大一高等數(shù)學(xué)期中資料

、y

東南大學(xué)會(huì)通告潴

東南大孽交通孕院碉學(xué)部整理

東大交院高數(shù)歷年試卷一研學(xué)部制作

第一部分歷年試卷

2003級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷

一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共12分）

1.函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)r。處可導(dǎo)，田'（兒）=2,則當(dāng)教->0時(shí)，力是（）

（A）與Ar等價(jià)的無(wú)窮小；（B）與Ar同價(jià)但非等價(jià)的無(wú)窮??；

（C）比At低價(jià)的無(wú)窮小；（D）比Ar高價(jià)的無(wú)窮小。

2.方程/+2%-1=0在（3,+8）內(nèi)恰有（）

（A）一個(gè)實(shí)根；（B）二個(gè)實(shí)根；（C）三個(gè)實(shí)根；（D）五個(gè)實(shí)根。

3.已知函數(shù)/在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)/（0）=0,lim"冷=1,

x^Ol-COSX

則/在x=0處（）

（A）不可導(dǎo)；（B）可導(dǎo)且（（0）工0；（C）取得極大值；（D）取得極小值。

二、填空題（每小題4分，共24分）

cos2x-cos3x

I.若/（x）=|7則當(dāng)〃=時(shí)，/（x）在x=0處連續(xù).

a,x=0.

l+x+九2〃工

2,設(shè)函數(shù)/（x）=lim----------，則/（處在1=________處間斷，其類型是_________.

1+/X

3.函數(shù)/（x）=xe“在%。=1處的帶Lagsige余項(xiàng)的三階Thy/8公式為。

4.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程sin(xy)-ye'=l所確定，則dy=.

5.已知/(x)=ln(l-x),則/(〃)(0)=.

6.設(shè)丁=/9052幻+1@11/2,其中/可導(dǎo)，則蟲(chóng)=____________________o

dx

三、(每小題7分，共28分)

1.求極限lim[tan(x+馬]。°12入.2.求極限lim(sinVx+1-sinVx)

x-?o4x-

3.已知y=ln〃1-6-7出工,求y'(3.4.設(shè)＜2‘皿，求生，人，

2[y=cos2rdxdx'

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四、（8分）求證當(dāng)x>0時(shí)X-—<sinx.

6

五、（6分）落在平靜水面上的石頭產(chǎn)生同心圓形波紋。若最外一圈半徑的增大率總是6〃〃s,

問(wèn)2秒末受到擾動(dòng)的水面面積的增大率為多少？

2

六、（8分）試就。的不同取值，討論方程（x-。尸=2+。的實(shí)根的個(gè)數(shù)。

七、（6分）設(shè)函數(shù)/在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且/⑴=0,證明：至少存在

一點(diǎn)?。?,1）,使3/化）+/化）=0。

x2V2

八、（8分）在橢圓r+\=l（a>b>0）上求一點(diǎn)P（x,y）,使得它與另外兩點(diǎn)A（2a,0）,

a2h2

8（0,2。）構(gòu)成的三角形AAP8的面積最小。

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2004級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(上)期中試卷

填空題(每小題4分，共20分)

1.設(shè)xf0時(shí)，esi.x-i與％"是等價(jià)無(wú)窮小，則〃=.

ln(l-2x)

—----x>0

2.設(shè)/(x)={%在x=0處連續(xù)，則。=.

aex,x<0

3.設(shè)f(x)=x2cosx,貝(If0°)(0)=.

4.函數(shù)/(x)=2x-In(l+x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少.

5.函數(shù)/(x)=xlnx在X。=1處的帶Lagrange余項(xiàng)的一階Taylor公式為

二.選擇題(每小題4分，共16分)

e-v-11

1.設(shè)/(x)=—；—arctan-,則尤=0是/(x)的[]

1x

eA+l

(A)連續(xù)點(diǎn)(B)第一類(非可去)間斷點(diǎn)(C)可去間斷點(diǎn)(D)第二類間斷點(diǎn)

2.設(shè)/(x)=|x—2|g(x),且g(x)在x=2處連續(xù)，g(x)#0,則/'(2)[]

(A)=g(2)(B)=-8(.2)(0=0(D)不存在

3.函數(shù)/(》)=11X一2+1在(0,+00)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

1[]

e

(A)0(B)1(02(D)3

2

2T+1

4.設(shè)曲線。=”;則該曲線[]

2T-1

(A)有漸近線(B)僅有水平漸近

(0僅有垂直漸近線(D)既有水平漸近線，又有垂直漸近線

三.計(jì)算題(每小題7分，共35分)

2.1

xsin——/..—

23-evsinx

1.limcotx------——2.lim——7-^-+-----

x->0Isinxxx->oIn(l-f-x)I2+x,

3.設(shè)y=y(x)是由方程xex+y-si”2=o確定的隱函數(shù)，求由，.

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.2（x=l+Jdyd2y

4.設(shè)〈，求上，一Y-

y-arctan/drdx

e*x<0,

5.設(shè)函數(shù)/（x）=（；'，且/"（0）存在，試確定常數(shù)a,"c.

ax2+Z?x+c,x>0

四.（8分）證明不等式：當(dāng)尤21時(shí),（l+x）ln（l+x）<l+x2.

五.（8分）求曲線y=》2（04848）的切線,使切線與直線丁=0及直線》=8所圍成的

圖形的面積最大.

六.（7分）設(shè)石〉O,x“+i=4（1+/）（〃=1,2=），證明數(shù)列卜“｝收斂,并求1亂4.

4+4〃->8

七.（6分）設(shè)/⑴在［a,同上連續(xù)，在（a力）內(nèi)可導(dǎo)，且">0,證明：*,〃e（a,b）,使得

3n

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2005級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(上)期中試卷

填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)

,V.2%

1.limxsin——=___________；

廠+1

2.當(dāng)x-0時(shí)，a(x)=Jl+xarcsin尤一Jcosx與夕(x)=kx2是等價(jià)無(wú)窮小,則攵=_;

3.設(shè)y=(l+sinx)”,貝必>，=乃=；

4.函數(shù)/(%)=xb在x=1處帶有Peano余項(xiàng)的二階Taylor公式為；

2ae'4-sinx,x<0

可導(dǎo)，貝I」Q=___，b=______o

12b(x-1,+9arctanx,x>0

單項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分16分)

6.設(shè)函數(shù)/(x)=—貝IJ[]

1-e工

(A)x=0,x=1都是/(x)的第一類間斷點(diǎn)(B)x=0,x=1都是/(x)的第二類間斷點(diǎn)(C)

x=0是/(%)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是/(%)的第二類間斷點(diǎn)

(D)x=0是/(x)的第二類間斷點(diǎn)，尤=1是/(x)的第一類間斷點(diǎn)

x=t2+2t

7.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程4確定，則曲線y=y(x)在x=3處的切線與x

y=ln(l+Z)

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是[]

(A)-ln2+3(B)--ln2+3(C)-81n2+3(D)81n2+38.以下四

88

個(gè)命題中，正確的是[]

(A)若/'(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)，則“X)在(0,1)內(nèi)有界

(B)若/(力在(0,1)內(nèi)連續(xù),則f(x)在(0,1)內(nèi)有界

(C)若C'(x)在(0,1)內(nèi)有界,則〃x)在(0,1)內(nèi)有界

(D)若f(x)在(0,1)內(nèi)有界,則r(x)在(0,1)內(nèi)有界

9.當(dāng)a取下列哪個(gè)數(shù)值時(shí)，函數(shù)/(x)=2x3—9f+12x—a恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)[]

(A)2(B)4(C)6(D)8

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三.計(jì)算題（本題共5小題，每小題7分，滿分35分）

10.|11.limln（l+2v'）lnfl+-|

30（1一bX）..叫\(zhòng)7X）］

12.limf-L-+—L=+--+—13。設(shè)/（x）=?不二「求/⑹（x）

…+1n+T2n+yln）x（l-2x）

14.設(shè)函數(shù)y=y（x）由方程sin，+y2）+e*-盯2=0所確定，求立。

dx

四.（本題共4道題，滿分29分）

15.（本題滿分6分）如果以每秒50c〃r的勻速給一個(gè)氣球充氣，假設(shè)氣球內(nèi)氣壓保持常值,

且形狀始終為球形，問(wèn)當(dāng)氣球的半徑為5c加時(shí)，半徑增加的速率是多少？

x-1

16.（本題滿分7分）證明不等式：e'Nl+xek（x>0）

17.（本題滿分8分）在拋物線y=上求一點(diǎn)（“>（））,使弦p。的長(zhǎng)度

最短，并求最短長(zhǎng)度，其中。是過(guò)點(diǎn)尸的法線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)。

18.（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)/（x）在閉區(qū)間［a,可上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a⑼內(nèi)可導(dǎo)，且

f(a)=b,f(b)=a,證明:

（1）至少存在一點(diǎn)C€（",/?）,使得/（C）=C;

（2）至少存在互異的兩點(diǎn)虞〃€（。力），使得了'管）/何）=1

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2006級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(上)期中試卷

填空題(前四題每題4分，第5題8分，滿分24分)

sinx

函數(shù)y(x)=的全部間斷點(diǎn)分別是,它們的類型依次分別為.

|x|(x-l)

2

(x+l]

2.已知lim----ax-b=0,則b=；

XT0Ov-1

3.^y=arctan/(x),其中/(x)為可微函數(shù),則微分dy=；

ax+b,x>\

4.設(shè)/(x)=〈,,若/(x)在x=l處可導(dǎo)，則a=,b=；

X,X<1

5.舉出符合各題要求的?例，并將其填寫(xiě)在橫線匕

(1)在x=0處不連續(xù)，但當(dāng)xf0時(shí)，極限存在的函數(shù)有

(2)在x=0處連續(xù)，但在x=0時(shí)不可導(dǎo)的函數(shù)有

(3)在x=0處導(dǎo)數(shù)為。，但x=0不為極值點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)有

(4)屬于“9”或“藝”未定型，且存在有限極限，但極限不能用洛必達(dá)法則求得

000

的有

二.單項(xiàng)選擇題(每題4分，滿分12分)

1.設(shè)/(x)是單調(diào)增函數(shù)，g(x)是單調(diào)減函數(shù)，且復(fù)合函數(shù)/(/(X))J(g(X)),

g(/(X))，g(g(X))都有意義,則下列函數(shù)組中全為單調(diào)減函數(shù)的是[]

(A)/(/(x))，/(g(x))(B)g(/(X)),g(g(X))

(c)f(g(x)),g(f(x))

2.當(dāng)x-0時(shí)，若y=ln(l+x)-ax—匕/是比/更高階的無(wú)窮小，則【〕

(A)a=l,b=—(8)a=\,b=-—(C)a=-\,b=—(D)a=-l,b=-?-

2222

3.下面四個(gè)論述中正確的是[]

(4)若0(〃=1,2,…)，且數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，則數(shù)列｛居｝收斂，且其極限a>0

(B)若%>0(〃=1,2,…)，且數(shù)列｛x,,｝收斂，則其極限a>0

(C)若limx“=aN0,則x“>0(n=l,2,---)

CD)若limx“=a>0,則存在正整數(shù)N,當(dāng)〃〉N時(shí)，都有x”>@。

2

三.計(jì)算題(每題7分，滿分35分)

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2x-\

x-sinxx—2

1.hm-----------------2.lim

XT°(l-cosx)ln(l+x)A->007+T

x=t+arctantdyi吐?

3.設(shè)《,求l,=15|,=1

lnfl+f2±c±^-

y

4.設(shè)y=%2e3x,求ya°)(x).

5.設(shè)y=y(x)是由方程f+V-ye*'=2所確定的隱函數(shù)，求曲線y=y(x)在點(diǎn)

(0,2)處的切線方程.

四.(8分)設(shè)/=啦,當(dāng)=血+令二!一,(〃=1,2/-)，證明數(shù)列*“｝收斂并求極限.

J2+X,I

五.(8分)證明：當(dāng)x20時(shí)，有

(1+x)2(21n(l+x)-l)+1>4xarctanx-2In(14-x2).

六.(7分)設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，/(0)=0,試證：存在一點(diǎn)

jw(o,i),使得

七.(6分)設(shè)力(x)=」一x—arctanx(其中〃為正整數(shù)),

〃+1

(1)證明：力(x)在(0,+8)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的毛€(0,+8),使力(x“)=0；

X

(2)計(jì)算極限lim3.

“T8X

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2007級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷

一.填空題（每小題4分，滿分24分）

1.當(dāng)〃一＞8時(shí)，，——---■與1—cos—（?！?）是等價(jià)無(wú)窮小，則攵=,CI=;

nnn

r2i

尤+1、

2.已知lim-----ax-h=0,則。=,b-；

1—Y

3.函數(shù)/（x）=——帶Peano余項(xiàng)的4階Maclaurin公式是

1+x

%H+S嗚+尋）dx=d（）

5.當(dāng)某質(zhì)點(diǎn)沿曲線y=?運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Mo處時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的變化率

相等，點(diǎn)的坐標(biāo)為

1O

6.函數(shù)/（x）=—的單調(diào)增加區(qū)間為,極大值為

x

二.單項(xiàng)選擇題（每題4分，滿分12分）

7.設(shè)對(duì)VxeR,有/z(x)W/(x)Wg(x),lim[g(x)-//(x)]=0,則lim/(x)[]

XT8XTOO

（A）存在且等于零⑻存在且不等于零（O一定不存在（D）不一定存在

A/4X2+1+ln^l+—

8.極限lim]

XT-OO-x+2sinx

⑷-2(B)2(0-3(￡?3

9.函數(shù)/（幻=——可sinx的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為]

⑷0(B)1(02（。）3

三.計(jì)算題（每小題8分，滿分32分）

一—Vl+xsinx-cosxx=r-ln(l+Od2y

10.lim----------------11.設(shè)3

i。sinx-ln(l+x)y=t+/，*dr2，

12.設(shè)J(x)=(/+%卜in2x,求/"°)(尤).

13.試確定常數(shù)。、8的值，使得曲線yuf+Qx+b和2），=—1+孫3在點(diǎn)處相切,

并求切線方程.

九"2

四(14).(8分)討論/(x)=lim（x20）的連續(xù)性，并指出間斷點(diǎn)的類型（應(yīng)

n->oo

說(shuō)明理由）.

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五(15).(8分)設(shè)函數(shù)/(x)在(-8,+8)上定義，/(0)=1,并對(duì)任意實(shí)數(shù)x和％，恒有

/(x+/i)=/(x)+fW+2hx,證明〃x)在(一8,+8)上處處可導(dǎo)，并求/'(x).

六(16).(8分)設(shè)p>l,q>l,且，+工=1,證明：當(dāng)x>0時(shí)，-xr，+->x.

PqPq

七(17).(8分)設(shè)/(x)在閉區(qū)間出,包上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在開(kāi)區(qū)間(。/)內(nèi)二階可導(dǎo),

且/⑷=/3),力⑷￡(b)>0,試證：至少存在一點(diǎn)六(。,與，使得/"?=0.

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2008級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(上)期中試卷

一.填空題(每個(gè)空格4分，本題滿分32分)

1.limxln(l---1—|-；

—I2X2+1J

2.當(dāng)x—>0時(shí)，l-cos(l-cosx)與日“是等價(jià)無(wú)窮小，則女=，a=

3.設(shè)':/11',則dy.=；

x=-2

4.設(shè)y=y(x)是由方程/+tan(砂)=y所確定的隱函數(shù)，則y'(0)=；

5./(x)=xlnx在x=1處帶有Peano余項(xiàng)的二階Taylor公式為

6.已知曲線y=x2-qx-/?和丁=-2+》2/4在點(diǎn)(1,一1)處相切，則。=,b-

二.單項(xiàng)選擇題(每小題4分，本題滿分12分)

7.設(shè)/(幻=(》-4)。一6)。一0)(工一〃)，其中常數(shù)。、b、c、7互不相等，且

f'(k)=(k-a)(k-b)(k-c),則Z的值等于]

(4)a(B)b(C)c(D)d

8,若極限lim/(x)存在，則下列極限一定存在的是[]

(A)lim(/(x)廣(a為實(shí)常數(shù))(B)lim|/(x)|

X-^與X-

(C)limIn/(x)(￡>)limarcsin/(x)

Xf廂x->/

,(、七“...f~(a+2h)—f-(a—h)「..

9.已知尸(a)存在,n則hm9-----J-----二[]

/i->oh

(4)(尸⑷)2⑻2f\a)f(a)(C)6r(a)/(a)(D)3/⑷

三.計(jì)算題(本題滿分27分)

/■.八、1.xln(l-2x).......21nx+sinx

10.(7分)lim.___211.(6分)hm----------

Vl+xsinx-e「**Inx+cosx

(7分)設(shè)，x=，+arctanr+e2求務(wù)

y=P+6/

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12

13.（7分）設(shè)丁二豆4/。?）），其中函數(shù)/具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求箸.

ae2x+cosx,x<0

四（14）.（7分）已知函數(shù)/（x）=%n優(yōu)）可導(dǎo)，試求常數(shù)。和b的值.

----+x,x>0

X

九%”一Y

五（15）.（7分）試求函數(shù)f（x）=lim=------的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型（需說(shuō)明

入―e-sinx

理由）.

x-1

,X>0,X1r/—1+x,八、

六（16）.（9分）設(shè)L（x）=<Inx,證明：y[x<L（X）<（X〉0）.

1,x=1

七（17）.（6分）設(shè)函數(shù)/在區(qū)間出,切上二階可導(dǎo)，且證明：對(duì)于任意的

a>Q,都存在Je（a,b）,使得/"《）=茲豈0

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2009級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷

一.填空題（每小題4分，本題滿分24分）

1-y/l-X

--------------------Y＜（）

1.設(shè)/（x）=?x'在x=0處可導(dǎo)，則。=,b=:

a+bx.x＞0

2.已知y=arctane*-x+（ln（e2'+l）,則第1二；

3.設(shè)y=y（x）是由方程xsiny+ye*+[=0所確定的磔函數(shù)，則j，'（0）=:

4.函數(shù)y=e2*（x?-2）的單調(diào)收少區(qū)間是：

5./（x）=arcsinx帶Peano余項(xiàng)的3階Maclaiuin公式是：

6.時(shí)，/（x）=sinx-2sin3x+sin5x是x的____（川數(shù)字作答）階無(wú)窮小址.

二.單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題滿分12分）

7.若lim/(x)=oo,limg(x)=co,則必有

X-+OX-M]

(A)lim[/(x)+g(x)]=8<B)lim[/(x)-g(x)]=oo

xfax-^a

(C)lim-----------=0(D)limkf(x)=oo(六為||：零常數(shù))

/(x)+g(x)x-?a

8.設(shè)/在區(qū)間[0,1]上二階可導(dǎo),且/則有]

,

（A）r（i）＞r（o）＞/（i）-/（o）（B）/（i）＞/（i）-/（o）＞r（o）

（c）/（i）-/（o）＞r（i）＞r（o）（D）/,（i）＞/（o）-/（i）＞r（o）

9.下列命題中正確的命題是[]

（A）若f在點(diǎn)X。處可導(dǎo).則|/|在點(diǎn)/處也可導(dǎo)。

（B）若/在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f在點(diǎn)Xo的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)。

（C）設(shè)/€。。力），/在（。,防內(nèi)可導(dǎo)，且lim/'（x）=k（一為有限數(shù)）,則/在點(diǎn)。處

x-＞0*

存在右導(dǎo)數(shù)《（。），且Aa）=linJ（x）=h

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（D）設(shè)函數(shù)y=/og是由y=/（〃）,〃=g（x）復(fù)合而成，如果g在點(diǎn)玉）處間斷，/在

點(diǎn)%=g（x（））處間斷，則復(fù)合函數(shù)y=/。g在點(diǎn)/處也間斷。

三.計(jì)算題（每小題9分，本題滿分36分）

（11.,Y

10.計(jì)算極限lini|Id—1--sin-n.

"田[nwJ

e"-1+x2

11.計(jì)算極限Inn——.

isin，（&》）

[x=drd2V

12.設(shè)了二階可導(dǎo),r（o）=3，r（o）=i,且3,一，求手k。及格…

[y=/（e-1]dv<h

13.設(shè)/（x'fcos%,求廣）（x）（M>3）.

四（14）.（本題滿分8分）求函數(shù)尸（》）=」二的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型（需

2-3e;

說(shuō)明理由）.

五（15）.（本題滿分8分）證明："i0<x<2時(shí)，2sinx+tanx>3>-.

2

六（16）.（本題滿分6分）設(shè)〃x）=ax2+bx+c（a.b,c為常數(shù)），且當(dāng)忖W1時(shí),

|/（x）|<1,證明：當(dāng)k區(qū)1時(shí)，|/'（x）|w4.

七（17）.（本題滿分6分）設(shè)/eC[0.1],在（0.1）內(nèi)可導(dǎo)，且/（0）=/（1）=0,

max/（x）=M>0,證明：對(duì)于大于1的任意正整數(shù)n,存在互異的兩點(diǎn)。.芻e（0.1）,

陽(yáng)0.1]

使得_\-------!—=2L

八幻/'4）M

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第二部分參考答案

2003級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷

一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共12分）1.B2.A3.D

二、填空題（每小題4分，共24分）

1.-2.x=0,第一類（跳躍）間斷點(diǎn)

2

3.e+2e（x-1）+y（x-1）2+1（x-1）3+（5+e（x-^e（>（'°_^4（O<^<1）

y(ex-cos(xy)),

4.------------------ax5.一(〃-1)!6.-sin2xfr(cos2x)+2xsec2x2

xcos(xy)-ex

三、（每小題7分,共28分)

1.e2.lim(sinVjt+T-sinVx)=0

V->+00

124.設(shè).=-2sin/,步-l.

3.y+—

冗

4(J-1)71

了3

四、（8分）求證當(dāng)x>0時(shí),%--<sinx.（用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明）

6

五、（6分）是一個(gè)相關(guān)變化率的問(wèn)題，一,_,=144萬(wàn)加/5。

六、（8分）

。>一2時(shí)，有兩個(gè)相異的實(shí)根；。=-2時(shí)，有一個(gè)實(shí)根；“<一2時(shí)，沒(méi)有實(shí)根。

七、（6分）設(shè)尸（x）=x3/（x）,對(duì)尸（x）在區(qū)間［0,1］上用羅爾定理即可得證。

6歷

八、（8分）所求點(diǎn)為P（注a,—b）.

22

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2004級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷

四.填空題（每小題4分，共20分）

1.〃=32.a=-23./叫0）=90

4.（-1,一；）/\（1一1）

5.（x-l）+-P_/

五.選擇題（每小題4分，共16分）l.C2.D3.C4.D

六.計(jì)算題（每小題7分，共35分）

2

xsin—<t

,（11A13-e1

1.limcotx---------=一2.lim______x_+

Isinxx）6.TOln（l+x）、2+x

d\—o+wdy1d2y1+3產(chǎn)

3.

2ycosy2-xer+j,dr2f（l+產(chǎn)）dx24/（1+廣）2

5.a=-,b=\,c=l（注意：分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)?定要用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求）

2

四.（8分）用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明。

五.（8分）所求的切點(diǎn)為（g,r）,切線方程為曠=日工一等

六.（7分）用單調(diào)有界原理來(lái)證明數(shù)列極限的存在性，然后求得limx“=2.

七.（6分）提示：對(duì)〃x）以及g（x）=/用Cauchy中值定理，然后再對(duì)/（x）在［a,“上用

拉格朗日中值定理。

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2005級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷

填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)

2x3

1.limxsin——=22.k=—3.dyI=-7rdx

2

…x+l4

3e

4.e+2e(x—1)+--(x-I)"+o((x—1)~)5.ci-l,h―—1。

2

二.單項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分16分)

6.C7.C8.C9.B

三.計(jì)算題（本題共5小題，每小題7分，滿分35分）

10.-11o31n212.1

2

1Q#叫r-（一D"〃！，2"+.!dy_e'+2xcos（,J+），）-/

7-xn+l（l-2x）n+l■dv-2xy—2），cos（f+y2）°

四.（本題共4道題，滿分29分）

15.（本題滿分6分）（相關(guān)變化率問(wèn)題）半徑增加的速率是」-（c〃?/s）。

2兀

.V-1

16.（本題滿分7分）用單調(diào)性來(lái)證。（提示：設(shè)尸（x）=e'—l—xeh則

x-lx+1x+1

F'（x）=e-（e~-l-^）,考慮g（x）=e=-1-二的符號(hào)即可）。

17.（本題滿分8分）所求點(diǎn)為「（2及,2）,弦P。的最短長(zhǎng)度為66。

18.（本題滿分8分）提示：（1）令F（x）=/（x）-x,用羅爾定理即可得證。

（2）利用⑴的結(jié)論，對(duì)/（x）在區(qū)間（a,c）、（c,b）分別用拉格朗日中值定理即可得證。

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2006級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(上)期中試卷

填空題(前四題每題4分，第5題8分，滿分24分)

1.x=0,x=l；第一類(跳躍)間斷點(diǎn)，第二類(無(wú)窮)間斷點(diǎn)

f'()

2.a—\,b—3.dy=―:-xdx4.a-3,b——2

1+/2U)

x2sin—

5.(1)y=Isgnx\(2)y=|x|(3)y=x3(4)lim.....-

1111ioin(l+x)

二.單項(xiàng)選擇題(每題4分，滿分12分)1.C2.B3.D。

三.計(jì)算題(每題7分，滿分35分)

4.j(l0)(x)=39(3x2+20x+30)e3v5.4x-3y+6=0

四.(8分)用單調(diào)有界原理，數(shù)列*“｝單調(diào)遞增，有上界1+V2,故收斂，且=匕且.

“foo2

五.(8分)用單調(diào)性證明。

六.(7分)提示：對(duì)尸(x)=(l—x)3/(x)用羅爾定理。

nret分nKI

七.(6分)(1)令g.(x)=-----------,xe(0,+oo),limg?(x)=1------>0,

xn+lzo+n+1

limg(x)=———<0,故mO<x<》2<+8,使得g“Oi)>0,g“(X2)<0，

*7+oonn+l

g”(x)在區(qū)間上連續(xù)，g“(x)在(%,々)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。

---j--arctanx,2

g：(x)=------，記//(x)=--arctanx,1(x)=--__<0，

x1+x(l+x，

xe(0,+oo),/?(X)</J(0)=0,X>0,即g“'(x)<0,x>0,g“(x)在(0,+8)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)

遞減，g.(x)在(0,+oo)內(nèi)至多存在一個(gè)零點(diǎn)。g.(x)在(0,+8)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即/“(x)在

(0,+oo)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，記為x“e(0,+oo)o

,、,arctanx_,11arctanx?arctanx寸.%、7f

(2)由于-------也nJ=----<——=--------而-----------嚴(yán)格單調(diào)11遞1減，故

X“+I"+2n+lxnx

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兀

x<x,所以(〃+l)arctan*<%〃<一(〃+1),得lim%=+8,

nn+12〃-8

limUlim(〃+2)arctanx*i。

“TOO七fo(n+1)arctanxn

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2007級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(上)期中試卷

一.填空題(每小題4分，滿分24分)

1.k-3,a-V22.a=l,b=-13.1—2x+2x2—2x3+2x4+o(x4)

j411,,

4.——e2jt+xsin——l-2arctanx+C5.6.(l,e2),4e-2

23

二.單項(xiàng)選擇題(每題4分，滿分12分)7.D8.B9,C

三.計(jì)算題(每小題8分，滿分32分)

d2y_⑹+5)(1+f)

10.1

dx2t

12./(10)(x)=-210(x2+x)sin2x+210-5(2x+1)cos2x+29-45sin2x.

13.a=-l,b=-1,切線方程為y=x-2.

0,0<x<2

5

四(14).(8分)/(x)=(2*x=2,在［0,2),(2,+8)上連續(xù)，間斷點(diǎn)x=2為第一類

x2,x>2

的跳躍間斷點(diǎn)。

五(15).(8分)用導(dǎo)數(shù)的定義證明，/'(x)=2x+L

解在等式/(x+〃)=/a)+/(〃)+2〃x中令h=0,得/(0)=0,則

hm--------------lim----------+2X=2A-+1,于是/(x)在(-8,+8)上處處可導(dǎo),

A->oh./?->oh

且/'(x)=2x+l

六(16).(8分)

證設(shè)/(x)=_LxP+_L—x,