(6)-2.3拉普拉斯反變換-2.3.1拉普拉斯反變換及其方法

2.3拉普拉斯反變換及其方法定義：將象函數(shù)F(s)變換成與之相對應(yīng)的原函數(shù)f(t)的過程，稱之為拉普拉斯反變換。其公式：簡寫為：拉普拉斯反變換的定義

方法：拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表；對于復(fù)雜的，可利用分解和部分分式展開法。

1〉如果把f(t)的拉氏變換F(s)分成各個(gè)部分之和，即

假若F1(s)、F2(s)，…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法在系統(tǒng)分析問題中，F(xiàn)(s)常具有如下形式：式中A(s)和B(s)是s的多項(xiàng)式，

B(s)的階次較A(s)階次要高。

對于這種稱為有理真分式的象函數(shù)F(s)，分母B(s)應(yīng)首先進(jìn)行因子分解，才能用部分分式展開法，得到F(s)

的拉氏反變換函數(shù)。拉普拉斯反變換的方法當(dāng)A(s)的階次高于

B(s)時(shí)，則應(yīng)首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一個(gè)s的多項(xiàng)式，再加上一項(xiàng)具有分式形式的余項(xiàng)，其分子s多項(xiàng)式的階次就化為低于分母s多項(xiàng)式階次了。2〉部分分式展開法

將分母B(s)

進(jìn)行因子分解，寫成：式中，p1，p2，…，pn稱為B(s)的根，或F(s)的極點(diǎn)，它們可以是實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。如果是復(fù)數(shù)，則一定成對共軛的。拉普拉斯反變換的方法

(1)分母B(s)無重根此時(shí)，F(xiàn)(s)總可以展成簡單的部分分式之和。即式中，ak(k=1,2,…,n)是常數(shù)，系數(shù)ak稱為極點(diǎn)s=

-pk處的留數(shù)。拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法ak

的值可以用在等式兩邊乘以(s+pk)，并把s=

-pk代入的方法求出。即2〉部分分式展開法拉普拉斯反變換的方法

在所有展開項(xiàng)中，除去含有ak的項(xiàng)外，其余項(xiàng)都消失了，因此留數(shù)ak可由下式得到

因?yàn)閒(t)時(shí)間的實(shí)函數(shù)，如p1和p2是共軛復(fù)數(shù)時(shí)，則留數(shù)

1和

2也必然是共軛復(fù)數(shù)。這種情況下，上式照樣可以應(yīng)用。共軛復(fù)留數(shù)中，只需計(jì)算一個(gè)復(fù)留數(shù)

1(或

2)，而另一個(gè)復(fù)留數(shù)

2(或

1)，自然也知道了。拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法例1求F(s)的拉氏反變換，已知解由留數(shù)的計(jì)算公式，得查拉氏變換表，得拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法例2求L-1[F(s)]，已知解：分母多項(xiàng)式可以因子分解為進(jìn)行因子分解后，可對F(s)展開成部分分式由于

2與

1共軛，故拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法解：

帶入а1和а2得：例2求L-1[F(s)]，已知拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法

(2)分母B(s)有重根若有三重根，并為p1，則F(s)的一般表達(dá)式為

拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法

(2)分母B(s)有重根依此類推，當(dāng)p1為k重根時(shí)，其系數(shù)為：拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法例3已知F(s)，求L-1[F(s)]。解由上述公式拉普拉斯反變換的方法部分分式展開法例3已知F(s)，求L-1[F(s)]。解拉普拉斯反變換的方法部分分式展開法查拉氏變換表，有

利用拉氏變換解微分方程的步驟：

(1)對給定的微分方程等式兩端取拉氏變換，變微分方程為s

變量的代數(shù)方程。(2)對以s

為變換的代數(shù)方程加以整理，得到微分方程求解的變量的拉氏表達(dá)式。對這個(gè)變量求拉氏反變換，即得在時(shí)域中（以時(shí)間t

為參變量）微分方程的解。拉普拉斯反變