數(shù)學建模(層次分析法(AHP法))

引言層次分析法（AHP）是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀70年代初，為美國國防部研究“根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配”課題時，應用網(wǎng)絡系統(tǒng)理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權重決策分析方法。第一頁第二頁，共65頁。這種方法的特點是在對復雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關系等進行深入分析的基礎上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學化，從而為多目標、多準則或無結(jié)構(gòu)特性的復雜決策問題提供簡便的決策方法。是對難于完全定量的復雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。第二頁第三頁，共65頁。層次分析法在經(jīng)濟、科技、文化、軍事、環(huán)境乃至社會發(fā)展等方面的管理決策中都有廣泛的應用。常用來解決諸如綜合評價、選擇決策方案、估計和預測、投入量的分配等問題。第三頁第四頁，共65頁。層次分析法建模一、問題的提出日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。例1某人準備選購一臺電冰箱他對市場上的6種不同類型的電冰箱進行了解后，選取一些中間指標進行考察。例如電冰箱的容量、制冷級別、價格、型式、耗電量、外界信譽、售后服務等。第四頁第五頁，共65頁。然后再考慮各種型號冰箱在上述各中間標準下的優(yōu)劣排序。借助這種排序，最終作出選購決策。在決策時，由于6種電冰箱對于每個中間標準的優(yōu)劣排序一般是不一致的，因此，決策者首先要對這7個標準的重要度作一個估計，給出一種排序，然后把6種冰箱分別對每一個標準的排序權重找出來，最后把這些信息數(shù)據(jù)綜合，得到針對總目標即購買電冰箱的排序權重。有了這個權重向量，決策就很容易了。第五頁第六頁，共65頁。例2旅游

假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去涼爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林？通常會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。第六頁第七頁，共65頁。例3擇業(yè)

面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素擇業(yè)。第七頁第八頁，共65頁。例4科研課題的選擇由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進行選題。第八頁第九頁，共65頁。分解建立確定計算判斷實際問題層次結(jié)構(gòu)多個因素諸因素的相對重要性權向量綜合決策一、層次分析法基本原理第九頁第十頁，共65頁。二、層次分析法的步驟和方法運用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時，大體可以分為以下四個步驟：1.建立層次結(jié)構(gòu)模型2.構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣3.層次單排序及其一致性檢驗4.層次總排序及其一致性檢驗

第十頁第十一頁，共65頁。將決策的目標、考慮的因素（決策準則）和決策對象按它們之間的相互關系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。

最高層：決策的目的、要解決的問題。

最低層：決策時的備選方案。

中間層：考慮的因素、決策的準則。

對于相鄰的兩層，稱高層為目標層，低層為因素層。1建立層次結(jié)構(gòu)模型第十一頁第十二頁，共65頁。一個典型的層次可以用下圖表示出來：第十二頁第十三頁，共65頁。幾點注意1.處于最上面的的層次通常只有一個元素，一般是分析問題的預定目標或理想結(jié)果。中間層次一般是準則、子準則。最低一層包括決策的方案。層次之間元素的支配關系不一定是完全的，即可以存在這樣的元素，它并不支配下一層次的所有元素。第十三頁第十四頁，共65頁。2.層次數(shù)與問題的復雜程度和所需要分析的詳盡程度有關。每一層次中的元素一般不超過9個，因一層中包含數(shù)目過多的元素會給兩兩比較判斷帶來困難。3.一個好的層次結(jié)構(gòu)對于解決問題是極為重要的。層次結(jié)構(gòu)建立在決策者對所面臨的問題具有全面深入的認識基礎上，如果在層次的劃分和確定層次之間的支配關系上舉棋不定，最好重新分析問題，弄清問題各部分相互之間的關系，以確保建立一個合理的層次結(jié)構(gòu)。第十四頁第十五頁，共65頁。目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例1.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.第十五頁第十六頁，共65頁。例2大學畢業(yè)生就業(yè)選擇問題獲得大學畢業(yè)學位的畢業(yè)生，在“雙向選擇”時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標準和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標準和要求是多方面的，例如：①能發(fā)揮自己才干作出較好貢獻（即工作崗位適合發(fā)揮自己的專長）；②工作收入較好（待遇好）；③生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；④單位名聲好（聲譽等）；⑤工作環(huán)境好（人際關系和諧等）⑥發(fā)展晉升機會多（如新單位或前景好）等。第十六頁第十七頁，共65頁。工作選擇可供選擇的單位P1’P2，Pn

貢獻收入發(fā)展聲譽工作環(huán)境生活環(huán)境目標層準則層方案層第十七頁第十八頁，共65頁。將決策問題分為3個或多個層次：最高層：目標層。表示解決問題的目的，即層次分析要達到的總目標。通常只有一個總目標。中間層：準則層、指標層、…。表示采取某種措施、政策、方案等實現(xiàn)預定總目標所涉及的中間環(huán)節(jié)；一般又分為準則層、指標層、策略層、約束層等。最低層：方案層。表示將選用的解決問題的各種措施、政策、方案等。通常有幾個方案可選。每層有若干元素，層間元素的關系用相連直線表示。建立層次結(jié)構(gòu)模型的思維過程的歸納層次分析法所要解決的問題是關于最低層對最高層的相對權重問題，按此相對權重可以對最低層中的各種方案、措施進行排序，從而在不同的方案中作出選擇或形成選擇方案的原則。第十八頁第十九頁，共65頁。在建立遞階層次結(jié)構(gòu)以后，上下層次之間元素的隸屬關系就被確定了。假定上一層次的元素Ck作為準則，對下一層次的元素A1,…,An

有支配關系，我們的目的是在準則Ck

之下按它們相對重要性賦予A1,…,An

相應的權重。2構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣比較同一層次中每個因素關于上一層次的同一個因素的相對重要性第十九頁第二十頁，共65頁。在確定各層次各因素之間的權重時，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Saaty等人提出構(gòu)造：成對比較矩陣A=(aij)n

n，即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。2.對此時采用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準確度。心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個，即每層不要超過9個因素。成對比較矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個因素的相對重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Saaty的1—9標度方法給出。第二十頁第二十一頁，共65頁。判斷矩陣元素aij的標度方法標度含義1表示兩個因素相比，具有同樣重要性3表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要5表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強烈重要9表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij第二十一頁第二十二頁，共65頁。對于n個元素A1,…,An

來說，通過兩兩比較，得到成對比較（判斷）矩陣

A=(aij)n

n：其中判斷矩陣具有如下性質(zhì)：（1）aij>0；（2）aij=1/aji；（3）aii=1。我們稱A為正互反矩陣。根據(jù)性質(zhì)（2）和（3），事實上，對于n階判斷矩陣僅需對其上（下）三角元素共n(n-1)/2個給出判斷即可。第二十二頁第二十三頁，共65頁。要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣選擇旅游地目標層O(選擇旅游地)準則層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對比較矩陣有問題旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。第二十三頁第二十四頁，共65頁。用權值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權值。例如一塊石頭重量記為1，打碎分成n小塊，各塊的重量分別記為：w1,w2,…wn則可得成對比較矩陣由右面矩陣可以看出，3層次單排序及其一致性檢驗第二十四頁第二十五頁，共65頁。即但在例2的成對比較矩陣中，在正互反矩陣A中，若,(A的元素具有傳遞性)則稱A為一致陣。定理：n階正互反陣A的最大特征根

max

n,當且僅當

=n時A為一致陣第二十五頁第二十六頁，共65頁。一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復雜性與人的認識的多樣性所決定的。但在構(gòu)造兩兩判斷矩陣時，要求判斷大體上的一致是應該的。出現(xiàn)甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，而丙又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識的。一個混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導致決策的失誤，而且當判斷矩陣過于偏離一致性時，用上述各種方法計算的排序權重作為決策依據(jù)，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對判斷矩陣的一致性進行檢驗。第二十六頁第二十七頁，共65頁。由于λ(A的特征根)連續(xù)的依賴于aij，則λ比n大的越多，A的不一致性越嚴重。引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度。定義一致性指標:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有滿意的一致性CI越大，不一致越嚴重第二十七頁第二十八頁，共65頁。一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率<0.1及隨機一致性指標的數(shù)值表，對A進行檢驗的過程。一般，當一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過一致性檢驗。否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣A，對aij

加以調(diào)整。時，認為A定義一致性比率：第二十八頁第二十九頁，共65頁。判斷矩陣一致性檢驗的步驟如下：(1)計算一致性指標C.I.：其中n為判斷矩陣的階數(shù)；第二十九頁第三十頁，共65頁。(2)查找平均隨機一致性指標R.I.：平均隨機一致性指標是多次（500次以上）重復進行隨機判斷矩陣特征根計算之后取算術平均得到的。龔木森、許樹柏1986年得出的1—15階判斷矩陣重復計算1000次的平均隨機一致性指標如下：階數(shù)12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59第三十頁第三十一頁，共65頁。(3)計算一致性比例C.R.：當C.R.<0.1時，一般認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。否則應對判斷矩陣作適當?shù)男拚?/p>

第三十一頁第三十二頁，共65頁?！斑x擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根

max=5.073一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗第三十二頁第三十三頁，共65頁。旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。問題：兩兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？計算單一準則下元素的相對權重這一步是要解決在準則Ck

下，n個元素A1,…,An

排序權重的計算問題。對于n個元素A1,…,An，通過兩兩比較得到判斷矩陣A，解特征根問題Aw=

maxw所得到的w(特征向量)經(jīng)歸一化后作為元素A1,…,An

在準則Ck

下的排序權重，這種方法稱為計算排序向量的特征根法。第三十三頁第三十四頁，共65頁。特征根方法的理論依據(jù)是如下的正矩陣的Person定理，它保證了所得到的排序向量的正值性和唯一性：

定理設n階方陣A>0，

max為A的模最大的特征根，則有(1)

max必為正特征根，而且它所對應的特征向量為正向量；(2)A的任何其它特征根

恒有|

|<

max；(3)

max為A的單特征根，因而它所對應的特征向量除差一個常數(shù)因子外是唯一的。第三十四頁第三十五頁，共65頁。

特征根方法中的最大特征根

max和特征向量w，可用Matlab軟件直接計算。例如：計算矩陣的最大特征值及相應的特征向量。第三十五頁第三十六頁，共65頁。相應的Matlab程序如下：A=[1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;…1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1];[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);eigenvalue：特征值；diag：提取對角線元素lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y是特征值，且從大到小排列；x是特征向量矩陣，每一列為相應特征值的一個特征向量。第三十六頁第三十七頁，共65頁。輸出結(jié)果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520-0.4184-0.4223-0.1099-0.2730-0.6604

第三十七頁第三十八頁，共65頁。對應于判斷矩陣最大特征根λmax的特征向量，經(jīng)歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為w。

w的元素為同一層次因素對于上一層次因素某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序。第三十八頁第三十九頁，共65頁。準則層對目標的成對比較陣權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T歸一化的第三十九頁第四十頁，共65頁。4層次總排序及其一致性檢驗計算某一層次所有因素對于最高層(總目標)相對重要性的權值，稱為層次總排序。這一過程是從最高層次到最低層次依次進行的。對總目標Z的排序為的層次單排序為第四十頁第四十一頁，共65頁。即B層第i個因素對總目標的權值為：（影響加和）B層的層次總排序為：B層的層次總排序AB第四十一頁第四十二頁，共65頁。組合權向量的計算第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權向量第3層對第2層第k個元素的權向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權向量第s層對第1層的組合權向量第四十二頁第四十三頁，共65頁。層次總排序的一致性檢驗設B層B1,B2,…Bn對上層(A層)中因素Aj(j=1,2,…m)的層次單排序一致性指標為CIj，隨機一致性指標為RIj，則層次總排序的一致性比率為：當CR<0.1時，認為層次總排序通過一致性檢驗。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。

到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。第四十三頁第四十四頁，共65頁。記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根

1=3.005

2=3.002

…

5

=3.0權向量w1(3)w2(3)…

w5(3)

=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)選擇旅游地第四十四頁第四十五頁，共65頁。第3層對第2層的計算結(jié)果

w(2)

0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110組合權向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗方案P1對目標的組合權重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權向量為(0.300,0.246,0.456)T第四十五頁第四十六頁，共65頁。層次分析法的基本步驟歸納如下1建立層次結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。2構(gòu)造成對比較矩陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。第四十六頁第四十七頁，共65頁。3計算單排序權向量并做一致性檢驗對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。第四十七頁第四十八頁，共65頁。4計算總排序權向量并做組合一致性檢驗進行檢驗。若通過，則可按照總排序權向量表示的結(jié)果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率CR較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率第四十八頁第四十九頁，共65頁。1.系統(tǒng)性

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。2.實用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。三、層次分析法的優(yōu)點和局限性第四十九頁第五十頁，共65頁。分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。旅游問題第五十頁第五十一頁，共65頁。（2）構(gòu)造成對比較矩陣第五十一頁第五十二頁，共65頁。(3)計算層次單排序的權向量和一致性檢驗成對比較矩陣A的最大特征值λmax=5.073表明A通過了一致性驗證。故則該特征值對應的歸一化特征向量第五十二頁第五十三頁，共65頁。對成對比較矩陣B1,B2,B3,B4,B5可以求層次總排序的權向量并進行一致性檢驗，結(jié)果如下：計算CRk可知B1,B2,