專題06 分式及分式方程（解析版）

專題06分式及分式方程考點1：分式有意義的條件1．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是（

）A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜2【答案】C【分析】令分母不等于0求解即可．【詳解】由題意得x-2≠0，∴x≠2．故選C．2．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）若代數(shù)式的值是0，則實數(shù)x的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由即可求解．【詳解】解：由分母不為零得：∵代數(shù)式的值是0∴綜上：故選：B3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）使分式有意義的x的取值范圍是．【答案】【分析】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案．【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，即，解得，故答案為：．4．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．【答案】【詳解】解：由題意知：x-2≠0，解得x≠2；故答案為x≠2．5．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】直接利用分式有意義則分母不等于零即可得出答案．【詳解】解：在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，故x-3≠0，解得：x≠3．故答案為：x≠3．6．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）分式有意義，則x應滿足的條件是．【答案】【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0得出不等式，求解即可．【詳解】解：分式有意義，即，∴，故答案為：．7．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)：中，自變量x的取值范圍是．【答案】【詳解】解：求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)分式分母不為0的條件，要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須，即．故答案為：．考點2：分式的化簡及求值8．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）已知兩個不等于0的實數(shù)、滿足，則等于（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先化簡式子，再利用配方法變形即可得出結果．【詳解】解：∵，∴，∵兩個不等于0的實數(shù)、滿足，∴，故選：A．9．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別找到各式為0時的x值，即可判斷．【詳解】解：A、當x=-1時，x+1=0，故不合題意；B、當x=±1時，x2-1=0，故不合題意；C、分子是1，而1≠0，則≠0，故符合題意；D、當x=-1時，，故不合題意；故選C．10．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）化簡的結果是．【答案】x【分析】根據(jù)分式的減法進行計算即可求解．【詳解】解：原式＝．故答案為：．11．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】3【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2+3m-1=0，則3m-1=-m2，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出m+n=-3，再將其代入整理后的代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，∴m2+3m-1=0，∴3m-1=-m2，∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個根，∴m+n=-3，∴，故答案為：3．12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）計算：(2)．【答案】(2)【分析】（2）根據(jù)分式的運算可進行求解．【詳解】（2）解：原式．13．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】先根據(jù)分式的乘法進行計算，然后計算減法，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：；當時，原式．14．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）（2）計算：．【答案】（2）1【分析】（1）運用加消元法解二元一次方程；（2）先進行分式的乘法運算，再計算減法得到結果．【詳解】（2）解：原式．15．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先將括號內(nèi)式子通分，變分式除法為乘法，約分化簡，再將代入求值．【詳解】解：，將代入，得：原式．16．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：已知，，，試比較與的大?。∪A：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較與的大?。∪A：∵，∴．老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)作差法求的值即可得出答案；（2）根據(jù)作差法求的值即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，．故答案為：．17．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）計算：(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算零指數(shù)冪，算術平方根，特殊角的三角函數(shù)值，再進行加減運算即可；（2）除法變乘法，再進行計算即可．【詳解】（2）原式．18．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（2）化簡：．【答案】（2）【分析】（2）先通分算出括號內(nèi)的結果，再將除數(shù)中的分子進行因式分解，同時將除法運算轉化為乘法運算，最后約分即可得到結果．【詳解】解：（2）原式．19．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，原式【分析】先根據(jù)分式的混合計算法則化簡，然后代值計算即可．【詳解】解：，當時，原式．20．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】利用分式的混合運算，化簡原式，再把，代入化簡后的式子，計算即可．【詳解】解：原式，，．當，時，原式．21．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）計算：(2)．【答案】(2)【分析】（2）按照分式混合運算法則計算即可．【詳解】（2）解：===．22．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）(1)計算：；【答案】(1)1【分析】(1)首先利用平方差公式進行因式分解，再進行約分和加法運算，即可求得結果；【詳解】（1）解：23．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）化簡：．【答案】【分析】根據(jù)異分母分式的加法計算法則求解即可．【詳解】解：原式．24．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）（2）化簡：．【答案】（2）【分析】（1）根據(jù)絕對值，零指數(shù)冪和特殊角三角形函數(shù)值的計算法則求解即可；（2）根據(jù)分式的混合計算法則求解即可．【詳解】（2）原式．25．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）計算：(2)【答案】(2)【分析】（2）先合并括號里的分式，再對分子和分母分別因式分解即可化簡；【詳解】（2）解：原式===．26．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（2）化簡：．【答案】（2）【分析】（2）先對括號內(nèi)的分式通分，然后再將除法轉化為乘法，然后約分即可..【詳解】（2）解：原式．27．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）計算．【答案】【分析】先對括號里的分式進行通分，將通分后的分式進行合并，將合并后的結果與最后一項分式相除，將除法運算轉化為乘法運算，最后約分化簡后即可得到計算結果．【詳解】解：原式=====．28．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）計算：（2）．【答案】（2）【分析】（2）先通分化成同分母減法，進而即可求解．【詳解】解：（2）原式====．29．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）計算：（2）【答案】（2）【分析】（1）先算絕對值，零指數(shù)冪，立方根和負整數(shù)指數(shù)冪，再算加減法，即可求解；（2）先算分式的加法，再把除法化為乘法，進行約分，即可求解．【詳解】解：（2）原式===．30．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）先化簡再求值：，其中．【答案】，【分析】先算分式的加法，再算乘法運算，最后代入求值，即可求解．【詳解】解：原式．當時，原式．31．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4．【答案】a＋1，﹣3【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】解：（＋1）÷＝＝＝a＋1，當a＝﹣4時，原式＝﹣4＋1＝﹣3．32．（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，3【分析】先通分，再約分，將分式化成最簡分式，再代入數(shù)值即可．【詳解】解：原式．∵∴原式．33．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）計算或化簡：（2）．【答案】（2）【分析】（2）先通分，計算加法，再將除法轉化為乘法，最后約分計算．【詳解】解：（2）===34．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（2）化簡：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x．【答案】（2）x2【分析】（2）根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案．【詳解】解：（2）（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x＝（x+1）（x﹣1）÷﹣x＝（x+1）（x﹣1）?﹣x＝x（x+1）﹣x＝x2．考點3：分式方程的解法35．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）方程的解是（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)解分式方程的基本步驟進行求解即可．先兩邊同時乘最簡公分母，化為一元一次方程；然后按常規(guī)方法，解一元一次方程；最后檢驗所得一元一次方程的解是否為分式方程的解．【詳解】解：方程兩邊都乘，得解這個方程，得檢驗：將代入原方程，得左邊，右邊，左邊=右邊．所以，是原方程的根．故選：A．36．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）方程的解是：．【答案】【分析】首先方程兩邊乘以最簡公分母去分母，然后去括號，移項，合并同類項，把的系數(shù)化為1，最后一定要檢驗．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，檢驗：把代入最簡公分母中：，∴原分式方程的解為：，故答案為：37．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）分式方程的解為．【答案】【分析】方程兩邊同時乘以，化為整式方程，解方程驗根即可求解．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，故答案為：．38．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）方程的解是．【答案】【分析】將分式方程轉化為整式方程，求解即可．【詳解】解：由可得：解得經(jīng)檢驗是原分式方程的解，故答案為：39．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）方程的解是.【答案】【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程求解，注意結果要檢驗．【詳解】解：去分母，得，去括號，得，移項、合并同類項，得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，故答案為：．40．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）方程的解是．【答案】【分析】方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當時，，所以是原方程的解，即原方程的解是，故答案為：.41．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）分式方程的解為．【答案】【分析】方程兩邊同時乘以2x-1，然后求出方程的解，最后驗根．【詳解】解：方程兩邊同乘得解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的根，故答案為：．42．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）分式方程=1的解是．【答案】x=1【分析】先給方程兩邊同乘最簡公分母x+1，把分式方程轉化為整式方程2=x+1，求解后并檢驗即可．【詳解】解：方程的兩邊同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．檢驗：當x=1時，x+1=2≠0．所以原方程的解為x=1．故答案為：x=1．43．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）方程的解是．【答案】，【分析】先把兩邊同時乘以，去分母后整理為，進而即可求得方程的解．【詳解】解：，兩邊同時乘以，得，整理得：解得：，，經(jīng)檢驗，，是原方程的解，故答案為：，．44．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】【分析】方程兩邊同時乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，經(jīng)檢驗x＝4是原方程的根．【詳解】解：方程兩邊同時乘以x﹣2得，，解得：檢驗：當時，，∴是原方程的解，∴原方程的解為x＝4．45．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：；【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去分母，再移項合并同類項，解出x的值，再對所求的根進行檢驗即可；（2）分別解每一個不等式，再求不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）方程兩邊同時乘以，得，解得，檢驗：當時，，∴是原方程的解；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式組的解集是．46．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）（2）解方程：．【答案】（2）【分析】（2）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．【詳解】解：（2），方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當時，，所以分式方程的解是．47．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】【分析】根據(jù)解分式方程的步驟求出解，再檢驗即可．【詳解】方程兩邊同乘以，得．解方程，得．經(jīng)檢驗，是原方程的解．48．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：；【答案】（1）；【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以，得，，．得．檢驗：當時，，所以是原方程的解；49．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】x＝﹣1【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，先去分母化為整式方程，再求出方程的解，最后進行檢驗即可．【詳解】解：，2x＝x﹣2+1，x＝﹣1，經(jīng)檢驗x＝﹣1是原方程的解，則原方程的解是x＝﹣1．50．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）解方程．【答案】【分析】先將方程兩邊同時乘以，化為整式方程后解整式方程再檢驗即可．【詳解】解：，，，，檢驗：將代入中得，，∴是該分式方程的解．51．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）（2）解方程．【答案】（2）．【分析】（2）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗依次進行求解即可．【詳解】解：（2），去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解．則原方程的解為：．52．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】無解【分析】將分式去分母，然后再解方程即可．【詳解】解：去分母得：整理得，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的增根，故此方程無解．53．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：﹣＝0；【答案】（1）x＝6；【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；【詳解】解：（1）﹣＝0去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0去括號得：3x﹣6﹣2x＝0解得：x＝6檢驗：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠0∴分式方程的解為x＝6；54．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）（2）解方程：+1＝．【答案】（2）x=-1【分析】（2）先將分式方程化簡為整式方程，再求解檢驗即可．【詳解】解：（2）等式兩邊同時乘以（x-2）得2x+x-2=-5，移項合并同類項得3x=-3，系數(shù)化為1得x=-1檢驗：當x=-1時，x-2，∴x=-1是原分式方程的解．考點4：分式方程的應用55．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）隨著2022年底城東快速路的全線通車，徐州主城區(qū)與東區(qū)之間的交通得以有效改善，如圖某人乘車從徐州東站至戲馬臺景區(qū)，可沿甲路線或乙路線前往．已知甲、乙兩條路線的長度均為，甲路線的平均速度為乙路線的倍，甲路線的行駛時間比乙路線少，求甲路線的行駛時間．

【答案】甲路線的行駛時間為．【分析】設甲路線的行駛時間為，則乙路線的行駛事件為，根據(jù)“甲路線的平均速度為乙路線的倍”列分式方程求解即可．【詳解】解：甲路線的行駛時間為，則乙路線的行駛事件為，由題意可得，，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴甲路線的行駛時間為，答：甲路線的行駛時間為．56．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩名學生到離校的“人民公園”參加志愿者活動，甲同學步行，乙同學騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)后乙同學出發(fā)，兩名同學同時到達，求乙同學騎自行車的速度．【答案】【分析】根據(jù)甲、乙同學步行和騎自行車的速度之間的數(shù)量關系設未知數(shù)，再根據(jù)所走時間之間的數(shù)量關系列方程即可．【詳解】解：設甲同學步行的速度為，則乙同學騎自行車速度為，

，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，也符合實際．，答：乙同學騎自行車的速度為．57．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）某中學為準備十四歲青春儀式，原計劃由八年級（1）班的4個小組制作360面彩旗，后因1個小組另有任務，其余3個小組的每名學生要比原計劃多做3面彩旗才能完成任務．如果這4個小組的人數(shù)相等，那么每個小組有學生多少名？【答案】每個小組有學生10名．【分析】設每個小組有學生x名，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結果．【詳解】解：設每個小組有學生x名，根據(jù)題意，得，解這個方程，得x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的根，∴每個小組有學生10名．58．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）為了提高廣大職工對消防知識的學習熱情，增強職工的消防意識，某單位工會決定組織消防知識競賽活動，本次活動擬設一、二等獎若干名，并購買相應獎品．現(xiàn)有經(jīng)費1275元用于購買獎品，且經(jīng)費全部用完，已知一等獎獎品單價與二等獎獎品單價之比為4∶3．當用600元購買一等獎獎品時，共可購買一、二等獎獎品25件．（1）求一、二等獎獎品的單價；（2）若購買一等獎獎品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式？【答案】（1）一、二等獎獎品的單價分別是60元，45元；（2）共有3種購買方案，分別是：一等獎品數(shù)4件，二等獎品數(shù)23件；一等獎品數(shù)7件，二等獎品數(shù)19件；一等獎品數(shù)10件，二等獎品數(shù)15件．【分析】（1）設一、二等獎獎品的單價分別是4x，3x，根據(jù)等量關系，列出分式方程，即可求解；（2）設購買一等獎品的數(shù)量為m件，則購買二等獎品的數(shù)量為件，根據(jù)4≤m≤10，且為整數(shù)，m為整數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：（1）設一、二等獎獎品的單價分別是4x，3x，由題意得：，解得：x=15，經(jīng)檢驗：x=15是方程的解，且符合題意，∴15×4=60（元），15×3=45（元），答：一、二等獎獎品的單價分別是60元，45元；（2