初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題選講-勾股定理

______________________________________________________________________________________________________________PAGE精品資料初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題選講勾股定理一、內(nèi)容提要勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c2勾股定理及逆定理的應(yīng)用作已知線段a的，，……倍計(jì)算圖形的長(zhǎng)度，面積，并用計(jì)算方法解幾何題證明線段的平方關(guān)系等。勾股數(shù)的定義：如果三個(gè)正整數(shù)a,b,c滿足等式a2＋b2=c2，那么這三個(gè)正整數(shù)a,b,c叫做一組勾股數(shù).勾股數(shù)的推算公式羅士琳法則（羅士琳是我國(guó)清代的數(shù)學(xué)家1789――1853）任取兩個(gè)正整數(shù)m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一組勾股數(shù)。如果k是大于1的奇數(shù)，那么k,,是一組勾股數(shù)。如果k是大于2的偶數(shù)，那么k,,是一組勾股數(shù)。如果a,b,c是勾股數(shù)，那么na,nb,nc(n是正整數(shù))也是勾股數(shù)。熟悉勾股數(shù)可提高計(jì)算速度，順利地判定直角三角形。簡(jiǎn)單的勾股數(shù)有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。二、例題例1.已知線段aaa2a3aa求作線段aa分析一：a＝＝2a∴a是以2a和a為兩條直角邊的直角三角形的斜邊。分析二：a＝∴a是以3a為斜邊，以2a為直角邊的直角三角形的另一條直角邊。作圖（略）例2.四邊形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2求對(duì)角線AC的長(zhǎng)解：延長(zhǎng)BC和AD相交于E，則∠E＝30∴CE＝2CD＝4，在Rt△ABE中設(shè)AB為x,則AE＝2x根據(jù)勾股定理x2+52=(2x)2,x2=在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A求證：AB2－BC2＝AB×BC證明：作∠B的平分線交AC于D，則∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A＝∠C∴AD＝BD＝BC作BM⊥AC于M，則CM＝DMAB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）＝AC×AD＝AB×BC例4.如圖已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD求證：AB＝AC證明：設(shè)AB，AC，BD，CD分別為b,c,m,n則c+n=b+m,c-b=m-n∵AD⊥BC，根據(jù)勾股定理，得AD2＝c2-m2=b2-n2∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)((c-b)(c+b)(c-b)－(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n,∴c-b=0即c=b∴AB＝AC例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求證：AC＞BD證明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、FACDE和BCDF都是平行四邊形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF作DH⊥AB于H，根據(jù)勾股定理AH＝，F(xiàn)H＝∵AD＞BC，AD＞DF∴AH＞FH，EH＞BHDE＝，BD＝∴DE＞BD即AC＞BD例6.已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，正方形EFGH內(nèi)接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝求：的值（2001年希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，初二）解：根據(jù)勾股定理a2+b2=EF2＝SEFGH＝;①∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH∴2ab=②－②得（a-b）2=∴＝三、練習(xí)以下列數(shù)字為一邊，寫(xiě)出一組勾股數(shù)：7，＿＿，＿＿②8，＿＿，＿＿③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿⑤11，＿＿，＿＿⑥12，＿＿，＿＿根據(jù)勾股數(shù)的規(guī)律直接寫(xiě)出下列各式的值：252－242＝＿＿，②52＋122＝＿＿，③＝＿＿＿，④＝＿＿＿△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分別是中線和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿4.梯形兩底長(zhǎng)分別是3和7，兩對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8，則S梯形＝＿＿＿5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD求證：AE＝AF6.已知：M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD＝BF，CD＝CE求證：AE＝AF7.在△ABC中，∠C是鈍角，a2-b2=bc求證∠A＝2∠B8.求證每一組勾股數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)。（用反證法）9.已知直角三角形三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)和面積的數(shù)值相等，求各邊長(zhǎng)10等腰直角三角形ABC斜邊上一點(diǎn)P，求證：AP2＋BP2＝2CP211.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AB，ACME⊥MF求證：EF2＝BE2＋CF212.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中點(diǎn)，從D作DE⊥AC與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連結(jié)DF，則DF的長(zhǎng)是＿＿＿＿。（2002年希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，初二試題）13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)p1，p2，p3，…p100,記mi=APi2+BPi×PiC(I=1,2……，100)，則m1+m2+…＋m100=____(1990年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)練習(xí)題參考答案3.150，12，354.24（作CE∥BD交AB延長(zhǎng)線E）5.利用勾股定理證明AE，AF的平方都等于m2+n2+AD26.利用勾股定理:AE2＝……，AF2＝……7.作CD⊥AB于D，∵bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD)∴b=BD-AD……8.（用反證法）設(shè)a,b,c都是奇數(shù)，那么a2,b2,c2也都是奇數(shù)，∴a2＋b2是偶數(shù),而c2是奇數(shù)，這與a2＋b2＝c2相矛盾，故這種假設(shè)不能成立，∴a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)9.