概率論之二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布課件

概率論課件之二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布聯(lián)合概率密度

定義二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，如果存在非負(fù)的函數(shù)f(x,y)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，有

稱(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度.密度性質(zhì)這兩條可作為判斷一個(gè)二元函數(shù)是否是聯(lián)合概率密度的標(biāo)準(zhǔn)5）關(guān)于X和Y的邊緣概率密度為帶參變量的積分例1已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為試寫出(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。y1f(x,y)的非零區(qū)域

x01解：F(x,y)=01)當(dāng)x≤0,或y≤0時(shí)2)當(dāng)0≤x,y≤1時(shí)xy011f(x,y)的非零區(qū)域

3)當(dāng)0≤x≤1,y≥1時(shí)4)當(dāng)0≤y≤1,x≥1時(shí)xy011f(x,y)的非零區(qū)域

5)當(dāng)1≤y,x≥1時(shí)綜上所敘得：例2已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求：1)a，2)邊緣概率密度.3)P{X+Y>1}.分析：1)利用性質(zhì)2)利用含參變量積分；3)利用聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：f(x,y)的非零區(qū)域

xyO12f(x,y)的非零區(qū)域

xyO12例3已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y

(y).分析：求Y的邊緣概率密度，需固定y對(duì)x求積分。實(shí)質(zhì)上是求含參變量的積分.x0yxy=1x=1y=x對(duì)y的不同值，fY(y)的積分上下限不相同.x0yy=xxy=1x=1

求解邊緣概率密度,實(shí)質(zhì)上是解決帶參變量積分的問(wèn)題.

難點(diǎn):定積分的上下限.解決方法:借助于圖形二.兩個(gè)重要的二維連續(xù)型隨機(jī)變量1、二維均勻分布

設(shè)G

R2,面積為

S(G),若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.1.(X,Y)在G上服從均勻分布,設(shè)D

G

則有GD面積為S(G)面積為S(D)概率值與區(qū)域D的形狀、位置等均無(wú)關(guān),只與D的面積有關(guān)。

2.設(shè)X~U(a,b)，(c,d)

(a,b)則借助于幾何度量指標(biāo)(長(zhǎng)度,面積,體積等)計(jì)算概率,可建立“幾何概型”.例設(shè)（X,Y）服從區(qū)域解：1)區(qū)域D的面積故（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：上的均勻分布，求聯(lián)合密度函數(shù)以及邊緣密度函數(shù)2)X的邊緣密度函數(shù)2)Y的邊緣密度函數(shù)注意：(X,Y)的邊緣分布已不再是均勻分布2.二維正態(tài)分布

定義二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為:

稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為～二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布.留給同學(xué)們自己證明.～～命題若～三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對(duì)任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.定義設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y),邊緣概率密度為，則對(duì)一切使的x,定義已知

X=x下，Y的條件密度函數(shù)為同樣，對(duì)一切使的y,定義為已知

Y=y下，X的條件密度函數(shù).運(yùn)用條件概率密度，我們可以在已知某一隨機(jī)變量值的條件下，定義與另一隨機(jī)變量有關(guān)的事件的條件概率.定義:在已知

Y=y下，X的條件分布函數(shù)為:特別，取即:若(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,則對(duì)任一集合A，求P(X>1|Y=y)例：設(shè)(X,Y)的概率密度：解:P(X>1|Y=y)為此,需求出由于于是對(duì)