高中數(shù)學選擇性必修第一冊課后練習26拋物線的簡單幾何性質(zhì)

拋物線的簡單幾何性質(zhì)

[4組基礎(chǔ)鞏固練]

一、選擇題

1.若拋物線V=x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為()

B[設(shè)點P的坐標為(片,。),依題意可知拋物線的準線方程為X=一則a2+|=^/o4+a2,

解得故點p的坐標為七，金%)]

2.拋物線V=2px過點A(2,4),尸是其焦點，又定點8(8,—8),那么|AQ：|8月=()

A.1：4B.1：2

C.2：5D.3：8

C[將點A(2,4)的坐標代入V=2px,得p=4,

拋物線方程為)2=8X,焦點尸(2,0),已知，8(8,-8),

.\AF]^/(2-2)2+(4-0)242

?,|^-^(8-2)2+(-8-0)2-10-5-1

3.過點(2,4)的直線與拋物線y2=8x只有一個公共點，這樣的直線有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

B[點(2,4)在拋物線上，則過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的

直線都與拋物線只有一個公共點，故選B.]

4.過點(1,0)作斜率為一2的直線，與拋物線方二版交于A,B兩點,則弦43的長為

()

A.2yfl3B.2^15

C.2y[17D.2y/19

B[設(shè)A(M,yi),B(X2,聞?

由題意知AB的方程為y——2(x—1),

即)，=一2/+2.

得『一4%+1=0,

??%]+兀2=4,xr^2=1.

\AB\=[(1+R)[(X1+X2)2—以陽]

=^/(l+4)(16-4)=^/5X12=2Vl5.J

5.若直線y=fcc—2與拋物線V=8x交于A，8兩個不同的點，拋物線的焦點為F,且

\AF\A，成等差數(shù)列，則A=()

A.2或—1B.-1

C.2D.1±V5

y--2

\c消去，得Fx2—4(女+2)x+4=0,

{y=8x

4(k+2]

故/=16(&+2)2—16R=64(l+Z)>0,解得攵>—1,且不+犬2=-p-.

由|AF|=xi+g=xi+2,|BF|=X2+g=X2+2,且|AF|,4,山F|成等差數(shù)列，得汨+2+及

+2=8,得即+及=4,

4僅+2)

所以~~=4,解得k=-1或攵=2,又女>-1,故k=2.］

二、填空題

6.拋物線f=2py(p>0)的焦點為F,其準線與雙曲線^?一■^?=1相交于A,B兩點,若

△ABF為等邊三角形,則°=.

?2

6［因為拋物線x1=2py的準線y=一今和雙曲線^■一1相交交點橫坐標為x=

,.?.由等邊三角形得2d3+.X^=p,解得p=6.］

7.直線被拋物線丁=以截得的線段的中點坐標是.

(3,2)［將y=x—1代入尸=4］，整理，得x2—6x+l=0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得見+檢

X［+X2

=6,-2-=3,

.)'1+)'2為+m-26-2

,?-2-=2=2=2?

???所求點的坐標為(3,2).］

8.拋物線y2=4x上的點到直線x—y+4=0的最小距離為.

［設(shè)與直線X—j+4=0平行且與拋物線y2=4x相切的直線方程為x—y+m=O.

元一y+〃?=0,

由彳9得f+（2墳-4）x+"P=o,

y=4x

則/=(2加一4)2—4加2=0,解得m=1,

即直線方程為工一)，+1=0,

4—13、歷

直線無一y+4=0與直線x—y+1=0的距離為

即拋物線y2=4x上的點到直線x—y+4=0的最小距離為^

三、解答題

9.已知拋物線C：V=2px(p>0)過點A(2,-4).

(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；

(2)若點8(0,2),求過點B且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線/的方程.

［解］(1)由拋物線C:尸=2*(。>0)過點A(2,-4),

可得16=4p,解得p=4.

所以拋物線C的方程為y2=8x,

其準線方程為尤=一2.

(2)①當直線/的斜率不存在時，x=0符合題意.

②當直線/的斜率為0時，y=2符合題意.

③當直線/的斜率存在且不為0時，

設(shè)直線/的方程為)：="+2.

［y=kx+2f

由彳、得份2—8)，+16=0.

由/=64—64k=0,得k=l,

故直線/的方程為y=x+2,即x—y+2=0.

綜上直線/的方程為x=0或y=2或x—y+2=0.

10.已知拋物線C尸=以，過點(一1,0)的直線與拋物線。相切，設(shè)第一象限的切點為

P.

(1)求點P的坐標；

(2)若過點(2,0)的直線/與拋物線。相交于兩點A,B,圓M是以線段A8為直徑的圓過

點P,求直線/的方程.

[解](1)由題意知可設(shè)過點(一1,0)的直線方程為x=ty-\.

[x=ty—l

聯(lián)立.得：y2-4)+4=0,

[y~=4x

又因為直線與拋物線相切，則/=0,即r=±l.

當1=1時，直線方程為y=;c+l,則聯(lián)立得點P坐標為(1,2).

(2)設(shè)直線/的方程為：x=my+2fA(xi,yi),8(x2,72),

[x=my+2

聯(lián)立彳0得：/-4,ny-8=0,則/>0恒成立，

[y—^x

川丁2=18,yi+y2=4〃7,

則-=6*=4,為+12=加(6+/2)+4=4機2+4.

由于圓M是以線段AB為直徑的圓過點P,則%/8=0,

X|12-(xi+i2)+l+yD'2-2(yi+y2)+4=0,

］、3

4〃f+8m+3=0,則加=-1或m=—^.

則直線/的方程為y=—2x+4或)=—*+*

[8組素養(yǎng)提升練]

11.(多選題)經(jīng)過拋物線VuZpxS>。)的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,設(shè)A(X1，

%)，B(X2,V),則下列說法中正確的是()

A.當AB與x軸垂直時，|AB|最小

11_2

麗十麗

C.以弦48為直徑的圓與直線》=一名相離

D.yiy2=~p2

ABD[過拋物線焦點的直線與拋物線相交，其主要結(jié)論有：當A8與x軸垂直時，

112

最小,；.A正確；的+麗=5，；.B正確；yi)，2=-p2,；.D正確；以AB為直徑的圓與準

線x=一§相切，；.C錯誤，故選ABD.]

12.拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反

之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線)2=4X

的焦點為凡一條平行于x軸的光線從點M(3,l)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋

物線上的另一點8射出，則直線A3的斜率為()

4c4

A.-3B.3

C.D.竽

A[將y=1代入)2=4X,得X=(,即1),由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)

1—04

過焦點廠(1,0),所以直線AB的斜率為"j-=一彳，故選A.]

--1一

41

13.(一題兩空)已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P(4,

⑺到焦點的距離為6.則拋物線C的方程為；若拋物線C與直線y^kx-2相交于不

同的兩點A,B,且AB中點橫坐標為2,則k=.

)2=8工2［由題意設(shè)拋物線方程為)，2=2px,其準線方程為犬=一令根據(jù)定義可得4+

2=6,所以〃=4,所以拋物線。的方程為尸=8尤由，消去y,得匹――(4&+8)工

y=kx-2f

+4=0.

有ZW0,/=64(左+1)>0,

解得Q—1且％#0.

x\+x22k+4

又力—=-P-=2，

解得左=2或左=一1(舍去)，所以k的值為2.］

14.設(shè)拋物線尸=4犬的焦點為F,準線為/.已知點C在/上，以C為圓心的圓與y軸的

正半軸相切于點兒若NMC=120。，則圓的方程為.

(x+1)2+3—小尸=1［由V=4x可得點尸的坐標為(1,0),準線/的方程為x=-l.

F(l,0)“

由圓心C在/上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點C的橫坐標為一1,圓的半

徑為1,NC4O=90°.又因為/EAC=120°,所以/OA尸=30°,所以|OA|=#,所以點C的

縱坐標為小.

所以圓的方程為(x+1)2+。一小)2=1.］

［C組思維提升練］

15.如圖，己知點尸為拋物線氏)2=2pxS>0)的焦點，點A(2,，”)在拋物線E上，且

|AQ=3.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點G(—1,0),延長AF交拋物線E于點B,證明：以點F為圓心且與直線GA相

切的圓，必與直線GB相切.

［解］(1)由拋物線的定義得|4尸|=2+§

由已知|AQ=3,得2+§=3,解得p=2.

所以拋物線E的方程為y1—4x.

(2)法一：如圖，因為點4(2,⑼在拋物線E:V=4x上，所以m=±2吸，由拋物線的對

稱性，不妨設(shè)A(2,2&).

由A(2,2g)，F(xiàn)(l,0)可得直線AF的方程為)，=2吸(》一1).

解得x=2或x=g,從而8&一小)

又G(-1,O),

訴力心2小一020―一―020

戶即以*《GA/>z?\o，4G81o,

()'A(T)

所以hw+kGB=O,從而/AGF=N2GF,這表明點尸到直線GA,G8的距離相等，

故以尸為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.

法二：如圖，設(shè)以點尸為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.

因為點A(2,,〃)在拋物線E:y2=*4x上，所以m=±2y［2,由拋物線的對稱性，不妨設(shè)

71(2,2^2).

由A(2,2柩,F(1,O)可得直線AF的方程為y=2y/2(x-i).

0=2吸(I),

由V=4x,

得Zx2—5x+2=0,

解得x=2或x=￡,

從而86，一地)

又G(—1,0),故直線GA的方程為26x—3y+2g=0,

|2二+2的4小

從而『師="

又直線GB的方程為2吸x+3y+2啦=0,

12^2+2^214^2

所以點F到直線GB的距離d=^8+9~yfTi~r'

這表明以點尸為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.

第三章3.33.3.2第1課時

課1檢1二同雙基

1.拋物線x2：%的焦點到準線的距離是(D)

A.1B.2

C.受D-

［解析］因為拋物線的方程為*=為，即2p=g,所以

因此焦點到準線的距離是點故選D.

2.已知F是拋物線丁=》的焦點，A,8是該拋物線上的兩點，|AQ+山~=3,則線段

AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(C)

A.總B.1

CfD*1

J4u,4

［解析|設(shè)Ag月)，B(X2,竺)，則由拋物線的定義得依用+|防=乃+；+及+：,

因為依回+舊/7^,所以陽+；+及+：=3,所以X1+X2=|,即線段AB的中點的橫坐標

為京從而線段AB的中點到了軸的距離為/故選C.

3.已知拋物線y2=2*(p>0)上的點A到焦點F距離為4,若在y軸上存點仇0,2)使得

BABF^O,則該拋物線的方程為(A)

A.)2=8xB.y2=6x

C.V=4xD.y2—2x

［解析］由題意可得：/皮,0),%1+§=4,解得XA=4—5取yA="\J2P(4—^=7而—p1.

.'.A(4—2，，8p—p2).

,:啟.后=0,：.^(4-^)-2(yj8p~p2-2)=0,

(y/8p—p2—4)2=0,解得p=4.經(jīng)過檢驗滿足條件.

???該拋物線的方程為>2=8X.故選A.

4.拋物線的焦點到準線的距離等于0.5.

I解析］拋物線V=x中2P=1,...p=0.5,...拋物線f=x的焦點到準線的距離等于

0.5.

5.過拋物線V=8x的焦點作直線/,交拋物線于4、B兩點,若線段48中點的橫坐標

為3,則IABI的值為10.

［解析J由拋物線V=8x知，p=4.

設(shè)A(xi,%)、8(X2,竺)，根據(jù)拋物線定義知：

\AF］-x\+^,\BF］=x2+y

|4B|=|AF|+|BF|=%i+g+x2+?=xi+xi+p,

由條件知即;"2=3,則X|+X2=6,

又■p=4,.*.|AB|=10.

第三章3.33.3.2第1課時

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

請同學們認真完成練案［28］

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.拋物線/=一8)，的通徑為線段A8,則AB長是(D)

A.1B.2

C.4D.8

［解析］拋物線f=-8y,通徑為|一8|=8,...選D.

2.拋物線V=9x與直線21一3y8=0交于A、B兩點，則線段AB中點的坐標為(B)

(113_27>/H327\

A.一彳JB.yj

<_H3_27Af_11327A

C-I8'4；D-I8,4j

327

［解析］由2x—3y—8=0得，X=N，+4,代入產(chǎn)=9x中得V一5y—36=0,設(shè)A(xi,

%)，8(X2,>12),

AB的中點為(xo,泗)，則yo=，,”=%

xo=iiy^=!(|y,i+4+|)-2+4^=1(yi+y2)+4=|yo+4=-^,故選B.

3.已知拋物線C：)2=12X,過點P(2,0)且斜率為1的直線/與拋物線C相交于4、B兩

點，則線段AB的中點到拋物線C的準線的距離為(C)

A.22B.14

C.11D.8

I解析］拋物線Cy2=12x,可得準線方程為：x=-3,過點尸(2,0)且斜率為1的直線

/：y=x—2,

fy2=12x

由題意可得：，可得f—i6x+4=0,

ly=x-2

直線/與拋物線C相交于A、B兩點、,則線段AB的中點的橫坐標為8,

則線段A8的中點到拋物線C的準線的距離為8+3=11.

4.已知A是拋物線)?=2px(p>0)上一點，/是拋物線的焦點，0為坐標原點，當|AF|

=4時，ZOM=120°,則拋物線的準線方程是(A)

A.x=—\B.x=~3

C,x=-1或x=-3D.y=-1

I解析I過A作準線的垂直AC,過尸作AC的垂線，垂足分別為C,B.

由題意/8以=NQR4—90。=30。，

A點到準線的距離為：d=\AB\+\BC\=p+2=4,

解得p=2,

則拋物線的準線方程是x=-1.

故選A.

5.已知A,3是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，。為原點，^\OA\=\OB\,且拋物線的

焦點恰好為△AO8的垂心，則直線A3的方程是(C)

3

A.x=pB.x=2P

5nr

C.x=］PD.x=3p

［解析］-：\6A\=\OB\,

B關(guān)于x軸對稱.

設(shè)A(xo,、2pxo),B(xo,—\j2pxo).

xo-

直線AB的方程是x=|p.

二、填空題

6.頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方程是

24x或F=-24x_.

［解析］:旗與焦點距離為6,

即§=6,二2P=24,

又：對稱軸為x軸，

二拋物線方程為y2=24.r或y2=-24x.

7.設(shè)拋物線V=4x的焦點為F,準線為I,則以F為圓心，且與I相切的圓的方程為

(x-lF+y2=4.

［解析］V拋物線V二叔的焦點尸的坐標為(1Q),準線/為直線》=-1,

圓的圓心坐標為(1,0).

又：圓與/相切，

二圓心到/的距離為圓的半徑，

r=2.

圓的方程為(x—1)2+9=4.

8.一個正三角形的兩個頂點在拋物線以上，另一個頂點是坐標原點，如果這個三

角形的面積為36小，則a=±2小.

［解析I設(shè)正三角形邊長為X.

36小=ysin60。，.,.x=12.

當”>0時，將(66,6)代入丁="得”=2小，

當aVO時，將(一6小，6)代入？2=以得。=-2限，

故°=±2小.

三、解答題

9.已知拋物線的焦點尸在x軸上，直線/過尸且垂直于無軸，/與拋物線交于A、B兩

點，坐標原點。為拋物線的頂點，若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標準方程.

［解析］由題意，設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p#O),

焦點造，0),直線/：x=2.

'.A,B兩點的坐標分別為他p),像一p),

A\AB\=2\p\...,△OAB的面積為4,

二］，2|p|=4.p=-2,y［2,.

.?.拋物線的方程為/=±4-V2x.

10.已知直線/經(jīng)過拋物線V=6x的焦點尸，且與拋物線交于A,B兩點.

(1)若直線/的傾斜角為60。，求兇口的值；

(2)若|A8|=9,求線段AB的中點M到準線的距離.

［解析】(1)因為拋物線方程為V=6x,所以準線方程為》=一看咯，0),又因為直線

/的傾斜角為60。，所以直線/的斜率為&=tan6(T=小，所以直線/的方程為尸@L|),

設(shè)A(XI,yi),8(X2,>2),

yz=6x,

聯(lián)立｛r(3、，

卜=小卜一方

Q

消去y得x2—5x+1=0,

則Xl+X2=5,

而|AB|=|AF|+由F|=XI+§+x2+g=xi+及+2，

所以|AB|=5+3=8.

(2)由拋物線的定義，知|A用=依用+|8月=為+》2+3=9,所以制+m=6,

于是線段AB的中點M的橫坐標是3.

又準線方程是尸一3會所以中點M到準線的距離為3+；3老9.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.設(shè)拋物線V=2x的焦點為F,互相垂直的兩條直線過F,與拋物線相交所得的弦分

別為AB,CD,貝IJIABHC。的最小值為(A)

A.16B.8

C.4D.2

22

I解析］設(shè)AB傾斜角為％則依陰=方工，因為AB,C。垂直，所以|。9|=；^忑，因此

oil1CALUb€A

416

四心尸赤高=而笈力6,選A.

2.如果拋物線V=4x的焦點為F,點M為該拋物線上的動點，又點4一1,0）,那么繇（

的最大值是（D）

A.|B.半

C.坐D.1

|解析】由拋物線的方程可得，焦點尸（1,0）,準線方程為：犬=-1，4—1,0）點在準線上，

作MVJ_準線交于N,由拋物線的性質(zhì)可得|MF|=|MN|,

因且=幽

MN

在三角形AA/N中，~^=cosZMAF,

所以扇的最大值時，/胡加最小，

當A,M,/三點共線時，最小,

所以這時制的最大值為1,故選D.

,4i-idO

3.（多選題）若拋物線V=x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐

標為（BD）

A-一陰B.七,省

CQ，坐）D.七,坐）

I解析］設(shè)焦點為F,原點為。，尸（沏，州），由條件及拋物線的定義知，|「網(wǎng)=|「。|,又

fQ,（^,Z.xo=1,

.,.）3=/,二又）=±乎，故選BD.

4.（多選題）已知過拋物線y2=6x焦點的弦長為12,則該弦所在直線的傾斜角可以是

（BD）

TC門兀

A-6B-4

—兀-3

C,1D.平

a

［解析］方法1：:拋物線尸=6羽，2P=6,域=2，

即焦點坐標《I，0）.

當直線傾斜角為T時，即直線為X=|,此時弦長為2p=6/12,故直線斜率存在.

設(shè)所求直線方程為y=（r-|）,

-9

與拋物線V=6x消去y,得Fx2—(3乒+6)%+不?=0.

設(shè)直線交拋物線于A。］,yi),B(X2,>2),

.,3F+6

..x\-r-X2=-飛~.

??,直線過拋物線焦點，弦長為12,

.,./i+忿+3=12,.*.XI+X2=9,

加3F+6—

即一^一=9，解得爐9=1，

%=lancc=±l,V?e［0,兀)，???a=彳或手.

方法2：弦長|AB|=M篝(a為直線A8的傾斜角)，

.6.._1._,y［2

??12—-),??sin2a—sinot—士。，

sina22

.?ur八\?冗—lx37r

.a^［0,兀)，??。=4或1=彳.

二、填空題

5.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為凡M為拋物線的準線上一點，

且M的縱坐標為3小，N是直線與拋物線的一個交點，若疝=2標,則v=3.

［解析］拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為F,M為拋物線的準線上一點，且M的縱坐

標為3小，N是直線與拋物線的一個交點，若加=2標，

設(shè)N(x,>■),M(甘,3小),造,0)

.\NM=(x+y廠35)，稱=(g-

x，一刃，

尤+芻=2|A,

,可得燃,小),代入拋物線方程可得：3=2XPx1,解得p=3.故

、廠3小=2(-y)

答案為3.

6.己知A(2,0),8為拋物線丁=彳上一點，則|AB|的最小值為—乎

［解析］設(shè)點3(x,y)9則工=產(chǎn)20，所以

+￡

所以當X=?時，|A8|取得最小值，且網(wǎng)min=*.

7.已知拋物線C：V=4x的焦點為F,則一的坐標為(1。)：過點下的直線交拋物

線C于A,B兩點，若|AF|=4,則AAOB的面積為_邛_.

［解析］由拋物線C：)2=4x可得〃=2,故焦點坐標為(1,0).

設(shè)4(xo,州)，則14rl=即+?=沏+1=4,故xo=3.

不妨設(shè)A在第一象限，則加=2小，

故以8=3_?故直線AB：y—y[3(x—1).

[Y=4x,

由?「可得3/—10x+3=0,

g小(1)

所以SAAOB=4X1X2于平卜4乙

三、解答題

8.如圖所示，已知直線/：y=2x-4交拋物線產(chǎn)=4工于A,8兩點，試在拋物線A08

這段曲線上求一點P,使的面積最大，并求出這個最大面積.

y=2x—4,

[解析1由"，,

（y-=4x,

由圖可知44,4）,8（1,-2),則|AB|=3小.

設(shè)尸(沏，泗)為拋物線A08這段曲線上一點，d為點P到直線A3的距離，則：

,I2xo-yo-4|1直1..1、2a

「鄧飛2一劃一4-^o-D-9I.

V-2<y0<4,???。,0-1)2-9<0?

?"=^^[9—(yo—I)2].

919r-27

從而當2=1時，〃nax=W^,Smax=]X藥gX3小=彳.

因此，當點P的坐標為(；，1)時，△%8的面積取得最大值，最大值為宇.

9.定長為3的線段4B的端點4、B在拋物線^=》上移動，求A8中點到)，軸距離的

最小值，并求出此時AB中點M的坐標.

[解析I如圖，設(shè)F是拋物線)2=x的焦點，A、B兩點到準線的垂線分別是AC、BD,

例點到準線的垂線為MN,N為垂足，則|MN|=/AC|+|B￡)|),

根據(jù)拋物線定義得HC|=H/q,

.?.附2=昴4十|即)》怨=

設(shè)M點的橫坐標為x,則|MN|

.?.x=|WV|一卜|一（=/，

等號成立的條件是弦AB過點F,

由于|AB|>2p=l,

???A3過焦點是可能的，此時M點到y(tǒng)軸的最短距離是今即A5的中點橫坐標為今

當尸在48上時，設(shè)A、8的縱坐標分別為V、”，則w72=-p2=—從而（yi+y2）2

=y?+%+2yiy2=2X^-3=2,二%+丫2=力，

??.M點的坐標為《，當時，”到y(tǒng)軸距離的最小值為京

第三章3.33.3.2第2課時

課堂檢測二固雙基

1.在拋物線V=8x中，以（1，-1）為中點的弦所在直線的方程是（C）

A.x—4廠3=0B.x+4y+3=0

C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0

［解析］設(shè)弦兩端點為A（X1,y）、5（X2,y2）,則丁1+以=一2.

VA.B在拋物線上，，M=8XI,比=8為,

兩式相減得，（y+y2）（yi—”）=8（即一M），

X1—X2

「?直線AB方程為y+1=—4（x—1）,

即4x+y~3=0.

2.直線y=x+l與拋物線丁=2px相交，所得弦長為2#,則此拋物線方程為（C）

A.y^=2xB.y2=6x

C.尸二一/或丁=6工D.以上都不對

22

I解析］把x=y-\代入y=2px得y—2py+2p=09

??y+y2=2p,yiy2=2p,k=1,

由弦長yj1+。）2—4yi/2=2^6,

可解得p=-l或3.

二?拋物線方程為）2=-2x或y2=6x.故選C.

3.拋物線y=*的焦點關(guān)于直線x—y—1=0的對稱點的坐標是（A）

A.(2,-1)B.(1,-1)

C.Q,"I)D.七一點)

［解析］y=*nf=4y,焦點為(0,1),其關(guān)于x—y—1=0的對稱點為(2,—1).

4.直線y=kx-2交拋物線V=8x于A、B兩點，若AB中點的橫坐標為2,則k=（C)

A.2或一2B.-1

C.2D.3

爐=8》

［解析］由'得sf-4(Z+2)x+4=0,由/>0得￡>一1,

)=丘一2

r,4（&+2）

則］,=4,即％=2.

5.己知拋物線C：*=2py（p>0）,斜率為k的直線/經(jīng)過點P（0,—4）,/與C有公共

點A,B,當女=2時，A與8重合.

(1)求C的方程；

(2)若A為PB的中點，求|A8|.

［解析］(1)當％=2時，直線/：y=2x-4,

fjc2=2/7y

聯(lián)立方程組得《,消去y得4px+8P=0,

y=2x—4

由題意/=16p2—32p=0,解得p=2或p=0(舍去)，故C的方程為/=4y.

(2)由(1)得，當k>2或k<-2時直線與拋物線有兩個不同交點，

直線方程/：y=kx—4,設(shè)A(x”yi),8(x2,)2),

f=4y

聯(lián)立方程',消去y得/-4履+16=0,

y=kx—4

則xi+x2=4k,x\X2=16,

又4為PB的中點，則§=2,

A1

??x\X2=^xy—16,工］+M=3XI=4Z.

；.R=8,^=|,刈=同=2P,

第三章3.33.3.2第2課時

素養(yǎng)作業(yè);提技能

請同學們認真完成練案［29］

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.已知F為拋物線y2=4小x的焦點，過點F的直線交拋物線于A,B兩點，若酢'=

3FB,則|A8|=(A)

AaR巡

A.33

C.D.y［3

［解析］:直線AB過焦點，且#=3成，.,.直線A8的傾斜角為60?；?20。，；.|A8|=

2P4s16s

sin2，一(近)一3-

2.過拋物線焦點尸的直線與拋物線相交于4、8兩點，若點4、8在拋物線準線上的射

影分別為Ai,Bi，則/4尸81為(C)

A.45°B.60°

C.90°D.120°

I解析】設(shè)拋物線方為產(chǎn)=2必0>0).

如圖,V|AFl-|A4i|,|BF]=|BBi|,

ZAAtF=ZAFAi,

NBFB尸/FB\B.

又A4]〃Qx〃818,

ZAiFO=ZFAiA,

NBiFO=NFBiB,

：.NAIFBI=￡/AFB=90°.

3.過拋物線V=4x的焦點，作一條直線與拋物線交于A、B兩點，它們的橫坐標之和

等于5,則這樣的直線（B）

A.有且僅有一條B.有且僅有兩條

C.有無窮多條D.不存在

[解析]由定義|A8|=5+2=7,

?：|AB|min=4,...這樣的直線有兩條.

4.設(shè)拋物線V=8x的準線與x軸交于點Q,若過點。的直線/與拋物線有公共點，則

直線/的斜率的取值范圍是（C）

A.一a，5B.[—2,2]

C.[-1,1]D.[-4,4]

[解析]拋物線V=8x的準線（直線x=-2）與x軸的交點為。（一2,0）,于是，可設(shè)過點

）。8x，

。（-2,0）的直線/的方程為y=A（x+2）,聯(lián)立,消去y,得Qf+（4F一8）x+4必

ly=A（x+2）,

=0,判別式/=（43—8）2—16犬=-643+6420,解得一故選C.

5.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點，4、B、C為該拋物線上三點，若成+西+元'=（）,則

西|+|成|+|向等于（B）

A.9B.6

C.4D.3

[解析J設(shè)A、B、C三點坐標分別為（X1,）"）、（X2,如、（X3,”）.由題意知F（l,o）,因

為花+無+或7=0,所以為+及+4=3.根據(jù)拋物線定義，有I旗1+1西1+1向=X1+1+X2+

1+冷+1=3+3=6.故選B.

二、填空題

6.斜率為小的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A,B兩點，則依陰=_號

I解析]由題意得直線方程為卜=小3—1）,聯(lián)立方程，得<,得3W-10X

ly=4x,

+3=0,.??%+工6=￥，故|AB|=1+XA+1+加=2+#=牛.

7.已知拋物線C：V=2px（P>0）的準線為I，過"（1,0）且斜率為小的直線與I相交于A,

與C的一個交點為B,若4耘=〃萬，則p=2.

I解析]本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系.

如圖，由斜率為小，NBMx=60。，可得

又病=凝，為中點.

：.BP=BM,為焦點，

即§=1,；.p=2.

8.如果點P，P2,P3，…，Po是拋物線產(chǎn)=2%上的點，它們的橫坐標依次為xi，X2,

X3，…，X10,尸是拋物線的焦點,若X1+X2+X3+…+孫)=5,則舊用+|22月+…+IPoW=

10.

［解析］由拋物線的定義可知，拋物線y2=2px(p>0)上的點P(A-o,泗)到焦點F的距離

|PM=xo+當在V=2x中，p=l,所以IP臼+|P2/n+…+|Piof］=Xi+x2+…+xio+5p=lO.

三、解答題

9.已知拋物線C：V=2px過點A(l,2).

(1)求拋物線C的方程；

(2)求過點P(3,-2)的直線與拋物線C交于M,N兩個不同的點(均與點A不重合).設(shè)

直線AM,AN的斜率分別為依，求證：內(nèi)咫為定值.

I解析I⑴由題意得2P=4,所以拋物線方程為產(chǎn)=4x.

(2)設(shè)M(xi,?),N(X2,y2),直線MN的方程為》=心+2)+3,

代入拋物線方程得產(chǎn)一4)一8/-12=0.

所以/=16尸+32，+48>0,yi+)2=4f,Viy2=-8/—12.

yi—2y—2yi~2y2—2

所以修色=2

Xl—1X2—1VT

4

y1^2+2(71+y2)+4—St—12+8f+4

所以ki也為定值為一2?

10.已知拋物線V=-x與直線y=&(x+D相交于