初中數(shù)學(xué)各種公式

數(shù)學(xué)各種公式及性質(zhì)

1.乘法與因式分解

①(a+6)(a—Z?)=a—K；②(3±6)2=#土2數(shù)+62；③(a+b)(才-ab+甘)=才+加；

④(a-Z?)(a2+aZ?+Z?2)=a—6；才+//=(a+6)，—2ab?,(a—，)“=(a+Z?)J—4ab。

2.寨的運(yùn)算性質(zhì)

①a"Xa"=a'""；②a"+a"=a""；③3)"=a""；④(a0"=a"Z/'；⑤(3)"=《；

bbn

⑥a"=-7，特別：(J)"=G)"；⑦，=l(a#O)。

3.二次根式

①(而)~=a(a，O)；②\!^=IaI;③Qab=4aX超；④*(a>0,620)。

4.三角不等式

博『Tb|W|a±b|W」a|+|b|(定理)；

加強(qiáng)條件：||a|-|b||W|a土b|W|a|+|b|也成立，這個(gè)不等式也可稱為向量的三角不等式(其

中a,b分別為向量a和向量b)

a+bW|a|+|b|；|a-b|W|a|+|b|；a|Wb〈=>_bWaWb；

a-b21aHb|；TaWaW|a'；

5.某些數(shù)列前n項(xiàng)之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-l)=nJ；

2+4+6+8+10+12+14+—+(2n)=n(n+1)；l2+22+32+42+52+62+72+82+■■■+n=n(n+1)(2n+1)/6；

13+23+3:,+4:i+53+6a+-??n:,=n2(n+1)74；l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；

6.一元二次方程

對(duì)于方程：a/+Ax+c=0：

①求根公式是x=S'ac，其中△=下―4.叫做根的判別式。

2a

當(dāng)△>?時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△<?時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.注意：當(dāng)△》()時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。

②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%和%,則二次三項(xiàng)式a*+bx+c可分解為a(*—Xi)(x—也)。

③以a和6為根的一元二次方程是/—(a+Z?)x+ab=0o

7.一次函數(shù)

一次函數(shù)y=Ax+6(AW0)的圖象是一條直線(8是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為截距)。

①當(dāng)A>0時(shí)，y隨x的增大而增大（直線從左向右上升）；

②當(dāng)AVO時(shí)，y隨x的增大而減小（直線從左向右下降）；

③特別地：當(dāng)6=0時(shí)，y=Ax（AW0）又叫做正比例函數(shù)（y與x成正比例），圖象必過(guò)原點(diǎn)。

8.反比例函數(shù)

反比例函數(shù)y=：aW0）的圖象叫做雙曲線。

①當(dāng)4>0時(shí)，雙曲線在一、三象限（在每一象限內(nèi)，從左向右降）；

②當(dāng)AV0時(shí)，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）。

9.二次函數(shù)

（1）.定義：一般地，如果y=〃/+Z>x+c（a,b,c是常數(shù)，。工0）,那么y叫做x的二次函數(shù)。

（2）.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。

①4的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)。>0時(shí)，開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下；

同相等，拋物線的開口大小、形狀相同。

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=/z.特別地，y軸記作直線x=O。

（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y-ax2X=0(y軸)(0,0)

2

y=ax+k當(dāng)a>0時(shí)x=0(y軸)(0,k)

y-a{x-h^開口向上x=h(A,0)

當(dāng)Q<0時(shí)

y=a(x-h)2+kx=h(h,k)

開口向下

bb4ac-b2、

y=ax+bx+cx=---(-，,)

2a2a4a

（4）.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

①公式法：y-ax1+bx+c-（1x+-^-\~.?.頂點(diǎn)是（-2,^^—,對(duì)稱軸是

-12al4a2a4a

直線x=---o

2a

②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a（x-//y+Z的形式，得到頂點(diǎn)為

（人，左），對(duì)稱軸是直線x=〃。

③運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)

是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)(西廣)、(々,〉)(及產(chǎn)值相同)，則對(duì)稱軸方程可以表示為：尤=工乜

(5),拋物線,Ma^+Ox+c中，a，"。的作用

①a決定開口方向及開口大小，這與,=如？中的a完全一樣。

②6和。共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y="2+bx+c的對(duì)稱軸是直線。

x=——，故：①6=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②2>0(即。、匕同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在y軸

2aa

h

左側(cè)；③g<0(即。、b異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。

a

③。的大小決定拋物線y=以2+Zu+c與y軸交點(diǎn)的位置。

當(dāng)x=0時(shí)，y=c,二拋物線y=“2+〃x+c與》軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c).

①c=0,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則-<0o

a

(6).用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

①一般式：了=。%2+bx+c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)X、y的值，通常選擇一般式.

②頂點(diǎn)式：y=a(x-/?)2+Z.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。

③交點(diǎn)式：已知圖像與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)X1、x2,通常選用交點(diǎn)式：y=a(x—X])(x-X2)。

(7).直線與拋物線的交點(diǎn)

①y軸與拋物線y=ax?+〃x+c得交點(diǎn)為(0,c)

②拋物線與x軸的交點(diǎn)。

二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)王、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程

"2+法+。=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與無(wú)軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別

式判定：

a有兩個(gè)交點(diǎn)o(A>0)o拋物線與x軸相交；

b有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)=(△=0)o拋物線與x軸相切；

C沒(méi)有交點(diǎn)O(△<())O拋物線與X軸相離。

③平行于X軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同②一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,

設(shè)縱坐標(biāo)為跖則橫坐標(biāo)是辦2+—+。=々的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

④一次函數(shù)y=kx+n(k70)的圖像/與二次函數(shù)y=a/+版+*力o)的圖像G的交點(diǎn)，由

y=kx+n

方握組2的解的數(shù)目來(lái)確定：

_y=ax+bx+c

a方程組有兩組不同的解時(shí)o/與G有兩個(gè)交點(diǎn);

b方程組只有一組解時(shí)。/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；

c方程組無(wú)解時(shí)o/與G沒(méi)有交點(diǎn)。

⑤拋物線與X軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)為

A(Xi，O),B(X2,O),則鉆=4_巧|

10.統(tǒng)計(jì)初步

(1)概念：①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體.從總體中抽

取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中，出

現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè))，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

(2)公式：設(shè)有A個(gè)數(shù)為，X-2,X,,,那么：

①平均數(shù)為：(二x+電+……+/；

n

②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法

得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

③方差：數(shù)據(jù)％1、x2...,陽(yáng)，的方差為$2,

④標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根。

數(shù)據(jù)X］、”....,X”的標(biāo)準(zhǔn)差S,

則S*

■1-X)+(%2_X)+............+(巧-X)

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。

11.頻率與概率

(1)頻率

頻率=在，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各

總數(shù)

個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。

(2)概率

①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則OWP(A)<1；

P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法(包括列表、畫樹狀圖)計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的

概率。

③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；

12.銳角三角形

①設(shè)N力是AABC的任一銳角，則N4的正弦：sin/=f警,N4的余弦：cos/=岑轡，

N力的正切：tan4=.并且sinM+cos1''力=1。

0<sin/l<l,0<cosJ<l,tanJ>0.N4越大，N4的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。

99

②余角公式：sin(90—A)=COSA9COS(90—/)=sin/。

③特殊角的三角函數(shù)值：sin305=cos60。=1,sin45。=cos45。=里，sin60。=cos30。

=里

tan302=里，tan452=1,tan60?=技。

④斜坡的坡度：i=丫心：嘿設(shè)坡角為a,則/=tana=。。h

13.正(余)弦定理1

(1)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中R表示三角形的外接圓半徑。

正弦定理的變形公式：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；(2)sinA：sinB：sinC=

a：b：c

(2)余弦定理b~=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；

注：NC所對(duì)的邊為c,NB所對(duì)的邊為b,NA所對(duì)的邊為a

14.三角函數(shù)公式

(1)兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

(2)、倍角公式

tan2A=2tanA/(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-l)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

(3)半角公式

sin(A/2)=J((l-cosA)/2)sin(A/2)=-V((1-cosA)/2)

cos(A/2)=V((1+cosA)/2)cos(A/2)=-V((1+cosA)/2)

tan(A/2)=J((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-V((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-V((1+cosA)/((1-cosA))

(4)和差化積

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

(5)積化和差

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

15.平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)

(1)對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b),則P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為Pi(4—b),P關(guān)于

y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P?(—a,b),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3(-6)。

(2)坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b)向左平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a—力，b),

向右平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a+力，b)；向上平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b+/i),向下

平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b-h).

16.多邊形內(nèi)角和公式

多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于(〃一2)180。"23,〃是正整數(shù))，外角和等于360

O

17.平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：a//b//c,直線，與人分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)4B、。和以E、F,

同后ABDEABDEBC_EF

人BC-EF'AC-DF'AC_DF°

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：△中，DE//BC、DE與AB、力。相交與點(diǎn)D、E,貝1］有：

ADAEADAEDEDBEC

AC

c

18.直角三角形中的射影定理

C

直角三角形中的射影定理:如圖：忒△/比中，/力終=90",CD1AB于D,

則有：(1)CD2=ADBD(2)AC2=AD-AB(3)BC2=BDAB

19.圓的有關(guān)性質(zhì)

(1)垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過(guò)圓心；②垂直弦;

③平分弦；④平分弦所對(duì)的劣??；⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)瓠，那么這條直線就具有另外三個(gè)性

質(zhì).注：具備①，③時(shí)，弦不能是直徑。

(2)兩條平行弦所夾的弧相等。

(3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。

(4)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

(5)圓周角等于它所對(duì)的瓠的度數(shù)的一半。

(6)同弧或等瓠所對(duì)的圓周角相等。

(7)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

20.三角形的內(nèi)心與外心

(1)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。

(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn).

常見結(jié)論：①