重慶市重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案）

高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、已知等差數(shù)列的前n項和為,若,,則()A.30 B.36 C.42 D.562、點關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標(biāo)是()A. B. C. D.3、拋物線的準(zhǔn)線方程是()A. B. C. D.4、已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點,其中一個焦點為,過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點,且AB的中點為,則C的離心率為()A. B. C. D.5、在等比數(shù)列中，，，則()A.或 B. C.或 D.或6、如圖,二面角等于,是棱上兩點,分別在半平面內(nèi),,,且,則的長等于()A. B. C.4 D.27、已知在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項和為，若對任意的恒成立，則整數(shù)m的最小值是().A.5 B.4 C.3 D.28、已知橢圓的兩焦點為，，x軸上方兩點A，B在橢圓上，與平行，交于P.過P且傾斜角為的直線從上到下依次交橢圓于S，T.若，則“為定值”是“為定值”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不必要也不充分條件二、多項選擇題（全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，共20分）9、若直線與圓相切，則的取值可以是（）A. B. C.2 D.10、關(guān)于x,y的方程(其中)表示的曲線可能是()A.焦點在y軸上的雙曲線 B.圓心為坐標(biāo)原點的圓C.焦點在x軸上的雙曲線 D.長軸長為的橢圓11、已知數(shù)列的前n項和為，，若存在兩項，，使得，則下列結(jié)論中正確的是()A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列為等差數(shù)列C.為定值D.設(shè)數(shù)列的前n項和為，，則數(shù)列為等差數(shù)列12、如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是()A.過點，E，的平面截正方體所得的截面周長為B.存在點F，使得平面C.若平面，則動點F的軌跡長度為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為三、填空題（每小題5分，共20分）13、已知直線與圓相切，則______.14、已知直線與直線垂直,則實數(shù)a的值為___________.15、已知數(shù)列滿足,,則數(shù)列的首項__________16、已知拋物線的焦點為F,,過點M作直線的垂線,垂足為Q,點P是拋物線C上的動點,則的最小值為____________.四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17、設(shè)為等差數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式(2)若成等比數(shù)列，求.18、已知三角形的頂點邊上的中線所在的直線方程為邊上的高所在直線的方程為.(1)求三角形的頂點的坐標(biāo).(2)若圓經(jīng)過不同的三點且斜率為的直線與圓相切于點,求圓的方程.19、如圖,在三棱錐中,,,O為AC的中點.（1）證明：平面ABC;（2）若點M在棱BC上,且二面角為,求PC與平面PAM所成角的正弦值.20、如圖,在四棱錐中,平面ABCD,,且,,,,,N為PD的中點．（1）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；（2）在線段PD上是否存在一點M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為,若存在,求出的值；若不存在,說明理由．21、在數(shù)列中，任意相鄰兩項為坐標(biāo)的點均在直線上，數(shù)列滿足條件：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.22、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,兩焦點,在x軸上,離心率為,點P在C上,且的周長為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點的動直線l與C相交于A,B兩點,點B關(guān)于x軸的對稱點為D,直線AD與x軸的交點為E,求的面積的最大值.高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷--詳解一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、已知等差數(shù)列的前n項和為,若,,則()A.30 B.36 C.42 D.56答案：B解析：因為,,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、成等差數(shù)列,所以,,所以,.故選：B.2、點關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標(biāo)是()A. B. C. D.答案：A解析：由空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)可知,點關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標(biāo)是.故選：A.3、拋物線的準(zhǔn)線方程是()A. B. C. D.答案：B解析：拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：,所以,且拋物線開口向上.所以拋物線準(zhǔn)線為：.故選：B.4、已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點,其中一個焦點為,過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點,且AB的中點為,則C的離心率為()A. B. C. D.答案：B解析：由F、N兩點的坐標(biāo)得直線l的斜率.雙曲線一個焦點為,.設(shè)雙曲線C的方程為,則.設(shè),,則,,.由,得,即,,易得,,,雙曲線C的離心率.故選：B.5、在等比數(shù)列中，，，則()A.或 B. C.或 D.或答案：A解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.又，所以或若則，此時；若則，此時.故選A.6、如圖,二面角等于,是棱上兩點,分別在半平面內(nèi),,,且,則的長等于()A. B. C.4 D.2答案：C解析：由二面角的平面角的定義知,,由,得,又,,所以,即,故選：C.7、已知在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項和為，若對任意的恒成立，則整數(shù)m的最小值是().A.5 B.4 C.3 D.2答案：B解析：易得，設(shè)，則，所以，從而，解得，又，故.8、已知橢圓的兩焦點為，，x軸上方兩點A，B在橢圓上，與平行，交于P.過P且傾斜角為的直線從上到下依次交橢圓于S，T.若，則“為定值”是“為定值”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不必要也不充分條件答案：D解析：設(shè)為橢圓上的動點，c為橢圓的半焦距，故，故，設(shè)直線，則到該直線的距離為，故，如圖，設(shè)直線的傾斜角為y，過M作l的垂線，垂足為s，則，故，設(shè)，故，同理.設(shè)的傾斜角為，則，，因為，故，所以，所以，同理，故，故p的軌跡為以，為焦點的橢圓，其長半軸長為，短半軸長為，故p的軌跡方程為：，其中.取，，而，故不是定值即不是定值.故“當(dāng)取定值，是定值”是錯誤的.又直線的參數(shù)方程為：，設(shè)，由整理得到：，故，而，故，所以，若為定值，則為定值，而，故當(dāng)變化時，始終為定值，又故且，但，，故，所以，但此時隨的變化而變化，不是定值，故“當(dāng)取定值，是定值”是錯誤的.故選：D.二、多項選擇題（全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，共20分）9、若直線與圓相切，則的取值可以是（）A. B. C.2 D.答案：AC解析：因直線與圓相切，所以，解得：.故選：AC10、關(guān)于x,y的方程(其中)表示的曲線可能是()A.焦點在y軸上的雙曲線 B.圓心為坐標(biāo)原點的圓C.焦點在x軸上的雙曲線 D.長軸長為的橢圓答案：BC解析：對于A：若曲線表示焦點在y軸上的雙曲線,則,無解,選項A錯誤;對于B：若曲線表示圓心為坐標(biāo)原點的圓,則,解得,選項B正確;對于C：若曲線表示焦點在x軸上的雙曲線,則,所以或,選項C正確;對于D：若曲線表示長軸長為的橢圓,則,,則或,無解,選項D錯誤.故選：BC.11、已知數(shù)列的前n項和為，，若存在兩項，，使得，則下列結(jié)論中正確的是()A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列為等差數(shù)列C.為定值D.設(shè)數(shù)列的前n項和為，，則數(shù)列為等差數(shù)列答案：ACD解析：數(shù)列的前n項和為，，則當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，所以，整理，得，即（常數(shù)），所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時也符合，所以，故A正確，B錯誤；由于，故存在兩項，，使得，即，則，故C正確；由題意，得，所以，所以符合一次函數(shù)的形式，故該數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選ACD.12、如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是()A.過點，E，的平面截正方體所得的截面周長為B.存在點F，使得平面C.若平面，則動點F的軌跡長度為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為答案：ACD解析：A選項，如圖，取AB的中點G，連接，，因為E為BC的中點，所以，，所以過點，E，的平面截正方體所得的截面為梯形，其周長為，故A選項正確；B選項，假設(shè)存在點F，使得平面，由，得F只能在線段BD上，再由，得F只能在線段CD上，即F與D重合，不符合題意，故B選項錯誤；C選項，如圖，取AD的中點M，CD的中點N，連接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以動點F的軌跡為線段MN，其長度為，故C選項正確；D選項，由A，C選項可得，平面平面，所以當(dāng)F在點D時，F(xiàn)到平面的距離最大，此時為等邊三角形，因為平面，所以三棱錐的外接球球心一定在直線上，以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，由得，，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故D選項正確.故選ACD.三、填空題（每小題5分，共20分）13、已知直線與圓相切，則______.答案：解析：由點到直線的距離公式可得，故答案為：.14、已知直線與直線垂直,則實數(shù)a的值為___________.答案：0或3解析：因為直線與直線垂直,則,解得或.故答案為：0或3.15、已知數(shù)列滿足,,則數(shù)列的首項__________答案：2解析：因為,令,則,解得;令,則,解得.故答案為：2.16、已知拋物線的焦點為F,,過點M作直線的垂線,垂足為Q,點P是拋物線C上的動點,則的最小值為____________.答案：解析：由得,所以直線過點.連接AM,則,由題意知點Q在以AM為直徑的圓上,設(shè),所以點Q的軌跡方程為（不包含點）,記圓的圓心為,過點Q,P,N分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為B,D,S,連接DQ,則,當(dāng)且僅當(dāng)B,P,Q,N四點共線且點Q在PN中間時等號同時成立,所以的最小值為.故答案為;四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17、設(shè)為等差數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式(2)若成等比數(shù)列，求.答案：解:（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，為等差數(shù)列的前項和，，．∴，解得，.（2）由（1）知．、、成等比數(shù)列，，即，解得，因此，18、已知三角形的頂點邊上的中線所在的直線方程為邊上的高所在直線的方程為.(1)求三角形的頂點的坐標(biāo).(2)若圓經(jīng)過不同的三點且斜率為的直線與圓相切于點,求圓的方程.答案：1.邊上的高所在直線的方程為,所以直線的方程為:,又直線的方程為:,聯(lián)立得,解得,所以設(shè),則的中點,代入方程,解得,所以.

2.由,可得,圓的弦的中垂線方程為注意到也是圓的弦,所以圓心在直線上,設(shè)圓心坐標(biāo)為,因為圓心在直線上,所以①,又因為斜率為的直線與圓相切于點,所以,即,整理得②,由①②解得,所以圓心,半徑故所求圓方程為,即

19、如圖,在三棱錐中,,,O為AC的中點.（1）證明：平面ABC;（2）若點M在棱BC上,且二面角為,求PC與平面PAM所成角的正弦值.答案：（1）證明見解析;（2）.解析：（1）因為,O為AC的中點,所以,且.連結(jié)OB.因為,所以為等腰直角三角形,且,,由知.由,知,PO平面ABC.（2）［方法一］：【通性通法】向量法如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得,,,,.取平面PAC的法向量,設(shè),則.設(shè)平面PAM的法向量為.由,,得,可取所以.由已知得.所以.解得(舍去),,所以.又,所以,所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.［方法二］：三垂線＋等積法由（1）知PO平面ABC,可得平面PAC平面ABC,如圖5.在平面ABC內(nèi)作,垂足為N,則MN平面PAC.在平面PAC內(nèi)作,垂足為F,聯(lián)結(jié)MF,則,故為二面角的平面角,即.設(shè),則,,在中,.在中,由,得,則.設(shè)點C到平面PAM的距離為h,由,得,解得,則PC與平面PAM所成角的正弦值為.［方法三］：三垂線＋線面角定義法由（1）知PO平面ABC,可得平面PAC平面ABC,如圖6.在平面ABC內(nèi)作,垂足為N,則MN平面PAC.在平面PAC內(nèi)作,垂足為F,聯(lián)結(jié)MF,則,故為二面角的平面角,即.同解法1可得.在中,過N作,在中,過N作,垂足為G,聯(lián)結(jié)EG.在中,.因為,所以.由PA平面FMN,可得平面PAM平面FMN,交線為FM.在平面FMN內(nèi),由,可得NG平面PAM,則為直線NE與平面PAM所成的角.設(shè),則,又,所以直線PC與平面PAM所成角的正弦值為.［方法四］：【最優(yōu)解】定義法如圖7,取PA的中點H,聯(lián)結(jié)CH,則.過C作平面的垂線,垂足記為T（垂足T在平面PAM內(nèi)）.聯(lián)結(jié)HT,則即為二面角的平面角,即,得.聯(lián)結(jié)PT,則為直線PC與平面PAM所成的角.在中,,所以.20、如圖,在四棱錐中,平面ABCD,,且,,,,,N為PD的中點．（1）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；（2）在線段PD上是否存在一點M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為,若存在,求出的值；若不存在,說明理由．答案：（1）（2）存在；解析：（1）過A作,垂足為E,可得：,由題意知,可以A點為坐標(biāo)原點,分別以AE,AB,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,,,設(shè)