S表示的平方和，它應(yīng)滿足：〔1—16)上式中的各yi和xi是測(cè)量值，都是量，而a和b是待求的，因此S實(shí)際是a和b的函數(shù)。令S對(duì)a和b的偏導(dǎo)數(shù)為零，即可解出滿足上式的a、b值。，即，其解為，(1—17)將得出的a和b代入直線方程，即得到最正確的經(jīng)驗(yàn)公式。上面介紹了用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)公式中的常數(shù)a和b的方法，是一種直線擬合法。它在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)用很廣泛，特別是有了計(jì)算器后，計(jì)算工作量大大減小，計(jì)算精度也能保證，因此它是很有用又很方便的方法。用這種方法計(jì)算的常數(shù)值a和b是“最正確的〞，但并不是沒有誤差，它們的誤差估算比擬復(fù)雜。一般地說，一列測(cè)量值的δyi大(即實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對(duì)直線的偏離大)，那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差也大，由此定出的經(jīng)驗(yàn)公式可靠程度就低；如果一列測(cè)量值的δyi小(即實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對(duì)直線的偏離小)，那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差就小，由此定出的經(jīng)驗(yàn)公式可靠程度就高。直線擬合中的誤差估計(jì)問題比擬復(fù)雜，可參閱其他資料，本教材不作介紹。為了檢查實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系與得到的擬合直線符合的程度，數(shù)學(xué)上引進(jìn)了線性相關(guān)系數(shù)r來進(jìn)行判斷。r定義為(1—18)式中，。r的取值范圍為。從相關(guān)系數(shù)的這一特性可以判斷實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合線性。如果r很接近于1，那么各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)均在一條直線上。普物實(shí)驗(yàn)中r如到達(dá)0.999，就表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性關(guān)系良好，各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)聚集在一條直線附近。相反，相關(guān)系數(shù)r=0或趨近于零，說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很分散，無線性關(guān)系。因此用直線擬合法處理數(shù)據(jù)時(shí)要算相關(guān)系數(shù)。具有二維統(tǒng)計(jì)功能的計(jì)算器有直接計(jì)算r及a、b的功能?！玖?xí)題】1．指出以下各量是幾位有效數(shù)字，測(cè)量所選用的儀器與其精度是多少？〔1〕63.74cm；〔2〕0.302cm；〔3〔4〕1.0000kg；〔5〕0.025cm；〔6〕1.35〔7〕12.6s；〔8〕0.2030s；〔9〕1.530×10－3m2．試用有效數(shù)字運(yùn)算法那么計(jì)算出以下結(jié)果〔1〕107.50－2.5；〔2〕273.5÷0.1；〔3〕1.50÷0.500－2.97；〔4〕；〔5〕；〔6〕V＝πd2h/4,h＝0.005m,d＝13.984×10－3〔m〕,計(jì)算V3．改正以下錯(cuò)誤，寫出正確答案〔1〕L＝0.01040〔km〕的有效數(shù)字是五位；〔2〕d＝12.435±0.02〔cm〕；〔3〕h＝27.3×104±2000〔km〕；〔4〕R＝6371km＝6371000m＝637100000〔cm〕；4．單位變換〔1〕將L＝4.25±0.05〔cm〕的單位變換成μm,mm,m,km?！?〕將m＝1.750±0.001〔kg〕的單位變換成g,mg,t。5．周期T＝1.2566±0.0001〔s〕，計(jì)算角頻率ω的測(cè)量結(jié)果，寫出標(biāo)準(zhǔn)式。6．計(jì)算的結(jié)果，其中m＝236.124±0.002〔g〕；D＝2.345±0.005〔cm〕；H＝8.21±0.01〔cm〕。并且分析m,D,H對(duì)σp的合成不確定度的影響。7.利用單擺測(cè)重力加速度g，當(dāng)擺角很小時(shí)有的關(guān)系。式中l(wèi)為擺長(zhǎng)，T為周期，它們的測(cè)量結(jié)果分別為l=97.69±0.02cm，T=1.9842±0.0002s，求重力加速度及其不確定度。附錄Ⅰ教學(xué)中常用儀器誤差限米尺游標(biāo)卡尺〔20、50分度〕千分尺分光計(jì)讀數(shù)顯微