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文檔簡介
4.2.1指數(shù)函數(shù)情境導(dǎo)入1某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè)······依次類推,寫出1個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后,得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)解析式.分裂次數(shù)x第一次第二次球菌個(gè)數(shù)
y2=214=228=23
…………
第x次…第三次情境導(dǎo)入2一尺之錘,日取其半,萬世不竭.—(出自《莊子天下篇》)…...剩余長度y一尺之木日取其半第1次后第2次后第3次后第4次后第x次后記木頭長度為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系為213設(shè)問:冪的形式自變量x是指數(shù)底數(shù)是一個(gè)常數(shù)這兩個(gè)函數(shù)解析式在結(jié)構(gòu)上有什么共同特征?探究:指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定a大于0且不等于1?
一般地,形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域?yàn)镽.指數(shù)函數(shù)的定義:
一般地,形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域?yàn)镽.指數(shù)函數(shù)的定義:注意:【1】ax的系數(shù)為1;【2】指數(shù)位置為x自變量;【3】ax的底數(shù)是大于零且不等于1的常數(shù).只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件的函數(shù),才是指數(shù)函數(shù).
64類比初中學(xué)習(xí)函數(shù),研究函數(shù)的一般方法:背景概念圖像與性質(zhì)應(yīng)用
為了研究指數(shù)函數(shù),首先作出指數(shù)函數(shù)的圖像,然后借助指數(shù)函數(shù)的圖像研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)回顧:初中學(xué)習(xí)畫函數(shù)圖象的基本步驟是什么?列表描點(diǎn)連線xy-2-1.50.35-1-0.50.7100.51.4111.52.8321xyo123-1-2-30.250.5124xy-2-1.52.83-1-0.51.4100.50.7111.50.352xy-20.25-1.50.35-10.5-0.50.71010.51.41121.52.83244210.50.251xyo123-1-2-3y=2xy=3xy=4x指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)性質(zhì)初探R(0,+∞)(0,1)01增函數(shù)減函數(shù)——指數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)例1:右圖是指數(shù)函數(shù):①
y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=d
x
的圖象,則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c
【解析】畫出直線x=1與四個(gè)指數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)從下往上依次為(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),所以有0<b<a<1<d<c.故選:B.
函數(shù)y=ax在y軸右側(cè)的圖像,底數(shù)越大,圖象越高(底大圖高).典例精講一.指數(shù)函數(shù)的圖像問題由于0<m<n<1,故排除A,B;作直線x=1與兩個(gè)曲線相交,交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y=mx的圖象.
已知0<m<n<1,則指數(shù)函數(shù)①y=mx,②y=nx的圖象為跟蹤訓(xùn)練1√例2.(1)
函數(shù)y=ax-2+1(a>0且a≠1)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)(
)A.(0,1) B.(1,1)C.(2,0) D.(2,2)D解析:當(dāng)x=2時(shí),y=a0+1=2恒成立,
所以函數(shù)y=ax-2+1的圖象必經(jīng)過點(diǎn)(2,2).二.指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題(2).函數(shù)f(x)=3-ax+1(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A.(-1,2)
B.(1,2)
C.(-1,1)
D.(0,2)√∵y=ax的圖象恒過定點(diǎn)(0,1),∴令x+1=0,即x=-1,則f(-1)=2.故f(x)=3-ax+1的圖象恒過定點(diǎn)(-1,2).二.指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題(3)若函數(shù)f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(-1,4),則m+n等于A.3
B.1
C.-1
D.-2√由函數(shù)f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的圖象恒過(-1,4),得m-1=0,2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2,∴m+n=-1.二.指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題【課本例3】比較下列各題中兩個(gè)值的大小.
【解】(1)函數(shù)是增函數(shù),且2.5<3,則1.72.5<1.73
(2)函數(shù)是減函數(shù),且,則
(3)三.利用單調(diào)性比較大小一般地,比較冪大小的方法有(1)對于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷.(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小,利用冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷.(3)對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小,則通過中間值來判斷.反思感悟
(1)下列大小關(guān)系正確的是A.0.43<30.4<π0
B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0
D.π0<30.4<0.43跟蹤訓(xùn)練√0.43<0.40=1=π0=30<30.4.三.利用單調(diào)性比較大小(2)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是A.a<b<c
B.a<c<bC.b<a<c
D.b<c<a√∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,故1.50.6>0.60.6,又函數(shù)y=0.6x在R上是減函數(shù),且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6,故0.61.5<0.60.6<1.50.6.即b<a<c.三.利用單調(diào)性比較大小例4、(1)不等式4x<42-3x的解集是__________.(2)解關(guān)于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1).
(1)解①當(dāng)0<a<1時(shí),∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.②當(dāng)a>1時(shí),∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.綜上所述,當(dāng)0<a<1時(shí),不等式的解集為{x|x≥-6};當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為{x|x≤-6}.(2)四.利用單調(diào)性解不等式
已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,則x的取值范圍是__________.練習(xí)四.利用單調(diào)性解不等式(1)不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式.(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0,a≠1)
af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1).反思感悟五.指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域例5√五.利用指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域
(1)求下列函數(shù)的定義域和值域.五.利用指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域五.利用指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域五.利用指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域(1)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;例8六.利用指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域所以a=1,所以f(x)=
,該函數(shù)是減函數(shù),證明如下:任取x1,x2∈R,x1<x2,
f(x2)-f(x1)==.因?yàn)閤1<x2,所以
,所以
<0,
>0,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).所以該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)
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