第八章-8.2立體圖形的直觀圖

8.2立體圖形的直觀圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖.知識點一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟知識點二空間幾何體直觀圖的畫法立體圖形直觀圖的畫法步驟(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸.(2)畫底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖.(3)畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.1.在斜二測畫法中，各條線段的長度都發(fā)生了改變.(×)2.在幾何體的直觀圖中，原來平行的直線仍然平行.(√)3.在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變.(×)一、平面圖形的直觀圖的畫法例1畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.反思感悟在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對應(yīng)線段.關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可.跟蹤訓(xùn)練1已知正五邊形ABCDE，如圖，試畫出其直觀圖.解畫法：(1)在圖①中作AG⊥x軸于點G，作DH⊥x軸于點H.(2)在圖②中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在圖②中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD.(4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③).

二、空間幾何體的直觀圖例2用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長方體ABCD—A′B′C′D′的直觀圖.解(1)畫軸.如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面.以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱.過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖.順次連接A′，B′，C′，D′(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖.反思感悟空間幾何體的直觀圖的畫法(1)對于一些常見幾何體(柱、錐、臺、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準(zhǔn)確地畫出.(2)畫空間幾何體的直觀圖時，比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z′軸，表示豎直方向.(3)z′軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致.跟蹤訓(xùn)練2用斜二測畫法畫出六棱錐P－ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)解畫法：(1)畫出六棱錐P－ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點O，如圖(1)；畫出相應(yīng)的x′軸、y′軸、z′軸，三軸相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如圖(2)；②在圖(2)中，以O(shè)′為中點，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝eq\f(1,2)MN，以點N′為中點，畫出B′C′平行于x′軸，并且長度等于BC，再以M′為中點，畫出E′F′平行于x′軸，并且長度等于EF；③連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′.(2)畫出正六棱錐P－ABCDEF的頂點，在z′軸正半軸上截取點P′，點P′異于點O′.(3)成圖.連接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′軸、y′軸和z′軸，便可得到六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′，如圖(3).三、直觀圖的還原與計算例3如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.2eq\r(2)答案C解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1，因此面積為eq\f(1,2)，又直觀圖與原平面圖形面積比為eq\r(2)∶4，所以原圖形的面積為eq\r(2)，故選C.反思感悟平面多邊形與其直觀圖面積間關(guān)系：一個平面多邊形的面積為S原，斜二測畫法得到直觀圖的面積為S直，則有S直＝eq\f(\r(2),4)S原.跟蹤訓(xùn)練3如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，則原圖形是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四邊形答案C解析如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm，所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以O(shè)A＝OC＝BC＝AB，故四邊形OABC是菱形.1.關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是()A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B.正方形的直觀圖為平行四邊形C.梯形的直觀圖不是梯形D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形答案B解析由于直角在直觀圖中有的成為45°，有的成為135°；當(dāng)線段與x軸平行時，在直觀圖中長度不變且仍與x軸平行，因此答案為B.2.在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，則在直觀圖中∠A′等于()A.45°B.135°C.90°D.45°或135°答案D解析因為∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，所以∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.3.下面每個選項的2個邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()答案C解析可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論.4.利用斜二測畫法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形.以上結(jié)論中，正確的是________.(填序號)答案①②解析斜二測畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關(guān)系不會改變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形.5.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實際長度為________.答案2.5解析由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，計算得AB＝5，所求中線長為2.5.1.知識清單：(1)水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法.(2)空間幾何體直觀圖的畫法.(3)直觀圖的還原與計算.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化思想.3.常見誤區(qū)：同一圖形選取坐標(biāo)系的角度不同，得到的直觀圖可能不同.1.(多選)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法正確的是()A.原來相交的仍相交 B.原來垂直的仍垂直C.原來平行的仍平行 D.原來共點的仍共點答案ACD2.如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是()答案C解析根據(jù)斜二測畫法可知，此直觀圖的平面圖形可能是C.3.已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么等邊三角形ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖②所示，建立坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直觀圖畫法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.過點C′作C′D′⊥O′x′于點D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以△A′B′C′的面積是S＝eq\f(1,2)·A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.4.下列關(guān)于用斜二測畫法畫直觀圖的說法中，正確的是()A.水平放置的正方形的直觀圖不可能是平行四邊形B.平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形C.兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線D.兩條垂直的直線的直觀圖仍互相垂直答案B5.水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個()A.等邊三角形B.直角三角形C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D.三邊互不相等的三角形答案A解析由△ABC的直觀圖，知在原△ABC中，AO⊥BC.∵A′O′＝eq\f(\r(3),2)，∴AO＝eq\r(3).∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC為等邊三角形.6.在斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點是M′，則點M′的坐標(biāo)為________.答案(4,2)解析由直觀圖畫法“橫不變，縱折半”可得點M′的坐標(biāo)為(4,2).7.如圖，是用斜二測畫法畫出的△AOB的直觀圖，則△AOB的面積是________.答案16解析由圖可知O′B′＝4，則對應(yīng)△AOB中，OB＝4.又和y′軸平行的線段的長度為4，則對應(yīng)△AOB邊OB上的高為8.所以△AOB的面積為eq\f(1,2)×4×8＝16.8.如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長為________.答案10解析由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四邊形OPQR的周長為2×(3＋2)＝10.9.用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖.解(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸.(2)畫對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA.連接A′B′，A′C′，則△A′B′C′即為正△ABC的直觀圖，如圖②所示.10.一個幾何體，它的下面是一個圓柱，上面是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm，高(兩底面圓心連線的長度)為4cm，圓錐的高(頂點與底面圓心連線的長度)為3cm，畫出此幾何體的直觀圖.解(1)畫軸.如圖①所示，畫x軸、z軸，使∠xOz＝90°.(2)畫圓柱的下底面.在x軸上取A，B兩點，使AB＝3cm，且OA＝OB，選擇橢圓模板中適當(dāng)?shù)臋E圓且過A，B兩點，使它為圓柱的下底面.(3)在Oz上截取OO′＝4cm，過點O′作平行于Ox軸的O′x′軸，類似圓柱下底面的畫法畫出圓柱的上底面.(4)畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P，使PO′＝3cm.(5)成圖.連接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改成虛線)得到此幾何體的直觀圖，如圖②所示.11.如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，B′在x′軸上，A′O′與x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為()A.2B.4C.2eq\r(2)D.4eq\r(2)答案D解析設(shè)△AOB的邊OB上的高為h，因為S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖，所以eq\f(1,2)×OB×h＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×2×O′B′.又OB＝O′B′，所以h＝4eq\r(2).12.如圖所示，一個水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為(2,2)，則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為______.答案eq\f(\r(2),2)解析畫出直觀圖，則B′到x′軸的距離為eq\f(\r(2),2)·eq\f(1,2)OA＝eq\f(\r(2),4)OA＝eq\f(\r(2),2).13.如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是________.答案8cm解析由題意知正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，所以O(shè)′B′＝eq\r(2)cm，對應(yīng)原圖形平行四邊形OABC的高OB＝2O′B′＝2eq\r(2)cm，如圖所示.所以原圖形中，OA＝BC＝1cm，AB＝OC＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3cm，故原圖形的周長為2×(1＋3)＝8(cm).14.如圖所示，四邊形ABCD是一平面圖形的水平放置的斜二測直觀圖，四邊形ABC