量子力學簡介課件

量子力學簡介2024/1/717.1微觀粒子的波粒二象性和不確定關系式17.1.1微觀粒子的波粒二象性1.物質波提出的背景(1)玻爾模型遇到根本困難，亟需突破;(2)愛因斯坦的光量子論及光的波粒二象性思想得到國際科學界的承認;(3)德布羅意本人對量子物理研究感興趣，有相當好的研究基礎.他把量子理論研究作為他的博士論文方向.他發(fā)誓：要盡我所能去理解那個神秘的量子.2024/1/7波動性(

,v)粒子性(m,p)光++實物粒子?

+研究光：忽略了粒子性！研究實物粒子：是否忽略了波動性？

德布羅意受愛因斯坦光量子假說的啟發(fā)，認為在物質和輻射之間，應該存在著某種對稱性.(LouisVictorduedeBroglie,1892-1960)2024/1/72.微觀粒子的波粒二象性

不僅光具有波粒二象性，一切實物粒子如電子、原子、分子等也都具有波粒二象性.德布羅意假設：

實物粒子的波動既不是機械波也不是電磁波，它被稱為“物質波”或“德布羅意波”.注意：2024/1/7地球:子彈:宏觀物質的德波羅意波長均太小,難以觀察其波動特性.德布羅意波波長的數(shù)量級電子:質量m0

=9.110-31kg,加速電壓為UnmU=150V,

=0.1nmU=10000V,

=0.0123nm2024/1/7說明觀測儀器的分辨本領電子波波長光波波長<<電子顯微鏡分辨率遠大于光學顯微鏡分辨率20世紀30年代,電子顯微鏡誕生了.電子顯微鏡是利用高速運動的電子束代替光線來觀察物體的細微結構的,放大倍數(shù)比光學顯微鏡高許多,可以達到幾十萬倍.電子顯微鏡大大開闊了人們的視野,使人們看到了細胞更細微的結構.電子顯微鏡應用舉例2024/1/7

美國橡樹嶺國家實驗室的研究人員正在以創(chuàng)記錄的分辨率清楚地觀察原子世界，因為他們研究出的電子顯微鏡能夠能分辨出硅晶體的單個、啞鈴形狀的原子.電子顯微鏡下的原子世界能看清原子的電子顯微鏡2024/1/7試樣:人類細小圓形結構的病毒(SRSV)

設備:日立H-7600透射電子顯微鏡

加速電壓:100kV

放大倍率:25000倍這個迷你的結構由納米管和氧化鋅構成，電子顯微鏡拍下了這個精巧的結構2024/1/73.物質波的實驗證明1927年Davisson和Germer以電子射線代替X射線進行了鎳單晶體的衍射實驗.電子槍探測器d由布拉格公式:2024/1/7電子槍入射電子束DMP湯姆孫電子衍射實驗(1927年)電子在晶體上的衍射圖電子束通過多晶鋁箔的衍射實驗示意圖2024/1/7電子雙縫干涉圖樣楊氏雙縫干涉圖樣約恩孫電子單逢、雙縫、多縫衍射實驗(1961年)2024/1/717.1.2

不確定關系式

由于微觀粒子具有波粒二象性，用經(jīng)典概念(坐標、動量、能量、軌道等)描述其狀態(tài)會受到限制.下面將用電子單縫衍射實驗加以說明電子束0axO2024/1/7電子在Ox軸上的坐標有不確定范圍：△x=a由單縫衍射理論,中央主極大半角寬度滿足電子在Ox軸上的動量也有不確定范圍：由不確定關系嚴格推導可以證明：在平均意義上——海森伯不確定關系(測不準關系)2024/1/7電子速度的不確定量為:原子的線度約為10-10m

,求原子中電子速度的不確定量.例:原子中電子的位置不確定量10-10m,由不確定關系: 解:

氫原子中電子速率約為106m/s.速率不確定量與速率本身的數(shù)量級基本相同,因此原子中電子的位置和速度不能同時完全確定,也沒有確定的軌道.

說明此幾率分布形成一種對稱而美觀的“電子(幾率)云”圖象.2024/1/7能量—時間不確定關系反映了原子能級寬度ΔE和原子在該能級的平均壽命Δt

之間的關系.

基態(tài)輻射光譜線固有寬度激發(fā)態(tài)E基態(tài)壽命△t光輻射能級寬度平均壽命

△

t~10-8s平均壽命△t

∞能級寬度△E02024/1/7

不確定關系反映了物質世界的基本規(guī)律,對當今科技的發(fā)展具有重大的指導意義.(1)不確定關系為人們提出了劃分微觀世界和宏觀世界的標準.

凡是h在其中起作用的,則認為是微觀領域.(2)不確定關系還阻止原子的進一步塌縮.(3)量子不確定性還可以告知人們粒子衰變的概率.(4)量子不確定性在微觀領域遺傳基因方面起著重要作用.(5)宇宙論還認為,今天的宇宙來源于宇宙之初由于量子不確定性的微小漲落.2024/1/717.2波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋17.2.1概率波1.波包說:認為粒子實為波包.問題:

不同波長的波在媒質中的群速度不同,波包在傳播中的會擴散,使粒子“發(fā)胖”;波包在媒質界面上要反射和折射.波包說夸大了波動性一面,抹殺了粒子性一面.2.疏密波說:

認為波動是大量粒子在空間的一種疏密分布.疏密波說夸大了粒子性一面,抹殺了波動性一面.3.概率波1926年玻恩提出粒子在空間位置出現(xiàn)的概率具有波動性的分布——概率波.2024/1/74.波函數(shù)微觀粒子具有波動性用物質波波函數(shù)描述微觀粒子狀態(tài)1925年薛定諤機械波用機械波波函數(shù)(波動方程)描述平面簡諧波的波函數(shù)：或例如：自由粒子沿x軸正方向運動,設其能量E、動量p為常量,所以v、

不隨時間變化,可以認為其物質波是一單色平面波,其波函數(shù)為：由2024/1/7電子衍射類比I大處到達光子數(shù)多I小處到達光子數(shù)少I=0無光子到達電子到達該處概率大電子到達該處概率為零電子到達該處概率小光柵衍射2024/1/7時刻t粒子出現(xiàn)在附近dV體積內的概率為：

波函數(shù)在某一點的強度和該點找到電子的概率成正比,它是大量粒子形成總分布的一種統(tǒng)計規(guī)律.波函數(shù)是概率波.玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：波函數(shù)的模方代表時刻t,在處粒子出現(xiàn)的概率密度.結論波函數(shù)必須滿足的條件:粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為1.(2)歸一化條件:(1)標準條件:單值、有限、連續(xù).2024/1/7電子數(shù)N=7電子數(shù)N=100電子數(shù)N=3000電子數(shù)N=20000電子數(shù)N=70000單個粒子在哪一處出現(xiàn)是偶然事件；大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計規(guī)律.出現(xiàn)概率小出現(xiàn)概率大電子雙縫干涉圖樣2024/1/717.3薛定諤方程17.3.1薛定諤方程的引入1.一維自由粒子的波函數(shù)

設有一個做一維運動的自由粒子,其質量為m、動量為p、能量為E,則其波函數(shù)為：.將波函數(shù)對x求二階偏導,對t求一階偏導,有：——作一維運動的自由粒子的含時薛定諤方程2024/1/72.一維粒子在外保守力場中運動時具有勢能V粒子的總能量：同理，有：推廣：粒子在三維空間中運動時:引入拉普拉斯算符:——薛定諤方程定義哈密頓算符:——薛定諤方程2024/1/73.多粒子體系的薛定諤方程粒子的總能量：17.3.2定態(tài)不含時間的薛定諤方程1.定態(tài)

若粒子在穩(wěn)定力場中運動,勢能函數(shù)V

、能量E不隨時間變化,則粒子處于定態(tài).——定態(tài)波函數(shù)波函數(shù)可寫為：式中：將波函數(shù)代入薛定諤方程.2024/1/72.定態(tài)薛定諤方程分離變量可得:要使該式恒成立,左右兩邊必須同等于一個常數(shù)E.k為積分常數(shù)薛定諤方程的解為:對于等式左邊：2024/1/7對于等式右邊：——定態(tài)薛定諤方程說明(1)標準條件：應為單值函數(shù);應為有限值；應連續(xù).(2)求解

E（粒子能量）

（定態(tài)波函數(shù)）(3)勢能函數(shù)V不隨時間變化.以一維定態(tài)薛定諤方程（粒子在一維空間運動)為例討論．2024/1/717.4一維定態(tài)問題17.4.1一維無限深方勢阱1.勢能函數(shù)2.定態(tài)薛定諤方程x0aV(x)

(1)阱外：(2)阱內：定態(tài)薛定諤方程為令2024/1/7波函數(shù)在x=0

處連續(xù),有:波函數(shù)在x=a

處連續(xù),有：解為:x0aV(x)

其中2024/1/7結論能量的可能值為：En:能量的本征值.n:粒子能量的量子數(shù).顯然：能量取分立值(能級)相鄰兩能級間隔:n增大,相鄰兩能級間隔增大；

a增大(宏觀尺度)則,能量連續(xù)變化——經(jīng)典情況.(1)

能量是量子化的;2024/1/7由歸一化條件：即:波函數(shù)為：n0,否則

＝0；主量子數(shù)

n,

代表同一狀態(tài),取正值；一個n對應一個波函數(shù)

n,即對于粒子的一個可能態(tài)(軌道).(2)

量子數(shù)為n的定態(tài)波函數(shù)為：2024/1/7(3)能量為E的粒子在勢阱中的概率密度為：當n

時，量子經(jīng)典在坐標x

處找到粒子的概率密度:在x1－x2區(qū)間內找到粒子的概率:2024/1/7例:

設在一維無限深方勢阱中，運動粒子的狀態(tài)用:描述.求:

粒子能量的可能值及相應的概率.解:

已知一維無限深方勢阱中粒子的本征函數(shù)和能量本征值為:將波函數(shù)用本征波函數(shù)展開:能量的可能值:相應的概率:2024/1/717.4.2隧道效應1.一維方勢壘勢能函數(shù):2.定態(tài)薛定諤方程Ⅲ區(qū)Ⅰ區(qū)Ⅱ區(qū)V=0V=0V=V0ⅠⅡⅢ0

a2024/1/7Ⅲ區(qū)

Ⅰ區(qū)Ⅱ區(qū)

三個區(qū)域的波函數(shù)分別為：V=0V=0V=V0ⅠⅡⅢ0

aB3=0得到4個方程,求出常數(shù)A1、B1、A2

、B2

和

A3

間關系,從而得到反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為:波函數(shù)在x=0，x=a

處連續(xù)x=0處：x=a處：2024/1/7入射粒子一部分透射到達III

區(qū),另一部分被勢壘反射回I

區(qū).討論(1)E>V0,

R≠0,即使粒子總能量大于勢壘高度,入射粒子并非全部透射進入III

區(qū),仍有一定概率被反射回I

區(qū).(2)E<V0

,

T≠0,雖然粒子總能量小于勢壘高度,入射粒子仍可能穿過勢壘進入III區(qū)——隧道效應.V=V0ⅠⅡⅢ0

a2024/1/7(3)透射系數(shù)T

隨勢壘寬度a、粒子質量m

和能量差變化，隨著勢壘的加寬、加高,透射系數(shù)減小.粒子類型粒子能量勢壘高度勢壘寬度透射系數(shù)電子1eV2eV1eV2eV1eV2eV2×10-10m5×10-10m0.0242×10-10m0.51質子3×10-382024/1/73.應用——掃描隧道顯微鏡(Scanningtunnelingmicroscopy,STM)一種利用隧道效應探測物質表面結構的儀器.

于1981年由格爾德·賓寧(G.Binning)及海因里希·羅雷爾(H.Rohrer)在IBM位于瑞士蘇黎世的蘇黎世實驗室發(fā)明,兩位發(fā)明者獲1986年諾貝爾物理學獎.G.Binnig1947-H.Rohrer1933-2024/1/7

利用一套電子反饋線路控制隧道電流I,使其保持恒定.再通過計算機系統(tǒng)控制針尖在樣品表面掃描,即讓針尖沿x、y兩個方向作二維運動.由于要控制隧道電流I

不變,針尖與樣品表面之間的局域高度也會保持不變,因而針尖就會隨著樣品表面的高低起伏而作相同的起伏運動,高度的信息也就由此反映出來.于是STM得到了樣品表面的三維立體信息.2024/1/7用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案硅表面硅原子的排列砷化鎵表面砷原子的排列2024/1/7

1993年美國加州IBMAlmaden研究中心的科學家用STM操作，將48個鐵原子在銅的表面排列成一個平均半徑為7.13nm的圓圈,形成量子圍欄.電子被束縛在其中,圍欄中的電子形成駐波,其波函數(shù)形成同心圓狀漣漪細浪．通過移走原子構成的圖形2024/1/717.5原子中的電子原子的殼層結構17.5.1氫原子中電子的波函數(shù)及其概率分布(1)勢能函數(shù)：1.氫原子的定態(tài)薛定諤方程(2)球坐標下的定態(tài)薛定諤方程：2024/1/7式中：ml和λ為引入的常數(shù).①②③(3)分離變量法求解定態(tài)方程將代入方程，得：2024/1/72.三個量子數(shù)(1)能量量子化和主量子數(shù)解方程③得:主量子數(shù)：

n=1,2,3,……電子云電子在這些地方出現(xiàn)的概率最大電子云密度概率密度ψnlm2（r,θ,

）……玻爾氫原子理論中，電子的軌道位置2024/1/7解方程②和③得:——L為軌道角動量大小角量子數(shù)：處于l=0,1,2,3,

狀態(tài)的電子分別稱為s,p,d,f,電子.(2)角動量量子化和角量子數(shù)(3)角動量的空間量子化和磁量子數(shù)角動量L的在外磁場方向Z的投影磁量子數(shù):ml=0,±1,±2,……,±l

軌道角動量空間“量子化”示意圖2024/1/7磁量子數(shù)ml=0,±1,±2L在Z方向的投影zL的大小例:

l=2電子角動量的大小及空間取向？z2024/1/717.5.2電子的自旋施特恩—蓋拉赫實驗1.電子自旋提出的實驗基礎1921年施特恩和蓋拉赫為驗證電子角動量空間量子化而進行的實驗.SNAgPZs態(tài)(l=0)銀原子？實驗結果：不加磁場時底板上呈現(xiàn)一條正對狹縫的原子沉積；加磁場時底板上呈現(xiàn)上下對稱分布的兩條原子沉積.矛盾:角量子數(shù)為

l

時,角動量在空間的取向有(2l+1)種可能.2024/1/72.電子自旋1925年烏倫貝克和古茲密特提出電子自旋假說:

電子除軌道運動外,還存在自旋運動.電子自旋角動量S在空間任一方向上的投影Sz只能取兩個值.電子自旋角動量大小:S在外磁場方向的投影:s—自旋量子數(shù)ms—自旋磁量子數(shù)電子自旋角動量在外磁場中的取向2024/1/73.描述原子中電子狀態(tài)的四個量子數(shù)(1)主量子數(shù)n(1,2,3,……)(2)角量子數(shù)l

(0，1，2，…….,n-1)(3)磁量子數(shù)ml

(0，±1，±2，…….,±l)(4)自旋磁量子數(shù)ms

(1/2,-1/2)大體上決定了電子能量決定電子的軌道角動量大小，對能量也有稍許影響。決定電子軌道角動量空間取向決定電子自旋角動量空間取向2024/1/717.5.3泡利原理多電子原子的殼層結構n123l001012ml00-1010-101-2-1012msZ28181.泡利不相容原理(1925年)在一個原子中,不能有兩個或兩個以上的電子處在完全相同的量子態(tài),即它們不能具有一組完全相同的量子數(shù)(n,l,ml,ms).容納電子的最大數(shù)目2024/1/72.原子的殼層結構同一能級能容納電子的最大數(shù)目：電子組態(tài):如Ca的電子排布

原子處于正常穩(wěn)定狀態(tài)時,每個電子總是趨向占有能量最低的能級.3.能量最低原理

能級高低主量子數(shù)n決定角量子數(shù)l影響2024/1/71s2s2p3s3p3d4s1氫2氦HHe123鋰4鈹LiBe22125硼6碳10氖BCNe