立體幾何中的向量方法完整版

3.2立體幾何中的向量方法法向量思考：

如何確定一個點(diǎn)、一條直線、一個平面在空間的位置？OP一、點(diǎn)確實定：AB二、直線確實定：直線l的方向向量O三、平面確實定：A平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.

給定一點(diǎn)A和一個向量,那么過點(diǎn)A,以向量為法向量的平面是完全確定的.l平面的法向量：注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;l求法向量的步驟：11研究

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.你能用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角嗎？你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小嗎？思考2：平行與垂直lmllml四、平行關(guān)系：五、垂直關(guān)系：穩(wěn)固性訓(xùn)練11.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行穩(wěn)固性訓(xùn)練21.設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)以下條件,判斷α,β的位置關(guān)系.垂直平行相交穩(wěn)固性訓(xùn)練31、設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),假設(shè)，那么k=；假設(shè)那么k=。2、，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),那么m=.3、假設(shè)的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，那么m=.例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB平面EFDABCDPEF空間角1.異面直線所成角lmlm若兩直線所成的角為,

則復(fù)習(xí)引入2.線面角l設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，且直線與平面所成的角為(),則a注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角L

將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角。如圖，向量，則二面角的大小＝〈〉

3、二面角若二面角的大小為,

則②法向量法2、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=〔1，0，1〕，b=〔0，1，1〕，那么這條斜線與平面所成的角是______.3、兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，那么兩平面所成的鈍二面角為______.根底訓(xùn)練:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個法向量是______.6001350【典例剖析】

N解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,那么即在長方體中，例1：N又在長方體中，例1：如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz【練習(xí)1】

例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ平面PBC的一個法向量為解2如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.平面PBD的一個法向量為GzyxADCBS【練習(xí)2】

例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?假設(shè)存在，確定點(diǎn)E的位置；假設(shè)不存在說明理由。【典例剖析】

DBACEPxzy解：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為X軸、Y軸、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=m，則【穩(wěn)固練習(xí)】1三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點(diǎn),那么PA與BE所成角的余弦值為_________.

2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,那么AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.

3正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點(diǎn),那么二面角E-BC-A的大小是__________1、如圖，：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值(2)OS與面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的