專題03 難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題之四大考點(解析版)

專題03難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題之四大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】 1【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】 7【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】 13【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】 16【典型例題】【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】例題：（2023秋·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上有、、三個點，分別表示有理數(shù)，，，動點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點移動，設移動時間為秒．(1)當時，點到點的距離______；此時點所表示的數(shù)為______；(2)當點運動到點時，點同時從點出發(fā)，以每秒個單位的速度向點運動，點到達點后也停止運動，則點出發(fā)秒時與點之間的距離______；(3)在（2）的條件下，當點到達點之前，請求出點移動幾秒時恰好與點之間的距離為個單位？【答案】(1)，(2)3(3)秒或秒【分析】（1）利用線段的長點的移動速度點的移動時間，可求出的長；利用點表示的數(shù)點的移動速度點的移動時間，可求出點所表示的數(shù)；（2）由點，的出發(fā)點、移動方向、移動速度及移動時間，可求出點出發(fā)秒時點，表示的數(shù)，再利用數(shù)軸上兩點間的距離公式，即可求出此時的長；（3）當點的移動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)，可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）動點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點移動，當移動時間為秒時，；又點表示有理數(shù)，當移動時間為秒時，點表示的數(shù)為．故答案為：，；（2）當點出發(fā)秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，此時．故答案為：；（3）當點的移動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)題意得：，即或，解得：或．答：在的條件下，當點到達點之前，點移動秒或秒時恰好與點之間的距離為個單位．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)軸，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖：在數(shù)軸上，點A對應的數(shù)是，點B對應的數(shù)是16，兩動點M、N同時從原點O出發(fā)，點M以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸向點B運動；點N以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，到達點A后停留1秒，再從點A沿數(shù)軸向右到達點B后停止運動．設點M的運動時間為秒．(1)當時，線段的長為________（直接填空）；當時，線段的長為________（直接填空）；(2)在運動過程中，當點M與點N重合時，求t的值；(3)當線段的長為7時，直接寫出t的值．【答案】(1)4，3(2)(3)8或9【分析】（1）分別求出當時，當點M和點N表示的數(shù)，然后利用數(shù)軸上兩點距離公式求解即可；（2）先判斷出當點M與點N重合時，點N肯定是在從A向B的運動過程中，由此表示出運動t秒后點M和點N表示的數(shù)，再根據(jù)二者重合建立方程求解即可；（3）分當點N向點A運動的過程時，當點N在點A停留時，點N從點A向點B運動過程中，且點N沒有追上M時，當點N從點A向點B運動過程中，且點N追上M，且點N為到點B前，當點N從點A向點B運動過程中，且點N到達點B后，表示出點N和點M表示的數(shù)，再根據(jù)的長為7建立方程求解即可．【詳解】（1）解：當時，點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，∴；當時，點N表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，∴；故答案為：4，3；（2）解：由題意得，當點M與點N重合時，點N肯定是在從A向B的運動過程中，此時運動t秒后，點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，∴，解得；（3）解：當點N向點A運動的過程時，由題意得，解得，不符合題意；當點N在點A停留時，由題意得，，解得，不符合題意；當點N從點A向點B運動過程中，且點N沒有追上M時，由題意得，，解得，不符合題意；當點N從點A向點B運動過程中，且點N追上M，且點N為到達點B前，由題意得，，解得；當點N從點A向點B運動過程中，且點N到達點B后停止運動，由題意得，，解得；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點距離公式，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．2．如圖1，、兩點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為和6．(1)直接寫出、兩點之間的距離___；(2)若在數(shù)軸上存在一點，使得，求點表示的數(shù)；(3)如圖2，現(xiàn)有動點、，若點從點出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，當點到達原點后立即以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，求：當時的運動時間的值．【答案】(1)22(2)或(3)當時的運動時間的值為2或秒【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式即可求出、兩點之間的距離；（2）設點表示的數(shù)為．分兩種情況：①點在線段上；②點在線段的延長線上．根據(jù)列出關于的方程，求解即可；（3）根據(jù)點的運動方向分兩種情況：①當時，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動；②當時，點從原點開始以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，根據(jù)列出關于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：、兩點之間的距離是：；（2）解：設點表示的數(shù)為．分兩種情況：①當點在線段上時，，，解得；②當點在線段的延長線上時，，，解得．綜上所述，點表示的數(shù)為或；（3）解：分兩種情況：①當時，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，此時點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，，解得，符合題意；②當時，點從原點開始以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，此時點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，，當時，，解得；當時，，解得，不符合題意，舍去；綜上所述，當時的運動時間的值為2或秒．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，數(shù)軸，結合動點考查了兩點間的距離，以及路程、速度與時間關系的應用，理解題意，找到相等關系進行正確分類是解題的關鍵．3．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）知識準備：數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點之間的距離就是線段的長，且，AB的中點C對應的數(shù)為：．問題探究：在數(shù)軸上，已知點A所對應的數(shù)是，點B對應的數(shù)是10．(1)求線段的長為___________；線段的中點對應的數(shù)是___________．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離是___________；若該距離是8，則x=___________．(3)若動點P從點A出發(fā)以每秒6個單位長度的速度向右運動，同時動點Q從點B出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向左運動．經過多少秒，P、Q兩點相距6個單位長度？【答案】(1)14

3(2)

3或(3)1秒或2.5秒【分析】（1）直接代入題目中的公式即可求解；（2）代入公式，解絕對值方程求解；（3）分別用時間t表示P、Q點的數(shù)值，繼而表示線段的長，解關于時間t的方程求解．【詳解】（1），AB的中點C對應的數(shù)為：．故答案為14，3（2）若則∴答案為故

或（3）設運動時間為t秒，則點P運動后所對應的點為，點Q運動后所對應的點為，∴之間的距離為，當P、Q兩點相距6個單位長度時，，解得或，∴經過1秒或2.5秒時，P、Q兩點相距6個單位長度．【點睛】本題考查數(shù)軸上的動點問題，解題時表示動點的數(shù)值是解題的關鍵．【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】例題：點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長；(2)若點C在數(shù)軸上對應的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點P使，若存在，求出點P對應的數(shù)，若不存在，說明理由；(3)如圖，點P在B點右側，的中點為為靠近于B點的四等分點，當P在B的右側運動時，有兩個結論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結論正確，請判斷正確的結論，并求出其值．【答案】(1)4(2)或(3)正確的結論為①的值不變，其值為2【分析】（1）利用非負數(shù)的性質求出a與b的值，即可確定出的長；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點，設點P在數(shù)軸上對應的數(shù)是m，由確定出P位置，即可做出判斷；（3）設P點所表示的數(shù)為n，就有，，根據(jù)條件就可以表示出，，再分別代入①和②求出其值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴．答：的長為4；（2）∵，∴，∴BC==5．設點P在數(shù)軸上對應的數(shù)是m，∵，∴，令，，∴或．①當時，，；②當時，，（舍去）；③當時，，．∴當點P表示的數(shù)為或時，；（3）解：設P點所表示的數(shù)為n，∴，．∵PA的中點為M，∴．∵N為的四等分點且靠近于B點，∴B，∴①=2（不變），②（隨點P的變化而變化），∴正確的結論為①，且．【點睛】此題考查了數(shù)軸的運用，數(shù)軸上任意兩點間的距離公式的運用，去絕對值的運用，一元一次方程的解，解題的關鍵是靈活運用兩點間的距離公式．【變式訓練】1．閱讀下面的材料：如圖①，若線段在數(shù)軸上，A，B點表示的數(shù)分別為a，b，則線段的長（點A到點B的距離）可表示為．請用上面材料中的知識解答下面的問題：如圖②，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動1cm到達A點，再向左移動2cm到達B點，然后向右移動7cm到達C點，用1個單位長度表示1cm．(1)請你在數(shù)軸上表示出、、三點的位置，并直接寫出線段的長度；(2)若將點A向右移動cm，請用代數(shù)式表示移動后的點表示的數(shù)？(3)若點B以每秒2cm的速度向左移動至點，同時點A，點C分別以每秒1cm和4cm的速度向右移動至點，點，設移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而變化？請說明理由．【答案】(1)數(shù)軸見解析，cm(2)(3)不變，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題目中點的運動可直接得出點、、的位置，進而可得出的長度；（2）根據(jù)“數(shù)軸上的點，越往右越大”可得出點A移動后所表示的數(shù)；（3）先分別表示，點，點所對應的數(shù)，再表達兩點間的距離，進而可表示，最后判斷它的值是否變化即可．【詳解】（1）如圖所示：．(cm)；（2）將點A向右移動cm，則移動后的點表示的數(shù)為；（3）的值不會隨著t的變化而變化，理由如下：由題意可知，，點，點所對應的數(shù)分別為：，，，由點的運動可知，點在點的右側，點在點的右側，∴，，∴，∴的值不會隨著t的變化而變化．【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的運動，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離求解方法是解決問題的關鍵．2．如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動到達A點，再向右移動到達B點，然后再向右移動到達C點，數(shù)軸上一個單位長度表示．(1)請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點的位置；(2)把點C到點A的距離記為，則_______．(3)若點A沿數(shù)軸以每秒勻速向右運動，經過多少秒后點A到點C的距離為？(4)若點A以每秒的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒、的速度勻速向右移動．設移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)秒或秒；(4)不變化，值為．【分析】（1）根據(jù)題意，在數(shù)軸上表示點A、B、C的位置即可；（2）利用數(shù)軸上兩點間的距離公式解題；（3）分兩種情況討論：點A在點C的左側或點A在點C的右側；（4）表示出，再相減即可解題．【詳解】（1）如圖，（2）故答案為：；（3）①當點A在點C的左側時：

②點A在點C的右側時：所以，經過或秒后點A到點C的距離為3cm．（4）移動t秒后，，的值不會隨著的變化而變化，．【點睛】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點間的距離等知識，掌握相關知識是解題關鍵．3．如圖，記數(shù)軸上A、B兩點之間線段長為，（單位長度），（單位長度），在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．(1)點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，線段BC的長＝_____．(2)若線段以1個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動，當點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？(3)若線段以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運動，設運動時間為t秒，當時，M為中點，N為中點．①若數(shù)軸上兩個數(shù)為a、b，則它們的中點可表示為．則點M表示的數(shù)為_____，點N表示的數(shù)為______．（用代數(shù)式表示）②線段MN的長是否為定值，如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)，14，24(2)當點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣2(3)①；；②MN的長是定值，【分析】（1）數(shù)軸上點A右邊的點B表示的數(shù)是點A表示的數(shù)加上這兩個點的距離，數(shù)軸上點D左邊的點C表示的數(shù)是點D表示的數(shù)減去這兩個點的距離，依此方法可求出點B和點C表示的數(shù)，因為點C在點B的右邊，所以用點C表示的數(shù)減去點B表示的數(shù)即得到線段的長；（2）設運動的時間為t秒，先確定點B表示的數(shù)為，點B與點C相距24個單位長度，兩個點相向運動，則點B與點C重合時，點B與點C運動的距離和為24，列方程求出t的值再求出點B表示的數(shù)即可；（3）①先用t的代數(shù)式表示出A、B、C、D四點對應的數(shù)，再根據(jù)中點公式即可求解；②用兩點間距離公式即可求解．【詳解】（1）解：因為點A表示的數(shù)是，點B在點A右側，且，所以，所以點B表示的數(shù)是；因為點D表示的數(shù)是15，點C在點D的左側，且，所以，所以點C表示的數(shù)是14，點B與點C的距離是（單位長度），所以線段BC的長為24個單位長度，故答案為：，14，24．（2）設運動的時間為t秒，則點B表示的數(shù)是，根據(jù)題意得，解得，所以，答：當點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是．（3）①根據(jù)題意得，t秒后點A對應的數(shù)為：，點C對應的數(shù)為：，∵M為中點，∴點M對應的數(shù)為：，t秒后點B對應的數(shù)為：，點D對應的數(shù)為：，∵N為中點，∴點N對應的數(shù)為：，故答案為：；；②線段的長為定值，∵點M對應的數(shù)為，點N對應的數(shù)為；∴，∴線段的長為定值．【點睛】此題考查數(shù)軸上兩點的距離的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解應用題等知識與方法，解題的關鍵是正確理解行程問題中相遇問題和追及問題的數(shù)量關系并且用代數(shù)式和等式表示這些關系．【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點與表示數(shù)﹣1的點重合，則此時表示數(shù)4的點與表示數(shù)的點重合；(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，回答下列問題：①表示數(shù)9的點與表示數(shù)的點重合；②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側），求A，B兩點所表示的數(shù)分別是多少？③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點P，設點P表示的數(shù)為x．當PA+PB＝12時，直接寫出x的值．【答案】(1)-4(2)①-5；②A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③x的值為-4或8．【分析】（1）先求出中心點，再求出對應的數(shù)即可；（2）①求出中心點是表示2的點，再根據(jù)對稱求出即可；②求出中心點是表示2的點，求出A、B到表示2的點的距離是5，即可求出答案；③根據(jù)點P在數(shù)軸上的位置，分類討論，當點P在點A的左側時，當點P在點A、B之間時，當點P在點A的右側時，根據(jù)各種情形求解即可．【詳解】（1）解：∵折疊紙面，使數(shù)字1表示的點與-1表示的點重合，可確定中心點是表示0的點，∴4表示的點與-4表示的點重合，故答案為∶-4；（2）解：①∵折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，可確定中心點是表示2的點，∴表示數(shù)9的點與表示數(shù)-5的點重合；故答案為∶-5；②∵折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側），∴A、B兩點距離中心點的距離為10÷2=5，∵中心點是表示2的點，∴A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③當點P在點A的左側時，∵PA+PB＝12，∴-3-x+7-x=12，解得x=-4；當點P在點A、B之間時，此時PA+PB=12不成立，故不存在點P在點A、B之間的情形；當點P在點A的右側時，∵PA+PB＝12，∴x-(-3)+x-7=12，解得x=8，綜上x的值為-4或8．【點睛】本題考查了數(shù)軸的應用，能求出折疊后的中心點的位置是解此題的關鍵．【變式訓練】1．已知在數(shù)軸上A，B兩點對應數(shù)分別為﹣2，6．(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出點A、點B；(2)若同一時間點M從點A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運動，點N從點B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運動，點P從原點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動．①若點P向右運動，幾秒后點P到點M、點N的距離相等？②若點P到A的距離是點P到B的距離的三倍，我們就稱點P是【A，B】的三倍點．當點P是【B，A】的三倍點時，求此時P對應的數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)①秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②P對應數(shù)-6或0．【分析】（1）畫出數(shù)軸，找出A、B所對應的點即可；（2）①根據(jù)兩點間距離表示出MP=2t+2－t=t+2．當點P在點N左側時，NP=6－5t；當點P在點N左右側時，NP=5t－6，計算即可；②根據(jù)點P是【B，A】的三倍點，可得PB=3PA．分情況討論：當點P在A點左側時，求出點P對應數(shù)-6；當點P在A、B之間時，求出點P對應數(shù)0，綜上可知點P對應數(shù)-6或0．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．當點P在點N左側時，NP=6－5t；當點P在點N左右側時，NP=5t－6∴t+2=6－5t，得：t=；或t+2=5t－6，得：t=2．即秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②∵點P是【B，A】的三倍點，∴PB=3PA．當點P在A點左側時，AB=2PA=8，∴PA=4，點P對應數(shù)-6；當點P在A、B之間時，AB=4PA=8，∴PA=2，點P對應數(shù)0，綜上可知點P對應數(shù)-6或0．【點睛】本題考查數(shù)軸，解題的關鍵是掌握數(shù)軸的三要素及畫法，數(shù)軸上兩點之間的距離，注意對于動點問題需要進行分情況討論．2．如圖，已知為數(shù)軸上的兩個點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是20．(1)直接寫出線段的中點對應的數(shù)；(2)若點在數(shù)軸上，且，直接寫出點對應的數(shù)；(3)若熊大從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進8個單位長度；同時熊二從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進12個單位長度它們在點處相遇，求點對應的數(shù)；(4)若熊大從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進8個單位長度；同時熊二從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進12個單位長度，當它們在數(shù)軸上相距20個單位長度時，求熊大所在位置點對應的數(shù)．【答案】(1)線段的中點對應的數(shù)為(2)點對應的數(shù)為或50(3)點對應的數(shù)為(4)熊大所在位置點對應的數(shù)為或【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上線段中點所對應的數(shù)計算方法進行計算即可；（2）分兩種情況進行解答，即點在點的左側或右側，列式計算即可；（3）求出相遇的時間，再根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法進行計算即可；（4）分追及前相距20和追及后相距20兩種情況進行解答，設未知數(shù)，根據(jù)速度、時間、路程之間的關系列方程求解即可．【詳解】（1）解：線段的中點對應的數(shù)為，答：線段的中點對應的數(shù)為；（2）解：當點在點的左側時，點所對應的數(shù)為：，當點在點的右側時，點所對應的數(shù)為：，答：點對應的數(shù)為或50；（3）解：設相遇時間為s，由題意得，，解得，點對應的數(shù)為；（4）解：追及前相距20，設行駛的時間為s，由題意得，，解得，此時熊大所在位置點對應的數(shù)為，追及后相距20，設行駛的時間為s，由題意得，，解得，此時熊大所在位置點對應的數(shù)為，答：熊大所在位置點對應的數(shù)為或．【點睛】本題考查數(shù)軸，理解數(shù)軸表示數(shù)的方法，掌握速度、時間、路程之間的關系是解決問題的關鍵．【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】例題：（2023春·湖北武漢·七年級校聯(lián)考階段練習）數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離．因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與所對應的點之間的距離．(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點A，B，P分別表示數(shù)，2，x．

填空：因為的幾何意義是線段與的長度之和，而當點P在線段上時，，當點P在點A的左側或點B的右側時，．所以的最小值是______；(2)解決問題：①直接寫出式子的最小值為_______；②直接寫出不等式的解集為_______；③當a為_______時，代數(shù)式的最小值是2．（直接寫出結果）【答案】(1)3(2)①6；②或；③或【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；（2）①把原式轉化看作是數(shù)軸上表示x的點與表示4與的點之間的距離最小值，進而問題可求解；②根據(jù)題意畫出相應的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進行求解；③根據(jù)原式的最小值為2，得到表示3的點的左邊和右邊，且到3距離為2的點即可．【詳解】（1）解：當點P在點A的左側或點B的右側時，．所以的最小值是3；故答案為：3；（2）解：①，表示到與到的距離之和，

點在線段上，，當點在點的左側或點的右側時，，∴的最小值是6；故答案為：6；②如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，

當點在和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；當點在的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，則范圍為或；故答案為：或；③當為或時，代數(shù)式為或，∵數(shù)軸上表示數(shù)1的點到表示數(shù)3的點的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)5的點到表示數(shù)3的點的距離也為，因此當為或時，原式的最小值是．故答案為：或．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離問題是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·江蘇·七年級期中）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與－1所對應的點之間的距離．（ⅰ）發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點A、B、P分別表示數(shù)－1、2、x，AB＝3∵的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，∴當點P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當點P在點A的左側或點B的右側時，PA＋PB＞3∴的最小值是3請你根據(jù)上述自學材料，探究解決下列問題：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)當a為何值時，代數(shù)式的最小值是2【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6【分析】（1）把原式轉化看作是數(shù)軸上表示x的點與表示3與-2的點之間的距離最小值，進而問題可求解；（2）根據(jù)題意畫出相應的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進行求解；（3）根據(jù)原式的最小值為2，得到表示4的點的左邊和右邊，且到4距離為2的點即可．【詳解】（1）解：，表示到與到的距離之和，點在線段上，，當點在點的左側或點的右側時，，的最小值是5；（2）解：如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，當點在和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；當點在的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，則范圍為或；（3）解：當為或時，代數(shù)式為或，數(shù)軸上表示數(shù)2的點到表示數(shù)4的點的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)6的點到表示數(shù)4的點的距離也為，因此當為或時，原式的最小值是．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離問題是解題的關鍵．2．（2023·全國·七年級專題練習）在數(shù)學問題中，我們常用幾何方法解決代數(shù)問題，借助數(shù)形結合的方法使復雜問題簡單化．材料一：我們知道|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離；|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點之間的距離；|a+b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，﹣b的兩點之間的距離；根據(jù)絕對值的幾何意義，我們可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由絕對值的幾何意義知：在數(shù)軸上x表示的點到3的距離等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其絕對值的幾何意義為：在數(shù)軸上x表示的點到﹣2的距離等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x