福建省福州市福建師大二附中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

20232024第一學(xué)期福建師大二附中12月月考高一數(shù)學(xué)班級：______座號：______姓名：______一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解即得.【詳解】集合，所以.故選：D2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和對數(shù)的真數(shù)大于零求解即可【詳解】由題意得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：C3.方程的根所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)果.【詳解】令，因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，，，由零點(diǎn)存在定理可知，方程的根所在的區(qū)間為.故選：B.4.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再判斷時，函數(shù)值的正負(fù)，排除選項(xiàng).【詳解】顯然，，解得：且，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除CD；當(dāng)，，，所以，排除B故選：A．5.已知xy＞0，若，則的最小值為（）A.24 B.16 C.12 D.8【答案】D【解析】【分析】將變形為，再結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因此的最小值為.故選：D.6.已知函數(shù)在[2，3]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”求解即可.【詳解】由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減”得：在上單調(diào)遞減，且，所以且，解得：.故的取值范圍是故選：C.7.標(biāo)準(zhǔn)的圍棋共行列,個格點(diǎn)，每個點(diǎn)上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況，而我國北宋學(xué)者括在他的著作《夢溪筆談》中，也論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，對于，有，所以，分析選項(xiàng)B中與其最接近.故選：B8.函數(shù)滿足，當(dāng)時都有，且對任意，不等式恒成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析得到函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則對任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，恒成立，再轉(zhuǎn)化為，得，恒成立，再分兩種情況，得到的范圍.【詳解】由題得函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則對任意的，不等式恒成立，則不等式，恒成立，則，恒成立，得，得，恒成立，則且，或且，恒成立，即當(dāng)時，且，或且，又當(dāng)，有，，得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生分析能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，綜合能力強(qiáng)，難度大.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，，定義函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的定義域?yàn)?B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)無最大值 D.函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】由題設(shè)所給條件，結(jié)合的范圍，對進(jìn)行化簡，作出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像對各個選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，函數(shù)中的為任意實(shí)數(shù)，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，以此類推，作出函數(shù)的部分圖像，如圖所示，由圖知，函數(shù)值域?yàn)?，所以選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)C正確；又由圖可知，在定義域上沒有單調(diào)性，所以選項(xiàng)D錯誤，故選：AC.10.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A.與；B.與；C.與；D.與.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)與的對應(yīng)法則不同，所以不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)與對應(yīng)法則不同，所以不是同一函數(shù)；對于C中，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以是同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以是同一函數(shù).故選：CD.11.下列四個命題中為假命題的是（）A.B.命題“”的否定是“”C.設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則P是q的必要不充分條件D.與的圖象關(guān)于直線y＝x對稱【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷A的正誤，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B的正誤，根據(jù)條件之間的推出關(guān)系或集合間的包含關(guān)系可判斷C的正誤，結(jié)合反函數(shù)圖象的性質(zhì)即可判斷D的正誤.【詳解】對于A，令，則在為連續(xù)函數(shù)，且，，故在存在零點(diǎn)，即在存在零點(diǎn)，故方程在上有解，故A正確.對于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯誤.對于C，即為，而為的真子集，故是的充分不必要條件，故C錯誤.對于D，因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故D正確.故選：BC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有3個零點(diǎn)B.若函數(shù)有四個零點(diǎn)，則C.若關(guān)于的方程有四個不等實(shí)根，則D.若關(guān)于的方程有8個不等實(shí)根，則【答案】ACD【解析】【分析】畫出的圖象利用數(shù)形結(jié)合可判斷ABC，根據(jù)圖象及二次方程根的分布可判斷D.【詳解】對A，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，畫出的圖象，可以看出關(guān)于對稱，當(dāng)時，取得最小值為1，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的圖象，可看出兩函數(shù)圖象有3個交點(diǎn)，所以函數(shù)有3個零點(diǎn)，A正確；對B，由圖象可知，函數(shù)有四個零點(diǎn)，則，B錯誤；對C，由圖象可知，若關(guān)于的方程有四個不等實(shí)根，不妨設(shè)，則關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以，所以，C正確；對D，令，若關(guān)于的方程有8個不等實(shí)根，則要有2個不相等的實(shí)數(shù)根，且，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出冪函數(shù)的解析式，再求出函數(shù)值即得.【詳解】依題意，設(shè)，則有，解得，即，所以.故答案為：314.已知，且，那么________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷的奇偶性，解出即可求出答案.【詳解】令，，是奇函數(shù).,,..故答案為：15.函數(shù)恒過定點(diǎn)________．【答案】(1,2)【解析】【詳解】當(dāng)時，.所以函數(shù)恒過定點(diǎn)(1,2).16.已知函數(shù)（a＞0且b＞－1），，若對任意x∈R，不等式恒成立，則＝________，的最小值是________．【答案】①.1;②.##.【解析】【分析】分析出，再將變形成，用基本不等式中的“1”的活用技巧求解最小值即可.【詳解】因?yàn)閷θ我猓坏仁胶愠闪?dāng)時，，有；當(dāng)時，，有.又連續(xù)不斷，故必有所以即.，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，即的最小值為.故答案為：1；.四、解答題（本大題共6小題，共68分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（1）計算（2）計算.【答案】（1）0；（2）3【解析】【分析】（1）利用有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)以及運(yùn)算法則求解；（2）利用對數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則求解.【詳解】（1）.（2）.18.設(shè)全集，集合，，．（1）求和；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或，（2）【解析】分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集和交集定義即可求解；（2）得出集合A,C關(guān)系即可求解【小問1詳解】或【小問2詳解】因?yàn)樗?，所以且所以所以a的取值范圍19.已知函數(shù)，其中，，函數(shù).（1）求的值并用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由可求得的值，然后任取、且，作差，因式分解，判斷差值符號，由此可證得結(jié)論成立；（2）分、、三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?任取、且，所以，又因?yàn)?，所以，，，所以，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.①當(dāng)時，則，必有，所以不合題意；②當(dāng)時，則，；③當(dāng)時，恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.即取值作差變形定號下結(jié)論.20.已知某觀光海域AB段的長度為3百公里，一超級快艇在AB段航行，經(jīng)過多次試驗(yàn)得到其每小時航行費(fèi)用Q（單位：萬元）與速度v（單位：百公里／小時）（0≤v≤3）的以下數(shù)據(jù)：01230為描述該超級快艇每小時航行費(fèi)用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．（1）試從中確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）該超級快艇應(yīng)以多大速度航行才能使AB段的航行費(fèi)用最少？并求出最少航行費(fèi)用．【答案】（1）選擇函數(shù)模型，函數(shù)解析式為；（2）以1百公里/小時航行時可使AB段的航行費(fèi)用最少，且最少航行費(fèi)用為2.1萬元.【解析】【分析】（1）對題中所給的三個函數(shù)解析式進(jìn)行分析，對應(yīng)其性質(zhì)，結(jié)合題中所給的條件，作出正確的選擇，之后利用待定系數(shù)法求得解析式，得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式，之后應(yīng)用配方法求得最值，得到結(jié)果.【詳解】（1）若選擇函數(shù)模型，則該函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型．若選擇函數(shù)模型，須，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)在時有意義矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型．從而只能選擇函數(shù)模型，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得，，即，解得故所求函數(shù)解析式為：．（2）設(shè)超級快艇在AB段的航行費(fèi)用為y（萬元），則所需時間為（小時），其中，結(jié)合（1）知，所以當(dāng)時，．答：當(dāng)該超級快艇以1百公里/小時航行時可使AB段的航行費(fèi)用最少，且最少航行費(fèi)用為2．1萬元．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的應(yīng)用題，涉及到的知識點(diǎn)有函數(shù)模型的正確選擇，等量關(guān)系式的建立，配方法求二次式的最值，屬于簡單題目.21.定義在上的函數(shù)滿足，對任意的，有，且當(dāng)時，.（1）求的值，并證明函數(shù)是奇函數(shù)；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（3）解不等式.【答案】21.，證明見解析；22.單調(diào)遞減，證明見解析；23..【解析】【分析】（1）利用賦值法求得，利用定義證明函數(shù)為奇函數(shù).（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，并用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性.（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得不等式的解集.【小問1詳解】依題意，函數(shù)對任意的，都有，令，得，所以；，取，則，即，所以是奇函數(shù).【小問2詳解】在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，有，而當(dāng)時，，則，于是，所以在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】由于，則，，于是不等式，由（2）知，，解得，所以原不等式的解集為.22.已知函數(shù)（a＞0且）是偶函數(shù)，函數(shù)（a＞0且）．（1）求b的值；（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a＝2時，若，使得恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，由f（－x）＝－f（x），即對恒成立求解；（2）由有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有解，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝p（x）圖象與直線y＝a有交點(diǎn)求解；（3）根據(jù)，使得成立，由求解.【小問1詳解】解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以，都有