微分幾何復習

微分幾何復習題一、填空題向量W)=("31,a)具有固定方向，則a=。2。 非零向量弟)滿足(r,己尹)=0的充要條件是若向量函數(shù)r(t)滿足r(t)x尹(t)=0,則r(t)具有固定。曲線r=r(t)的正常點是指滿足的點。曲線r(t)=(2t,13,et)在任意點的切向量為。曲線r(t)=(acosht,asinht,at)在t=0點的切向量為。曲線r(t)=(acost,asint,bt)在t=0點的切向量為。設(shè)曲線在p點的切向量為d，主法向量為『，則過p由a,B確定的平面是曲線在p點的。若r(t0)是曲線r=r(t)的正則點，則曲線r=r(t)在%的密切平面方程是。曲線r=r(t)在點r(t)的單位切向量是a，則曲線在r(t)點的法平面00方程是.一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率T=。曲線r=r(t)在t=1點處有f=2$，則曲線在t=1對應的點處其撓率T(1)=。曲線x=cost,y=sint， z=t在t=0處的切線方程是。曲線的主法向量的正向總是指向。空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量。曲線r=r(t)的曲率是.曲線r=r(t)的撓率是。一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系是。曲率為0的曲線是,撓率為0的曲線是。設(shè)有曲線C:x=et,y=e-1,z=12，當t=1時的切線方程為設(shè)有曲線x=etcost,y=etsint,z=et，當t=0時的切線方程為22。 曲線r=r⑺在點r?)的單位切向量是a，則曲線在r?)點的向量式法平面方程是。23。 曲線r=r(t)在P(t)點的主法向量是『，則曲線在P點的從切平面方程0是O24。 設(shè)曲線r=r(s)，其中S為曲線的自然參數(shù)，則|r(s)=O25o半徑為1的圓的撓率t=o26。曲線在P點的撓率t0時，表明曲線由下往上經(jīng)過P點時成右旋曲線.27o向量函數(shù)r=r(t)對任意t有r(t)±r(t)的充要條件是。28o已知曲線r=r⑴在p點的單位切向量為a=(0，1,0)，單位主法向量p=(0,0,1)，則曲線在p點的單位副法向量r=o29.曲面上曲線的弧長，交角，曲面域的面積等都是的的不變量。31o若點(命％)為曲面的正則點，則rxr在(u0,v0)滿足ouv32o曲面z=z3,y)在點(％*,z0)的法線方程是.33o如果u-曲線族和v-曲線族處處不相切，則稱相應的坐標網(wǎng)為O34o已知曲面r=r(u,v)的第一類基本量為E、F、G，則兩方向du：dv與5u:5v垂直的充要條件是o35.對曲面r=r(u,v)有dr2=4du2+3dv2,則曲面上曲線u=(t)，v=v(t)從t到0t(t〉t0)的弧長s=.36o若曲面r=r(u,v)在(0,1)點處的第二基本形式II=-du2+3dv2,則在(0，1)點處，匚?氣=。其中n為曲面的單位法向量。37o已知曲面r=r(u,v)的第二類基本量L、M、M則曲面上漸近曲線的微分方程是O38o撓率的曲線其副法向量是常向量。39.曲面上的曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是40o曲面上一曲線，如果它每一點的切方向都是主方向，則稱該曲線為O41o半徑為R的球面的高斯曲率K=.在曲面上圓點，其第一、第二類基本量滿足關(guān)系.曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是。曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為正交網(wǎng)的充要條件是.極小曲面是指的曲面。曲面上一點的主曲率是曲面在這點所有方向的的最大值和最小值。兩個曲面之間的變換是保角變換的充要條件是。設(shè)曲面在點P處有兩個同號的主曲率，則按高斯曲率的符號分類，此點是曲面的。法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率，使法曲率達到最大值和最小值的方向是曲面的方向。距離單位球面球心距離為d(0<d〈1)的平面與球面的交線的曲率為，法曲率為。在臍點處曲面的第一、第二類基本量滿,把第二類基本量L=M=N=0的臍點稱為。法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率達到最大值和最小值的方向是—方向.平面r=(u,v,0)的第一基本形式為。懸鏈面r=(coshucosv,coshusinv,u)的第一類形式是。正螺面r=(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式是。函數(shù)人是主曲率的充要條件是。N方向(d)=du:dv是主方向的充要條件是。根據(jù)羅德里格定理，如果方向(d)=(du:dv)是主方向，則,其中x=—k是曲面沿方向(d)的法曲率.n若曲面S為平面，則其第二基本形式11=。曲面r=r(u,v)上使的點叫做曲面上的正常點.曲面之間的一個變換，如果使兩曲面間對應曲線的交角相等，則稱這個變換為。若曲面r=r(u,v)在(0,1)點處的第二基本形式11=du2+3dv2,n為曲面的單位法向量，則在(0,1)點處,r?nu=。二、單項選擇題1.曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是 ()直線；B。圓；C.圓柱螺線； D。平面曲線

TOC\o"1-5"\h\z曲線的下列各量中，不是容許參數(shù)變換下的不變量的是是 （）A。曲率；B。撓率；C?；￠L；D。切向量過空間曲線C上點P（非逗留點）的切線和P點的鄰近點Q的平面兀，當Q沿曲線趨于點P時，平面兀的極限位置是曲線在P點的 （）A.法平面；B。密切平面； C。從切平面；D.切線面\o"CurrentDocument"圓柱螺線x=cost,y=sint,z=t在點（1,0,0）的切線為 （ ）A.C.B.y+z=0;A.C.D。y-z=0。5.圓柱螺線r=（cost,sint,t）的切線與z軸（）A。平行； Bo垂直；C.有固定夾角-；D.有固定夾角-.4 36。設(shè)有平面曲線c:r=r（s）,s為自然參數(shù)，a,官是曲線的基本向量.下列敘述錯誤的是a列敘述錯誤的是a.a為單位向量;（）Boa±a；C.a=—k$； Do|3=—kao7.直線的曲率7.直線的曲率k為A.-1； B.0；Col；Do2.關(guān)于平面曲線的曲率c:r=r（s）,s為自然參數(shù)，不正確的是（）A.k(s)=a(s)； Bok(s)="(s),中為a(s)的旋轉(zhuǎn)角；C.k(s)=-a?$； Dok(s)=1r(s))Io設(shè)曲線r=r(s)在p(s)點的基本向量是a,段？，則下列論述不正確的是()Aoa,$,r均為單位向量； Boa±$；c.$±r； Doa||$oTOC\o"1-5"\h\zt 兀，10.曲線x=a(t-sint),y=a(1-cost),z=4asin—在點t=—的切線與z軸關(guān)2 2系為 ()A.垂直；Bo平行；C.成-的角；D.成-的角。34

11。曲線r=r(s)在P(s)點的基本向量是a,B,X，曲率k(s)撓率T(s),則下式()不正確。A.a=—kB；B.P=—ka+Ty；C。a=kB；D.X=-tB。12。平面曲線的密切平面與曲線所在平面 ()Ao相交； Bo平行； Co重合； Do垂直。13。下面曲線中是一般螺線的是()Ao平面曲線；Bo圓柱螺線；Co直線；Do球面曲線。14。曲線r=r(t)在P(t)點的曲率為k,撓率為T,則下列式子()不正確。akrxrff\ Bkrxfc. r2； 。 rf\3 ；。蘭 (rr產(chǎn))k=r；D.t— >—。(rxr")215。對于向量函數(shù)r(t)，若r(t)1rf(t)，則()A.r(t)是定長向量； B。r'(t)定長向量;C.r(t)是定向向量；16。 空間曲線的形狀由()A.由曲率和撓率；CC.r(t)是定向向量；16。 空間曲線的形狀由()A.由曲率和撓率；C.僅由撓率；17。 曲率等于零的曲線A.一定是直線；C.一定是球面上的曲線；18。 圓柱螺線r=(acost,asint,bt)決定僅由曲率；D.由參數(shù)的選取。()B.一定是圓；D.一定是平面曲線..在任一點的切線與z軸的夾角a()A.為90。； B.0。; C。與t有關(guān)； D。與b有關(guān)。19。曲線r=r(s)在p點的基本向量為a,B,X；在p點的曲率k(s)，撓率為T(s)，則k(s)是 ()??a。a.p；b.—a.p； Coa?B；d.—a?B。曲面的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條件是 ().AoE—0;BoF—0；C.G—0；DoM—0。曲面上一點處的兩個主方向之間的夾角。為()兀A.0—0;B.0——； Co 。=兀；Do不確定.222。設(shè)曲面的第一、二基本形式分別為I=Edu2+Gdv2,II=Ldu2+Ndv2,則

曲面的兩個主曲率分別是A。C。1dC。1dlnE匕2―2拓伽D.ki, 1dlnG=k=—= 22必 du23。曲面的坐標網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是 （）A。M=0； B.L=N=0； C。M=F=0；D。F=0。下面關(guān)于曲面上主方向的說法，不正確的一項是（）A。臍點處，任何方向都是主方向；B。非臍點處，主方向垂直；C。臍點處，無主方向； D。非臍點處，有且僅有兩個主方向。在選取曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng)時，曲面的兩個主曲率k"2為（）A.E1G L]NA。k=l,k=n； B。k=e,k=&；G方E NLC。k=l,k=n； D.k=e,k=&。26。 設(shè)曲面S:r=r（u,v）,（u,v）eD的第一、二類基本量為E,F,G和L,M,N，則曲面的面積為 “b則曲面的面積為 “b=!LEg—F2dudv；A。()B.b=W^LN—m2dudv；C。C。b=/LF2—EGdudv；D.b=Jl(M2—LNdudvD27D27。在橢圓點處，曲面的第二類基本量滿足D()A.LN—M2>0； B.LN—M2<0；C.LN—M2=0； D。L=M。MN在不含臍點的曲面上，坐標曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是（）A。M=0;B.L=N=0；C.M=F=0； D。F=0.29。 反映法曲率隨方向而變化的變化規(guī)律的歐拉（Euler）公式是（）A.k=kcos20+ksin20； B。 k2=k2cos20+k2sin20；C。k=kcos0+ksin0；D.k=k2cos20+k2sin20.30。對于曲面的第一基本形式I=Edu2+2Fdudv+Gdv2,EG—F2 （）。A。>0； B。v0；C。<0；D。>0。曲面上每一點處的主方向 （）A.只有一個；B.至少兩個；C.只有兩個；D。也可能不存在。32。曲面r=r（u,v）的第一、第二基本形式分別為1,11,曲面上曲線（C）在P點的曲率奴沿切方向dr的法曲率為k,（C）在P點的主法向量與曲面的單位n法向量n的夾角為e，則下面正確的是 （）A.k=±￥；B。k=kcose；C.Ikl=?;D.k=ksine.33。若在曲面上一點LN-M2<0，則曲面在該點的高斯曲率K （）A.>0； B.<0； C。=0； D.符號不確定.34。 曲面r=r（u,v）,n是其單位法向量，下列第二類基本量的計算中，不正確的是（）A.M=2r?n;B。M=-r-n；C。M=r?n；D.M=-r-n。TOC\o"1-5"\h\zuv uv uv uv35。下列選項中不是曲面的內(nèi)蘊量的是 （）A.兩曲線的夾角； B。曲線的弧長；C.曲面域的面積；D.在一點沿一方向的法曲率。若在曲面上某點處有E：F：G=L：M：N，且L、M、N不全為零，則這點叫曲面的 （）A.拋物點； B。平點；C。圓點；D。雙曲點。F=M=0的充要條件是曲紋坐標網(wǎng)為 （）A.正交網(wǎng)； B。共軛網(wǎng)； C。曲率線網(wǎng)；D.漸近網(wǎng)。若在曲面上一點處有L=M=N，則這點是曲面的 （）EFGA。橢圓點；B.平點；C。圓點；D。臍點。三、判斷下列各題，正確的在題后括號內(nèi)打“寸，，錯的打“X，，。曲線上的正常點是指曲率不為零的點。 （ ）空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀. （ ）向量函數(shù)r（t）平行于固定平面的充要條件是r（t）xrf（t）=0.（ ）在幾何上副法向量總是指向曲線的凹側(cè). （ ）曲線的主法向量正向總是指向曲線的凹側(cè). （ ）曲線f"（s）為一般螺線的充要條件為（r,r,r）=0. （ ）一般螺線的主法線與固定直線一定垂直. （ ）空間曲線穿過密切平面和從切平面，不穿過法平面。 （ ）空間曲線總穿過法平面和密切平面，但從不穿過從切平面?（ ）空間曲線穿過法平面和從切平面，不穿過密切平面。 （ ）圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù)。 （ ）平面曲線的曲率一定為零. （ ）圓的曲率和撓率特征是虹常數(shù)，=0。 （ ）球面曲線的法平面通過球的中心. （ ）平面曲線的密切平面一定存在唯一. （ ）在光滑曲線的正常點處，切線存在而且唯一. （ ）若曲線的主法線與固定方向成定角，則該曲線為一般螺線。（ ）只有一個密切平面的曲線是撓率等于零的曲線。 （ ）密切面固定的曲線是撓率等于零的曲線。 （ ）在空間曲線的非逗留點處，密切平面存在且唯一。 （ ）空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀. （ ）平面曲線撓率特征為t=0 （ ）一般螺線的主法線與固定直線一定垂直. （ ）在光滑曲線的正常點處，切線存在而且唯一. （ ）曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為曲率線網(wǎng)的充要條件為F=M=0.（ ）曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為漸進網(wǎng)的充要條件為L=N=0. （ ）在曲面的非臍點處，最多有二個漸近方向。 （ ）在曲面的非臍點處，恰有二個漸近方向。 （ ）在曲面的臍點處，最多有二個主方向。 （ ）在曲面的非臍點處，有且僅有二個主方向. （ ）曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L=N=0. （ ）如果曲面上有直線，則它一定是曲面的漸近線。 （ ）如果曲面上有直線，則它一定是曲面的曲率線