化工過程課件

第二章化工過程系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)

模擬與分析

化工過程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬與分析，就是對化工工藝流程系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)模擬與分析。模擬是對過程系統(tǒng)模型的求解。通過這種求解可以解決下述的三類問題：①過程系統(tǒng)的模擬分析②過程系統(tǒng)設(shè)計(jì)③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化①過程系統(tǒng)的模擬分析

對某個(gè)給定的過程系統(tǒng)模型進(jìn)行模擬求解，可得出該系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，從而可以對該過程系統(tǒng)進(jìn)行工況分析，如圖所示能量流、反應(yīng)程度、幾何尺寸等②過程系統(tǒng)設(shè)計(jì)

當(dāng)對某個(gè)或某些系統(tǒng)變量提出設(shè)計(jì)規(guī)定要求時(shí)，通過調(diào)整某些決策變量使模擬結(jié)果滿足設(shè)計(jì)規(guī)定要求，如圖2－2所示③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

過程系統(tǒng)模型與最優(yōu)化模型聯(lián)解得到一組使工況目標(biāo)函數(shù)最佳的決策變量（優(yōu)化變量），從而實(shí)施最佳工況，如圖所示。①過程系統(tǒng)的模擬分析

②過程系統(tǒng)設(shè)計(jì)

③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化比較上面三類問題可以看出，針對所要解決問題的不同，其求解的復(fù)雜程度也不同。設(shè)計(jì)問題比模擬分析問題增加了一層選代，因而求解起來要復(fù)雜一些。而最優(yōu)化問題不僅增加了循環(huán)迭代，而且還增加了目標(biāo)函數(shù)模型和最優(yōu)化模型，以致求解過程更加復(fù)雜。2.1過程系統(tǒng)模擬的三種基本方法過程系統(tǒng)模擬往往非常復(fù)雜，手工計(jì)算是難以勝任的。計(jì)算機(jī)的發(fā)展，為過程系統(tǒng)的整體研究提供了技術(shù)手段。各種類型的過程系統(tǒng)模擬軟件如雨后春筍不斷出現(xiàn)。但就其模擬計(jì)算求解方法而言，可以歸納為三類：①序貫?zāi)K法（SequentialModularMethod）；②面向方程法（EquationOrientedMetdod）；③聯(lián)立模塊法（SimultaneouslyModularMethod）。2.1.1過程系統(tǒng)模擬的序貫?zāi)K法序貫?zāi)K法是開發(fā)最早、應(yīng)用最廣的過程系統(tǒng)模擬方法。這種方法的基本部分是模塊（子程序），是一些用以描述物性、單元操作以及系統(tǒng)其他功能的模塊。序貫?zāi)K法優(yōu)點(diǎn)：與實(shí)際過程的直觀聯(lián)系強(qiáng)；模擬系統(tǒng)軟件的建立、維護(hù)和擴(kuò)充都很方便，易于通用化；計(jì)算出錯(cuò)時(shí)易于診斷出錯(cuò)位置。缺點(diǎn)：是計(jì)算效率較低，尤其是解決設(shè)計(jì)和優(yōu)化問題時(shí)計(jì)算效率更低。仍不失為一種優(yōu)秀的方法。在處理過程設(shè)計(jì)和優(yōu)化問題時(shí)，由于其循環(huán)迭代嵌套甚至可高達(dá)五層以至其求解效率就太低。2.1.2過程系統(tǒng)模擬的面向方程法面向方程法又稱聯(lián)立方程法，是將描述整個(gè)過程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程式聯(lián)立求解，從而得出模擬計(jì)算結(jié)果。面向方程法可以根據(jù)問題的要求靈活地確定輸入、輸出變量，而不受實(shí)際物流和流程結(jié)構(gòu)的影響。面向方程法就好像把圖2-4中的循環(huán)圈1～4合并成為一個(gè)循環(huán)圈,這種合并意味著其中所有的方程同時(shí)計(jì)算和同步收斂。因此，面向方程法解算過程系統(tǒng)模型快速有效，對設(shè)計(jì)、優(yōu)化問題靈活方便，效率較高。面向方程法一直被認(rèn)為是求解過程系統(tǒng)的理想方法，但由于在實(shí)踐上存在的一些問題而沒被廣泛采用。難點(diǎn)：形成通用軟件比較困難；不能利用現(xiàn)有大量豐富的單元模塊；缺乏與實(shí)際流程的直觀聯(lián)系；計(jì)算失敗之后難于診斷錯(cuò)誤所在；對初值的要求比較苛刻；計(jì)算技術(shù)難度較大等。但是由于其具有顯著優(yōu)勢，這種方法一直備受人們的青睞。2.1.3過程系統(tǒng)模擬的聯(lián)立模塊法

聯(lián)立模塊法最早是由Rosen提出的。這種方法將過程系統(tǒng)的近似模型方程與單元模塊交替求解。聯(lián)立模塊法又被稱作雙層法。聯(lián)立模塊法的思路如圖2-6所示。該法在每次選代過程中都要求解過程的簡化方程，以產(chǎn)生的新的猜值作為嚴(yán)格模型單元模塊的輸入。通過嚴(yán)格模型的計(jì)算產(chǎn)生簡化模型的可調(diào)參數(shù)。聯(lián)立模塊法兼有序貫?zāi)K法和面向方程法的優(yōu)點(diǎn)。這種方法既能使用序貫?zāi)K法積累的大量模塊，又能將最費(fèi)計(jì)算時(shí)間的流程收斂和設(shè)計(jì)約束收斂等迭代循環(huán)合并處理（如圖2-7），通過聯(lián)立求解達(dá)到同時(shí)收斂。

2.2過程系統(tǒng)模擬的序貫?zāi)K法2.2.1序貫?zāi)K法的基本原理序貫?zāi)K法的基礎(chǔ)是單元模塊（子程序），通常單元模塊與過程單元是一一對應(yīng)的。單元模塊是依據(jù)相應(yīng)過程單元的數(shù)學(xué)模型和求解算法編制而成的子程序。如圖中的閃蒸單元，可依據(jù)閃蒸單元模型和算法編制成閃蒸單元模塊。單元模塊具有單向性特點(diǎn)。給定其輸入物流變量及參數(shù)可計(jì)算出相應(yīng)的輸出物流變量，但不能由輸出變量計(jì)算輸入變量，也不能由輸入、輸出變量計(jì)算模塊參數(shù)。序貫?zāi)K法的基本思想是：從系統(tǒng)入口物流開始，經(jīng)過接受該物流變量的單元模塊的計(jì)算得到輸出物流變量，這個(gè)輸出物流變量就是下一個(gè)相鄰單元的輸入物流變量。依此逐個(gè)的計(jì)算過程系統(tǒng)中的各個(gè)單元，最終計(jì)算出系統(tǒng)的輸出物流。計(jì)算得出過程系統(tǒng)中所有的物流變量值，即狀態(tài)變量值。以序貫?zāi)K法實(shí)施過程系統(tǒng)的模擬計(jì)算，通常是把系統(tǒng)輸入物流變量及單元模塊參數(shù)（如與環(huán)境交換但與物流無關(guān)的能量流、反應(yīng)程度、分割比。幾何尺寸等）作為決策變量。序貫?zāi)K法的求解與過程系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當(dāng)涉及的系統(tǒng)為無反饋聯(lián)結(jié)（無再循環(huán)流）的樹形結(jié)構(gòu)時(shí)，系統(tǒng)的模擬計(jì)算順序與過程單元的排列順序是完全一致的。具有反饋聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)，其中至少存在這樣一個(gè)單元，其某個(gè)輸入物流是后面某個(gè)單元的輸出物流，如圖中的單元A。這時(shí)就不能直接實(shí)施序貫的求解計(jì)算。因?yàn)樵谏形从?jì)算A，B，C等模塊之前還不知道物流S4的變量值。因此，在用序貫?zāi)K法處理具有再循環(huán)物流系統(tǒng)的模擬計(jì)算時(shí)，需要用到斷裂和收斂技術(shù)。2.2.2再循環(huán)物流的斷裂（1）斷裂的基本概念首先考察方程組的斷裂。假設(shè)有一個(gè)由四個(gè)方程、四個(gè)未知變量組成的方程組：上述方程組需要聯(lián)立求解才能得到它的解。但是，也可以由另外的方式進(jìn)行求解。把一個(gè)四維求解問題降階成為了四個(gè)一維問題，從而簡化了計(jì)算難度。這種通過迭代把高維方程組降階為低維方程組的辦法稱為“斷裂”。例題：用斷裂法解下列方程組斷裂法解方程組（2）斷裂方法的研究最佳斷裂的準(zhǔn)則分為四類：①斷裂的物流數(shù)最少；(Barkley&Motard)②斷裂物流的變量數(shù)最少；(Rubin)③斷裂物流的權(quán)重因子之和最少；(Christensen)④斷裂回路的總次數(shù)最少。(Upadhye&Grens)準(zhǔn)則①與②都是企圖使計(jì)算工作量最少，但是有人證明，不論斷裂流股數(shù)目最少或變量數(shù)目最少都不一定導(dǎo)致收斂最快。目前實(shí)際上用得最多的是準(zhǔn)則③與④，有人認(rèn)為準(zhǔn)則④是現(xiàn)有準(zhǔn)則中最優(yōu)的，至少對使用直接迭代法求收斂時(shí)如此。（3）回路矩陣在介紹再循環(huán)回路斷裂方法之前，先介紹一下回路的表示方法。要斷裂再循環(huán)物流，必須先識別再循環(huán)回路，并借助一定的方法描述它們。

通常，一個(gè)不可分隔子系統(tǒng)包含若于個(gè)再循環(huán)回路，如圖給出的系統(tǒng)就是一個(gè)不可分隔子系統(tǒng)，其中包含有四個(gè)再循環(huán)回路。那種包含兩個(gè)以上流股，且其中的任何單元只被通過一次，稱作簡單回路。如圖中I－SI－II－S2－III－S4－II－S2－III－S5－I構(gòu)成的回路就不是一個(gè)簡單回路，因?yàn)槠渲械膯卧狪I和單元III都被通過了兩次。過程系統(tǒng)中的簡單回路可以用回路矩陣表示。矩陣中的行代表回路，列代表物流。對于比較簡單的系統(tǒng)，可以由人工方法找出其全部簡單回路；對于大型的復(fù)雜系統(tǒng)則難于用人工的辦法去識別其簡單回路，就需要由專門的算法去識別。（4）Upadyhe－Grens斷裂法為了對該不可分隔子系統(tǒng)的高維求解進(jìn)行降維運(yùn)算，需將該子系統(tǒng)中的某些回路進(jìn)行斷裂。從相應(yīng)于圖2-13回路矩陣可見，使回路（A，B，C，D）都達(dá)到斷裂的方案并不是惟一的。如斷裂物流2或是斷裂物流4，5，6，7（斷裂物流組）都可以實(shí)現(xiàn)回路（A，B，C，D）的斷裂。

這就有兩個(gè)需要解決的問題：一是要有一種能把所有的有效斷裂物流組都能搜索出來的辦法；二是要能把最優(yōu)斷裂組從中選擇出來。對此，Upadyhe等人提出了搜索斷裂組的替代規(guī)則?！纠?-1】用Upadhye－Grens斷裂法尋求圖2-13中的最優(yōu)斷裂組。

解：從有效斷裂組{S1，S2，S3｝開始，反復(fù)利用替代規(guī)則，過程如下:輸入：S2輸出：S3，S4，S5標(biāo)記**表示找到多余斷裂組，消去重復(fù)物流后，再重新開始替代過程輸入：S3輸出：S6，S7輸入：S1，S4，S7輸出：S2輸入：S5，S6輸出：S1標(biāo)記**表示找到多余斷裂組，消去重復(fù)物流后，再重新開始替代過程輸入：S1,S4,S7輸出：S2輸入：S2輸出：S3,S4,S5輸入：S3輸出：S6,S7輸入：S5,S6輸出：S1標(biāo)記*表示重復(fù)出現(xiàn)的斷裂組，在此終止替代過程從圖2-14的替代過程中找出了如下的非多余斷裂族：{S2}{S1，S4，S7}{S3，S4，S5}{S4，S5，S6，S7}由步驟④得到它們相應(yīng)的總權(quán)值為：92+3+2=72+3+3=83+3+4+2=12所以，斷裂組{S1，S4，S7｝為最優(yōu)斷裂組。2.2.3斷裂物流變量的收斂執(zhí)行斷裂物流變量收斂功能的模塊稱收斂單元模塊不可分隔子系統(tǒng)的斷裂物流斷裂物流變量的收斂問題實(shí)際上是個(gè)迭代求解非線性方程組的問題

x=y=G(x)

當(dāng)斷裂物流變量猜值x與計(jì)算值y之差小于收斂容差ε時(shí)y－x=G（x）－x<ε則x為斷裂物流變量的收斂解。收斂單元的功能總計(jì)有如下作用：(Ⅰ)獲取猜值的初值x0(Ⅱ)根據(jù)計(jì)算值y，以一定的方法確定新的猜值x(Ⅲ)比較猜值x和計(jì)算值y，若其結(jié)果滿足給定精度要求，則結(jié)束迭代計(jì)算，否則繼續(xù)迭代計(jì)算過程。收斂單元實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)值迭代求解非線性方程組的子程序。求解非線性方程組的數(shù)值計(jì)算方法很多，適合于收斂單元的數(shù)值計(jì)算方法一般應(yīng)盡可能滿足下列要求：1.對初值的要求不高。2．?dāng)?shù)值穩(wěn)定性好3．收斂速度快4．占用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間少1.對初值的要求不高。1)初值易得，不易引起迭代計(jì)算的發(fā)散；

2)初值的組數(shù)少。例:用直接迭代法求解下列方程組解：令猜值為X1＝2；X2＝10；X3＝5105解：令猜值為X1＝6；X2＝3.5；X3＝5例題2-2直接迭代法2.數(shù)值穩(wěn)定性好例題2-2直接迭代法3收斂速度快對收斂速度的影響主要有三個(gè)因素：一是迭代次數(shù)；二是函數(shù)G(x)的計(jì)算次數(shù)；三是矩陣求逆的次數(shù)。序貫?zāi)K法中的函數(shù)沒有具體的函數(shù)形式，每計(jì)算一次函數(shù)值就相當(dāng)于做一次流程回路的模擬計(jì)算。好的非線性方程組的數(shù)值迭代次數(shù)少，而且應(yīng)該盡量避免導(dǎo)數(shù)計(jì)算和矩陣求逆。這樣才可能獲得高的收斂速度。收斂速度示例4.占用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間少直接迭代法；有界wegstein法；主特征值法；Broyden法等幾種。進(jìn)行斷裂物流計(jì)算的很多，應(yīng)用較為廣泛的有：（2）直接迭代法直接迭代法是將計(jì)算值yk作為下一輪迭代的猜值xk+1而實(shí)施迭代計(jì)算。這種算法的程序如下：重新把函數(shù)f(x)=0，安排成x=G(x)的形式。選擇初始值x(0)和一個(gè)精度截止判據(jù)

0；計(jì)算x(k+1)=G(x(k))檢驗(yàn)收斂性，如果|x(k+1)-x(k)|，則停止迭代，否則重回第一步。例題2-3：迭代求解以下方程f(x)=x2-5x+4=0初值x(0)=0,要求精度0.0001解x=(x2+4)/5=G(x)當(dāng)x(0)=0時(shí)，G(x(0))=(0+4)/5=0.8檢驗(yàn)精度|x(1)-x(0)|=|0.8-0|=0.8>0.0001重新迭代直到精度<0.0001為止例題2-3迭代過程但是把函數(shù)f(x)=0，可以安排成各種x=G(x)的形式。其收斂性如何？收斂的充分條件（并非必要條件）是：|dG(x)/dx|<1|dG/dx|>1|dG/dx|<1直接迭代法的特點(diǎn)是方法簡單，且只需要一組初值，不需計(jì)算導(dǎo)數(shù)和逆矩陣。然而該法的弱點(diǎn)是迭代次數(shù)多、收斂速度慢，且對初值要求較高。為了改善直接迭代法的收斂行為。人們提出了阻尼直接迭代法，或稱加權(quán)直接迭代法，其公式為：xk+1=qxk+(1-q)G(xk)式中q為阻尼因子，可以人為給定：q=0為直接迭代；0<q<1為加權(quán)直接迭代，可改善收斂的穩(wěn)定性；q<0為外推直接迭代，可以加速收斂，但穩(wěn)定性下降；q>=1無意義。阻尼法示例（3）Wegstein法為了加快收斂Wegstein提出了一種簡便的方法，至今仍然是應(yīng)用最廣泛的加速收斂方法一維Wegstein法有界Wegstein法多維Wegstein法嚴(yán)格多維Wegstein法一維Wegstein法對于方程x=G(x)，初始猜值算為x(0)，則第二點(diǎn)x(1)可以用直接迭代法得到：x(1)=G(x(0))以下為了找到x=G(x)的根，用以上兩個(gè)試算點(diǎn)之間的直線代替G(x)，則此直線的斜率為sG(x)-G(x(1))=s(x-x(1))式中：q為一指定的參數(shù)。因?yàn)槲覀兪且业揭粋€(gè)x解，以滿足x=G(x)，所以估算方程G(x)-G(x(1))=s(x-x(1))變?yōu)椋夯蛘?，按此式解出x值：這種方法的圖解意義見圖。因?yàn)閰?shù)q是斜率s的函數(shù)，所以每次迭代后q都不斷在變化經(jīng)過幾步迭代后，q就逐步達(dá)到比較穩(wěn)定的值；可以根據(jù)q值的大小判斷收斂性質(zhì)：

q<0單調(diào)收斂

0<q<0.5震蕩收斂

0.5<q<1震蕩發(fā)散

1<q單調(diào)發(fā)散這就引出了“有界Wegstein法”，即人為地把q限制在一定的范圍內(nèi)：

qmin<q<qmaxFLOWTRAN模擬系統(tǒng)通常推薦-5<q<0CHESS模擬系統(tǒng)則使用：當(dāng)q>0令q=0當(dāng)q<-10令q=0例題2-5用Wegstein法求解以下方程F(x)=x-2(1-x)3=0，設(shè)x(0)=0.5，精度為0.0001解:第一步首先將方程轉(zhuǎn)化為x=G(x)的形式G(x)=x=2(1-x)3然后計(jì)算最初兩點(diǎn)x(1)=G(x(0))及G(x(1))x(0)=0.5x(1)=G(x(0))=2(1-0.5)3=0.25G(x(1))=2(1-0.25)3=0.844第二步計(jì)算斜率s及參數(shù)q第三步計(jì)算x(2)

顯然沒有收斂。因此，重復(fù)第二步然后重復(fù)第三步，得到新的x值X(3)=0.726(0.426)+(1-0.726)0.378=0.413X(4)=0.4102X(5)=0.41026達(dá)到精度要求而停止。如果用直接迭代法則引起發(fā)散。例題2-5Wegstein

法習(xí)題用Wegstein法求方程的根，收斂精度為0.0001Sinx-x/2=0與直接法比較2.3過程系統(tǒng)模擬的面向方程法序貫?zāi)K法的缺點(diǎn)：收斂過程十分緩慢，甚至不能收斂；對于過程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算問題和參數(shù)優(yōu)化問題，情況將更為嚴(yán)重，甚至不能用序貫?zāi)K法去求解。因此，人們把注意力投向了面向方程法。2.3.1面向方程法的原理面向方程法的基本思想是，把描述過程系統(tǒng)的所有數(shù)學(xué)模型匯集到一起，形成一個(gè)非線性方程組進(jìn)行求解。即：

F（x，w）＝0（2-28）

F:系統(tǒng)模型方程組，其中包括：①物性方程；②物料、能量、化學(xué)平衡方程；③過程單元間的聯(lián)結(jié)方程；④設(shè)計(jì)規(guī)定方程等。X——狀態(tài)變量向量；W——決策變量向量；通常過程系統(tǒng)模型方程組總是稀疏方程組。其中每個(gè)方程只含有幾個(gè)非零元素。例如方程組：這是個(gè)1000階的線性方程組。其中任意一個(gè)方程：該方程只有三個(gè)非零系數(shù)。其他的999個(gè)方程也具有類似的形式。過程系統(tǒng)模型的方程數(shù)和變量數(shù)往往都很大，但每個(gè)方程涉及的變量數(shù)一般只有幾個(gè)。方程的稀疏性可以用稀疏比

來衡量：

對于n—1000，N—5000的方程，其稀疏比中為0.5％。僅系數(shù)矩陣就要占用n2=106個(gè)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)單元，而其中995000個(gè)單元的內(nèi)容為零，因此大量的運(yùn)算是在零與零之間進(jìn)行的。由此可見，用常規(guī)數(shù)值法求解稀疏方程組是很不經(jīng)濟(jì)的，有時(shí)還會(huì)因計(jì)算機(jī)容量的限制而無法運(yùn)算。因此，人們開發(fā)了大量的處理稀疏方程組的數(shù)值算法。面向方程法的核心問題是求解超大型稀疏非線性方程組，求解方法大致分為兩類：①降維求解法；②聯(lián)立求解法。2.3.2大型稀疏非線性方程組的降維解法

即把大型稀疏方程組分解成若干個(gè)小的非稀疏方程組，然后依次分別求解，從而達(dá)到降維和增大稀疏比的目的。（1）方程組的分解概念對于n階稀疏方程組，常?？梢哉业揭粋€(gè)包含有k1個(gè)變量的k1階子方程組。這個(gè)k1階子方程組可以單獨(dú)求解。其余的n—k1個(gè)方程中還可以再找出包含有k2個(gè)變量的k2階子方程組，這個(gè)子方程組也可以單獨(dú)求解。重復(fù)這一過程，最終將把原方程組分解成一系列可順序求解的子方程組。由上例可見，把原方程組分解成若干個(gè)聯(lián)立求解的小方程組后，使這些小方程組的稀疏比與原方程組相比要大得多。若小方程組的稀疏比接近1，可用常規(guī)數(shù)值解法求解，若稀疏比仍很小可繼續(xù)分解。方程組的分解方法有回路搜索法和矩陣法兩大類。下面僅討論基于有向圖的回路搜索法。(2）回路搜索法分解方程組回路搜索法分解方程組，是在描述方程組的有向圖上進(jìn)行的。為了用有向圖表示方程組的結(jié)構(gòu)，首先必須對每個(gè)方程指定一個(gè)變量作為其輸出變量。①輸出變量的指定方法輸出變量是可由方程中其他變量求解的變量，且每個(gè)變量只能被指定一次作為輸出變量。輸出變量指定方法的步驟是，選事件矩陣中元素最少的行和元素最少的列的交點(diǎn)處元素對應(yīng)的變量，作為優(yōu)先指定的輸出變量，然后從事件矩陣中刪去該輸出變量對應(yīng)的行和列；重復(fù)上述過程直至矩陣中所有的行和列都被刪掉。例外情況的處理：最后剩下了方程f7和變量x9,而f7中沒有x9在遇到這種情況時(shí)，必須盡力找出所謂的Steward通道。即方程f7行中的任一元素和變量x0列中的任一元素之間的聯(lián)系。這一通道開始于未被指定為輸出變量的元素x9，平移到一已被指定為輸出變量的元素（9，10），改變900方向到一未指定元素（10，10），再改變900方向到一指定元素（10，8），此過程一直繼續(xù)到未指定輸出變量的方程的元素（7，l）。在Steward通道上指定元素和未指定元素交替出現(xiàn)，而其首尾均為未指定元素，在全通道上未指定元素比指定元素多一個(gè)。把Steward通道上的指定元素和未指定元素互換，即將通道上的指定元素變?yōu)槲粗付ㄔ?，而將未指定元素變?yōu)橹付ㄔ?，于是，得到另一種輸出變量指定方式，如下圖所示。可見，各方程的輸出變量已全部指定，并符合前面所說的要求。當(dāng)需要Steward通道而又找不到這樣的通道時(shí)，必然存在無法指定為輸出變量的變量，這表明方程組是奇異的。②畫出有向圖用有向圖表示方程和變量的關(guān)系。圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)方程。如果方程fi的輸出變量存在于fj中，則從節(jié)點(diǎn)fi向fj作一有向邊。圖2－20為式（2－30）的有向圖表示。這個(gè)圖代表了方程間的信息流動(dòng)方向。③回路搜索例2-5:對例2-4所給的方程組用回路搜索法進(jìn)行分解。從節(jié)點(diǎn)f1開始回路搜索得到數(shù)串：f1f3f2f5f2將節(jié)點(diǎn)f2和5合并得到組合節(jié)點(diǎn)（f2f5），由于組合節(jié)點(diǎn)（f2f5）無任何輸出邊，刪去（f2f5）及其所有輸入邊，得到數(shù)串：f1

f3,節(jié)點(diǎn)f3也無輸出邊，刪去f3及其輸入邊,然后從f1繼續(xù)搜索,得到數(shù)串：f1f4f1。合并節(jié)點(diǎn)f1和f4得到組合節(jié)點(diǎn)(f1f4)。依次刪去的節(jié)點(diǎn)和組合節(jié)點(diǎn)記入下表它們分別代表原方程組分解后得到的小方程組，其求解即從后到前的順序進(jìn)行。

④不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法該式也是個(gè)稀疏方程組。利用回路搜索法對其分解后發(fā)現(xiàn)，該方程組是不可分解方程組，該原方程組必須聯(lián)立求解。對于這種情況，需要通過斷裂來達(dá)到進(jìn)一步降維和增大稀疏比的目的。斷裂與收斂是相輔相成的，斷裂后的系統(tǒng)必須通過收斂得以求解。為了易于收斂，因而總是希望斷裂的變量數(shù)最少。所以，總是要選擇包含變量數(shù)最少的方程中的變量作為斷裂變量，斷裂變量數(shù)等于該方程中的變量數(shù)減1。然后給斷裂變量賦初值，再進(jìn)行迭代計(jì)算直至收斂。

以右矩陣式為例進(jìn)行斷裂降維求解。矩陣中f3,f4,f5行的變量數(shù)最少，都只有兩個(gè)。選擇f3中的x5為斷裂變量。從而解出x6。把f3行和x5,x6列刪去，得到下式該式為五行四列，有一個(gè)多余方程（它是由刪除斷裂變量x5產(chǎn)生的）。f6行含有的變量最多，暫不考慮（因?yàn)槿菀滓瘃盥?lián)，不利于分解），對其余的四行、四列進(jìn)行重排，可得到：左式中可聯(lián)解f1f4和f2f5（此時(shí)f5f6為已知）。然后計(jì)算f6，檢驗(yàn)是否滿足，若不滿足，則修改斷裂變量x5的值，重復(fù)上述的計(jì)算，直至滿足f6方程為止。通過此例可以看到，斷裂可以使不可分解的稀疏方程組繼續(xù)分解。2.3.3聯(lián)立擬線性方程組法解大型稀疏非線性方程組大型稀疏非線性方程組的另一種求解方法是把非線性方程組線性化。然后聯(lián)立求解線性方程組。由于線性化引人了誤差，所以要借助迭代使線性化方程組的解，逐漸逼近非線性方程組的解。（1）線性化方法對于n維非線性方程組將該方程組在x1(k),x2(k)…xn(k)處作臺(tái)勞展開，(即Nowton-Raphson聯(lián)立線性化方法)得：為雅可比矩陣記J在進(jìn)行第k+1次迭代時(shí)，上式中的f(k)、J(k)和X(k)均為已知，因此，上式為x(k+1)的線性方程組，于是可用Newton-Raphson法的迭代公式：X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)例2-6組分A的稀溶液在常溫下離解：

A

2B

其數(shù)學(xué)模型如下：

質(zhì)量平衡:CA+CB/2=CA*熱力學(xué)平衡:KCA-CB2=0

式中，CA與CB分別是組分A、B的濃度；CA*是組分A的初始濃度；K是該反應(yīng)的平衡常數(shù)。求當(dāng)K=2，CA*=1時(shí)平衡態(tài)的組分濃度。X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)方程組兩邊乘于雅可比矩陣J于是：變化為如下形式：所以取CB的初值為1.5迭代過程如下：迭代過程（2）稀疏線性方程組的解法稀疏非線性方程組經(jīng)線性化后得到的線性方程組仍然是稀疏的，從而把求解稀疏非線性方程組的問題，轉(zhuǎn)化成求解稀疏線性方程組的問題。用常規(guī)的消去法求解大型稀疏線性方程組是不經(jīng)濟(jì)的，而且計(jì)算效率較低。為了減少求解大型稀疏線性方程組所需的計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間，通常采用下列兩方面的技術(shù)：①只對非零元素進(jìn)行計(jì)算；②只存儲(chǔ)非零元素（如壓縮存儲(chǔ)技術(shù)）。填充量和主元容限填充量：用高斯消去法消元過程的同時(shí),會(huì)在原來零元素處引入非零元素。新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。在求解大型稀疏線性方程組時(shí)，應(yīng)該盡可能地減少填充，否則將會(huì)使計(jì)算效率大大下降。然而，減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度是矛盾的。用高斯消去法對矩陣進(jìn)行消元的過程

新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。用左矩陣中對角線上的第一個(gè)元素作為主元素，消去第一列上的其他元素將導(dǎo)致在所有的零元素處產(chǎn)生非零元素，即填充量達(dá)到最大。而右矩陣的填充量減少到零。

54321123451234554321為了減少填充量，需要把右矩陣中的元素a55作為主元素，但如果它的絕對值很小時(shí)，將會(huì)引人較大的誤差，致使計(jì)算精度、數(shù)值穩(wěn)定性變差。(b)主元容限在主元消去法中，通常把絕對值最大的元素作為主元進(jìn)行消元。其目的是為了提高計(jì)算的精度。但是如果這樣選取的主元恰好導(dǎo)致較大的填充，那么計(jì)算效率的將下降。因此，寧愿選擇一個(gè)絕對值不是最大，且不會(huì)引起填充量過大的元素作為主元。（c）Bending－Hutchison算法。該算法是在全元消去法的基礎(chǔ)上派生出來，其核心是避免填充，同時(shí)保證計(jì)算的精度?！纠?-7】圖2-23為一個(gè)物流分割器及混合器構(gòu)成的簡化流程。圖上括號中的數(shù)字為分割比。由此可以得出各流股關(guān)系的方程。共9股物流有9個(gè)方程-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0第2列和第8列均只含有一個(gè)元素，即縱列等于1。這兩個(gè)元素必須分別選作方程（1）和方程（8）的主元。由于這兩列中并無其他元素，所以不用執(zhí)行消元過程。第3，5，7，9列均含有兩個(gè)非零元素，即縱列等于2。人為地選第三列。方程（2）橫列為2，方程（9）的橫列為3，選：主元素消去元素產(chǎn)生元素V8E8V2E1V3E2V3E9V1E9V7E6V7E9V6E9-0.333主元素消去元素產(chǎn)生元素V5E4V5E3V4E3V9E7V9E3RHSE3-0.3331主元素消去元素產(chǎn)生元素改變元素V1E3V1E9RHSE9V4E9-0.333-0.33310.6670.7780.555V6E5V6E9V4E9S4=0.667/0.555=1.2S5=0.333*1.2=0.4S6=0.667*1.2=0.8S1=0.333*1.2+1=1.4S8=0.667*0.8=0.533S9=1S2=1.4*0.333=0.466S3=0.667*1.4=0.933S7=0.333*0.8=0.2662.4過程系統(tǒng)模擬的聯(lián)立模塊法序貫?zāi)K法和面向方程法比較2.4.1聯(lián)立模塊法的原理程法聯(lián)立模塊法：兼?zhèn)淞松鲜鰞煞N方法的優(yōu)點(diǎn)，更重要的是它可以使花費(fèi)了大量人力、物力開發(fā)出的過程單元模塊得以充分利用。聯(lián)立模塊法可定義為利用黑箱過程模塊，靈活求解模擬問題的方法。聯(lián)立模塊法與序貫?zāi)K法的共同之處在于面向模塊；與面向方程法共同之處在于聯(lián)立求解過程系統(tǒng)模型方程。利用嚴(yán)格模塊產(chǎn)生相應(yīng)的簡化模型方程的系數(shù),然后把所有的簡化模型方程匯集到一起進(jìn)行聯(lián)解，得到系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。由于簡化模型是嚴(yán)格模塊的近似，所以計(jì)算結(jié)果往往不是問題的解，必須用嚴(yán)格模塊對這組解進(jìn)行計(jì)算，修正簡化模型的系數(shù)。重復(fù)這一過程，直到收斂到原問題的解。聯(lián)立模塊法的特點(diǎn)：①聯(lián)立模塊法計(jì)算效率較高。②簡化模型方程組的維數(shù)比面向方程法也小得多，求解起來也容易。③能利用大量原有的豐富的序貫?zāi)K軟件。

聯(lián)立模塊法兼有序貫?zāi)K法和聯(lián)立方程法的優(yōu)點(diǎn)：①計(jì)算效率較高；②對初值要求較低；③迭代循環(huán)圈較少；④計(jì)算出錯(cuò)時(shí)診斷較容易；⑤能利用大量原有的軟件。模擬計(jì)算過程初值的取得可以采用兩種辦法：①猜值②用序貫?zāi)K法迭代求解幾次，得到各點(diǎn)的初值。聯(lián)立模塊法的計(jì)算效率主要依賴于簡化模型的形式。簡化模型應(yīng)該是嚴(yán)格模塊的近似，同時(shí)具有容易建立、求解方便的特點(diǎn)。下面介紹如何利用嚴(yán)格模塊產(chǎn)生近似簡化模型。2.4.2建立簡化模型的兩種切斷方式

為了建立簡化模型，必須首先劃分簡化模型的對象范圍。有兩種劃分方法：①以過程單元為基本單位建立簡化模型；②以回路為基本單位建立簡化模型。這兩種劃分策略分別與兩種切斷方式相對應(yīng)：①聯(lián)結(jié)物流全切斷方式；②回路切斷方式。(1)聯(lián)結(jié)物流全切斷方式

這種方式相當(dāng)于把所有過程單元之間的聯(lián)結(jié)物流全部切斷，形成一系列互相獨(dú)立的過程單元。[例2-8]用聯(lián)立模塊法對圖2-17給出的三級閃蒸過程進(jìn)行穩(wěn)態(tài)模擬解：①建立簡化模型嚴(yán)格單元模塊的輸入流股變量向量x與輸出流股變量y之間有嚴(yán)格模型：

y=G(x)對上式進(jìn)行一階臺(tái)勞展開為：y-y0=G

(x)(x-x0)便可得到嚴(yán)格模型的線性增量簡化模型:y=Ax利用上式分別對每個(gè)過程單元寫出其簡化模型：由于混合器的嚴(yán)格模型為線性模型，且系統(tǒng)入料流股變量為給定值，所以有：把上述線性簡化模型寫成矩陣形式的迭代格式②從嚴(yán)格模塊計(jì)算簡化模型的系數(shù)式（2－50）中的系數(shù)矩陣可通過對嚴(yán)格模塊的擾動(dòng)計(jì)算得到。前面我們假定A=G

(x)，也就得到了A。而A是從一階臺(tái)勞展開式得到的。偏離x0點(diǎn)后便會(huì)產(chǎn)生偏差，因此要不斷進(jìn)行修正。流股全切斷方式很類似于面向方程法。主要區(qū)別在于后者是嚴(yán)格模型方程，變量數(shù)也要大得多,對于一個(gè)包括100個(gè)聯(lián)結(jié)流股，每個(gè)流股有8個(gè)組分，10個(gè)設(shè)計(jì)規(guī)定系統(tǒng)，其系統(tǒng)簡化模型數(shù)為：

ne＝2*（8十2）*100＋10＝2010（2-51）由此可見，對于較大的系統(tǒng)，流股全切斷方式建立的簡化模型方程數(shù)是很大的。（2）回路切斷方式回路切斷方式相當(dāng)于把若干個(gè)單元作為一個(gè)“虛擬單元”處理，建立虛擬單元的簡化模型。虛擬單元所包含的各單元間的聯(lián)結(jié)流股變量則不出現(xiàn)在簡化模型中，從而大大降低了簡化模型的維數(shù)。通常是以循環(huán)回路為一個(gè)虛擬單元，切斷再循環(huán)流股，故稱之為回路切斷方式。圖2-27虛線內(nèi)的回路構(gòu)成了一個(gè)虛擬單元?！纠?-9】以回路切斷方式建立三級閃蒸過程系統(tǒng)的線性增量簡化模型。

對于圖2-17中給出的三級閃蒸系統(tǒng)，不難憑觀察選定最佳切斷流為S2，因?yàn)樗梢酝瑫r(shí)切斷兩個(gè)再循環(huán)流。為了更加直觀，將圖2-17改畫成圖2-28（a）。若把圖2-28(a）中虛線框內(nèi)的部分看作黑箱（虛擬單元），則系統(tǒng)簡化成圖2-28（b）用線性增量模型作虛擬單元的簡化模型如下：上式中的第一行可以獨(dú)立求解，得到

S2。一旦解出S2，分別代入第二、三行，則可得到

S7、

S8。因此，可以把（2-60）式看作三級閃蒸過程回路切斷方式的系統(tǒng)簡化模型。（2-60）氨合成工藝流程模擬與分析可以作為小論文3化工過程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模擬與分析★

化工過程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性與模型▲確定性動(dòng)態(tài)模型的數(shù)學(xué)處理(難點(diǎn))★連續(xù)攪拌罐反應(yīng)器的動(dòng)態(tài)特性，精餾塔的動(dòng)態(tài)特性（重點(diǎn)）★▲變壓吸附過程的模擬與分析（自習(xí)）3.1.1化工過程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)特性涉及的問題：間歇過程；連續(xù)過程的開停工；連續(xù)過程本征參數(shù)依時(shí)變化；控制系統(tǒng)的合成；過程系統(tǒng)局部與全局特性分析以及利用；人為非定常態(tài)操作?；み^程系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性知識，十分重要的、基本的。3.1.2化工過程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型無論碰到和處理上述哪一類與過程系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性有關(guān)的實(shí)際問題，所需要的最核心、最本質(zhì)的知識，是如何科學(xué)地描述過程系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的規(guī)律，這必須選擇或者建立一種既能反映過程系統(tǒng)本質(zhì)特性，又相對簡單明了的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)對過程系統(tǒng)中狀態(tài)變量分布特征的不同描述方式，一般可以把數(shù)學(xué)模型分為：集中參數(shù)模型分布參數(shù)模型多級集中參數(shù)模型集中參數(shù)模型：狀態(tài)變量在系統(tǒng)中呈空間均勻分布，如強(qiáng)烈攪拌的反應(yīng)罐就可以用這一類模型來描述。分布參數(shù)模型：狀態(tài)變量在系統(tǒng)內(nèi)呈現(xiàn)非均勻，但一般是連續(xù)的空間分布，如管式反應(yīng)器的模型通常就用分布參數(shù)模型。多級集中參數(shù)模型：一般用于描述多級串聯(lián)、級內(nèi)狀態(tài)變量均勻分布的過程，如板式塔內(nèi)的傳質(zhì)分離過程等。

根據(jù)建立模型的不同方法，一般可以將數(shù)學(xué)模型分為統(tǒng)計(jì)模型、確定性模型和介于兩者之間的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。統(tǒng)計(jì)模型又稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停兇庥山y(tǒng)計(jì)、關(guān)聯(lián)輸入輸出數(shù)據(jù)而得。

優(yōu)點(diǎn)：表達(dá)方式很簡單，只需做少量計(jì)算就能得到所要的結(jié)果；

缺點(diǎn)：只能應(yīng)用到建立模型時(shí)采集數(shù)據(jù)所涉及到的那些操作條件，或者可以略作小范圍的外推。確定性模型又稱為機(jī)理模型：是通過對所研究的系統(tǒng)或者系統(tǒng)內(nèi)某個(gè)微元，列出質(zhì)量、能量和動(dòng)量守恒關(guān)系式，系統(tǒng)（或微元）內(nèi)外質(zhì)量、能量和動(dòng)量交換速率系數(shù)計(jì)算式，相關(guān)的相平衡關(guān)系，以及化學(xué)反應(yīng)速率表達(dá)式和化學(xué)反應(yīng)平衡常數(shù)計(jì)算式而建立起來的。該模型的普遍適用性更強(qiáng)。3.1.3確定性動(dòng)態(tài)模型的數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)處理：（1）正問題——模型方程組的求解（2）逆問題——模型參數(shù)的估計(jì)（3）過程系統(tǒng)的定性分析（1）正問題——模型方程組的求解模型方程（組）的正問題：指所有的參數(shù)（包括設(shè)計(jì)、物性、傳遞和操作參數(shù)等）都已給定，要求利用模型來預(yù)測系統(tǒng)的狀態(tài)分布及其在時(shí)間域的運(yùn)動(dòng)（變化）情況。這一類問題在工程實(shí)際上經(jīng)常會(huì)碰到。例如：簡單問題

模型參數(shù)已給定，利用模型來預(yù)測系統(tǒng)的結(jié)果如：解決正問題，要求在給定的初值條件或初、邊值條件下求解模型方程組。這就可能涉及代數(shù)方程組、常微分方程組和偏微分方程組，以及其混合方程組的求解，由于方程組強(qiáng)烈的非線性特性，求模型方程組的分析解往往是不可能的，不得不借助于計(jì)算機(jī)求數(shù)值解。（2）逆問題——模型參數(shù)的估計(jì)已經(jīng)從實(shí)驗(yàn)裝置或生產(chǎn)裝置上采集到在非定常態(tài)條件下系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的信息，要求從中估計(jì)出描述這一非定常態(tài)過程的模型中，某些未知參數(shù)的數(shù)值。即：已知狀態(tài)在時(shí)間域的運(yùn)動(dòng)情況，要求估計(jì)模型參數(shù)。求的函數(shù)表達(dá)式完成這類計(jì)算，涉及到計(jì)算數(shù)學(xué)中最優(yōu)化方法這一分支。一些常用的、相對較成熟的最優(yōu)化方法，通常都已編寫成通用程序，在手冊、專著中都可以查到，只需結(jié)合參數(shù)估計(jì)的實(shí)際問題，掌握這些通用程序的具體應(yīng)用就可以了。近年來又發(fā)展出一些新的算法，如遺傳算法、模擬退火算法等。（3）過程系統(tǒng)的定性分析由于化工過程系統(tǒng)通常具有很強(qiáng)的非線性性質(zhì)，因而有可能出現(xiàn)定常態(tài)多重性、定常態(tài)穩(wěn)定性、參數(shù)敏感性、自激振蕩，甚至更復(fù)雜的時(shí)間序列結(jié)構(gòu)。原則上講，這些問題都可以通過確定性模型來分析、處理。這一類問題歸結(jié)為動(dòng)態(tài)微分方程（組）的定性分析—非線性分析或非線性現(xiàn)象與復(fù)雜性分析。3.2連續(xù)攪拌反應(yīng)器的動(dòng)態(tài)特性

選擇連續(xù)攪拌反應(yīng)器作為研究對象，是非常具有代表性的：用集中參數(shù)模型來描述系統(tǒng)的特性，在模型的類型上有典型性；模型的數(shù)學(xué)處理方法方面，與其他類型的化工過程系統(tǒng)集中參數(shù)模型有相似性；涉及到非線性系統(tǒng)的定性分析問題，所運(yùn)用的分析方法具有普遍意義。3.2.1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通過實(shí)際的示例，介紹集中參數(shù)模型的建立和數(shù)學(xué)處理方法。【例3-1】敞口連續(xù)攪拌釜的流量計(jì)算。如圖所示，進(jìn)料量為Fi，攪拌釜中原有料液高度為H。，試求取自開工后排料量的變化關(guān)系。假設(shè)攪拌釜的橫截面積為A，排液量與罐中料液的高度成正比關(guān)系，即：F0=kH根據(jù)質(zhì)量守恒原理，對敞口連續(xù)攪拌釜列出質(zhì)量衡算關(guān)系：質(zhì)量累積速率=質(zhì)量流入速率-質(zhì)量流出速率初始化條件：t=0時(shí)，H=H0代入并化簡:上式就是釜中液位高度隨時(shí)間的變化關(guān)系，排液量與時(shí)間的變化關(guān)系為：不同的k值，釜中液位高度隨時(shí)間變化關(guān)系的示意圖。圖中每條曲線的右側(cè)分別指明了計(jì)算所用的kH0-Fi的值，即t=0時(shí)刻料液排出速度與流入速度之差。從圖中可以看出，隨時(shí)間的增加，釜中液位高度呈指數(shù)式變化，并逐漸達(dá)到一個(gè)近似的穩(wěn)定值。對于不同的kH0-Fi

的值，液位高度隨時(shí)間的變化關(guān)系有所不同。高度變化1高度變化2【例3-2】攪拌槽內(nèi)含鹽量的動(dòng)態(tài)模型。攪拌槽示意圖。初始情況是槽內(nèi)盛有V0的水，把濃度為Ci的鹽水以恒定流量Fi加入槽內(nèi)，與此同時(shí)完全混合后的鹽水以恒定流量F0排放，試求槽內(nèi)鹽水濃度C的變化規(guī)律。鹽水溶液的總物料衡算關(guān)系：鹽組分的物料平衡：即：

式（3－13a）表明有兩項(xiàng)累積量，第一項(xiàng)是因濃度變化而引起的，第二項(xiàng)是由體積變化所引起的，這兩項(xiàng)皆與求解有重要關(guān)系。將式（3－12）代人式（3－13a），并化簡，可得：將式（3－12）積分，并利用初始條件t=0時(shí)，V=V0，可以得出：代入式（3－14），并化簡為：積分式（3－16），當(dāng)Fi>F0時(shí)可以求出：其中，B為積分常數(shù)將初期條件：t=0時(shí)，c=0代入式（3-17），可以解出B，于是式(3－17)可以化簡為：當(dāng)Fi=F0時(shí)：積分時(shí)式（3-16）圖3－3給出了ci=1時(shí)，對不同的Fi，本例釜中濃度隨時(shí)間的變化關(guān)系。可以看出，對任何一種情況，隨著時(shí)間的延長，罐中濃度最終將逐漸達(dá)到ci濃度隨時(shí)間的變化一般的連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器，除總物料衡算和組分物料衡算外，還伴隨化學(xué)反應(yīng)的熱效應(yīng)以及反應(yīng)釜本身的熱衡算。對于這種復(fù)雜的過程，是不太可能通過數(shù)學(xué)方法精確求解的，一般要通過數(shù)值方法進(jìn)行積分運(yùn)算，方可求得過程的解。

連續(xù)攪拌反應(yīng)器假定：反應(yīng)器內(nèi)處于分子級理想混合，且為液相均相反應(yīng)，即反應(yīng)混合物的溫度和組成在反應(yīng)區(qū)里是均勻的。假定反應(yīng)區(qū)的容積不隨時(shí)間變化，則加料與排料的流量也可以認(rèn)為是近似相等的，即Fin=Fout＝F。對于一個(gè)包含M個(gè)組分和N個(gè)反應(yīng)的系統(tǒng)，可以分別寫出每一個(gè)組分的質(zhì)量守恒和反應(yīng)區(qū)的能量守恒式，如：i組分質(zhì)量守衡

V、F—反應(yīng)區(qū)容積和加料容積流量；Ci、Ci,f—反應(yīng)器內(nèi)和加料中第i組分的濃度；t—時(shí)間；R—因化學(xué)反應(yīng)引起的第i個(gè)組分濃度的變化速率，并且有

i,j—第j反應(yīng)計(jì)量式中i組分的系數(shù)3-203-22反應(yīng)區(qū)能量守衡T、Tf—反應(yīng)區(qū)內(nèi)和加料混合物的溫度；U—反應(yīng)液體與冷卻劑之間熱交換的總傳熱系數(shù)；A—反應(yīng)液體與冷卻劑之間的總傳熱面；T—冷卻劑平均溫度；

、Cp—反應(yīng)混合物的平均密度與比熱容；（-H）—第j個(gè)反應(yīng)的熱效應(yīng)；Rj—第j個(gè)反應(yīng)的速率。3-21

以上二式通常受下列初始條件的約束；在t=0時(shí)，ci=ci,0,T=T0

從而就構(gòu)成所討論的連續(xù)操作攪拌反應(yīng)器的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。3-23應(yīng)當(dāng)指出，運(yùn)用反應(yīng)工程課程中關(guān)于化學(xué)反應(yīng)計(jì)量學(xué)的知識，可以對上述模型進(jìn)行簡化。不必對所有M個(gè)組分，而僅僅需要對少于M的幾個(gè)著眼組分寫出質(zhì)量守恒式，從而減少了模型涉及的常微分方程的個(gè)數(shù)。至于其他非著眼組分的濃度，完全可以利用化學(xué)計(jì)量學(xué)基本原理，通過相應(yīng)的代數(shù)方程（組）來推算。3.2.2模型的數(shù)學(xué)處理與應(yīng)用（I）上面方程構(gòu)成的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的正問題，可以利用龍格庫塔法（R—K）和基爾（Gear）法等通用程序來求數(shù)值解。一般情況，R—K法已能滿足要求。對于某些熱效應(yīng)強(qiáng)、活化能高的反應(yīng)，濃度和溫度隨著時(shí)間的變化在某些時(shí)段可能非常激烈，采用R—K方法可能引起計(jì)算的不穩(wěn)定性，難以收斂，就需要采用像Gear法之類具有一定自適應(yīng)性的方法。3.2.2模型的數(shù)學(xué)處理與應(yīng)用（I）應(yīng)用1：開工過程分析上述動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，可以用于連續(xù)操作攪拌罐反應(yīng)器的開工過程分析。（a）計(jì)算開工過程所需要的時(shí)間：從給定的初始條件出發(fā)，對上式求數(shù)值解，求取直至狀態(tài)變量的每一個(gè)分量Ci（i=1～M）、T接近定常值所需要的時(shí)間，就是近似的開工時(shí)間。

(b)研究初始條件對開工過程的影響。反復(fù)改變不同的初始條件，通過數(shù)值分析考察初始條件（開工條件）的不同對開工時(shí)間的影響，從而可以幫助制訂適當(dāng)?shù)拈_工方案，達(dá)到既縮短開工時(shí)間，又不致使開工過程出現(xiàn)某些工藝上不允許的溫度和（或）濃度。應(yīng)用2：動(dòng)態(tài)響應(yīng)的數(shù)字仿真利用數(shù)字仿真技術(shù)來了解對象的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，即輸入輸出關(guān)系。通常的做法是，首先建立過程系統(tǒng)的確定性動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型；然后需要確定變量；最后把給定的定常狀態(tài)作為初始條件，逐一考察每一個(gè)輸入變量的改變對狀態(tài)變量（輸出）的影響。3.2.3模型的數(shù)學(xué)處理與應(yīng)用（II）（1）定態(tài)多重性系統(tǒng)的定態(tài)對應(yīng)于令下式左端為零時(shí)，得相應(yīng)非線性代數(shù)方程組的解。如果有多重根，就意味著系統(tǒng)有可能出現(xiàn)多重定態(tài)。即在設(shè)計(jì)參數(shù)、物性參數(shù)和操作參數(shù)都不變的情況下，我們可以看到不只一個(gè)定常狀態(tài)。（2）定態(tài)的局部穩(wěn)定性是指由瞬時(shí)小干擾引起的對定常態(tài)的偏離，在擾動(dòng)因素消失后，系統(tǒng)是否具有自動(dòng)回復(fù)原始定常態(tài)的能力？如果有，就說該定常態(tài)是局部穩(wěn)定的，或者說對小擾動(dòng)是穩(wěn)定的。反之，就是局部不穩(wěn)定的。定常態(tài)局部穩(wěn)定性判據(jù)：非線性集中參數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的定常態(tài)局部穩(wěn)定性判據(jù)：如果在給定的定態(tài)近旁，模型常微分方程組的雅可必矩陣的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則該定常態(tài)是漸近穩(wěn)定的。（3）狀態(tài)空間分析

狀態(tài)空間分析是一種圖解方法，借助于它，可以非常直觀地了解非線性集中參數(shù)系統(tǒng)的一系列動(dòng)態(tài)性質(zhì)。所謂狀態(tài)空間，也稱為相空間，在這里是指以每一個(gè)獨(dú)立變量作為一個(gè)坐標(biāo)軸定義的實(shí)數(shù)空間。前面例題描述的系統(tǒng)，指由C1，C2，…，CL和T作為坐標(biāo)軸定義的實(shí)空間，在其中的一個(gè)點(diǎn)，表示一個(gè)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)也稱為相點(diǎn)。相點(diǎn)的軌跡稱為相軌線（軌線），它反映了從某個(gè)特定的初始狀態(tài)出發(fā)，狀態(tài)演變的歷史，由眾多的軌線構(gòu)成，反映了在所關(guān)心的狀態(tài)變量變化范圍內(nèi)，系統(tǒng)所有動(dòng)態(tài)學(xué)定性特征的圖形稱為相軌線圖（相圖）。相圖制作原理假定討論單個(gè)一級不可逆反應(yīng)A

B的特殊情況。這時(shí)，只有一個(gè)著眼組分，設(shè)為A。式（3－20～23）相應(yīng)地可以寫成：對于任意給定的某一初始條件，利用龍格一庫塔或其他適當(dāng)?shù)那蠼獬Ｎ⒎址匠探M初值問題的方法，可以得到數(shù)值解：S表示定常態(tài)由于只有cA、T兩個(gè)狀態(tài)變量，所以這時(shí)的狀態(tài)空間是一個(gè)二維空間，即狀態(tài)平面或稱為相平面。將上面得到的CA

和T的瞬時(shí)數(shù)據(jù)標(biāo)注在相平面上并連成標(biāo)注了運(yùn)動(dòng)方向的光滑曲線就得到一條相軌線。從不同的初始條件出發(fā)，仿照上述方法可以作出不同的軌線。由足夠多的軌線就可以繪出類似右圖的相平面圖。相平面圖繪制過程3.3精餾塔的動(dòng)態(tài)特性在化工生產(chǎn)中經(jīng)常會(huì)遇到一些具有相似的多級系統(tǒng)，最典型的就是多級串聯(lián)的CSTR反應(yīng)器和板式精餾塔。在這些過程中，通常每一級都可用一相似的一階或二階微分方程來表示，尤其當(dāng)這些方程式的系數(shù)矩陣呈雙或三對角線形式排列時(shí)，它的特征解可用解析法求得，求解時(shí)可用有限差分和差分微分法本節(jié)以二元板式精餾塔作為研究對象，討論怎樣利用多級集中參數(shù)模型對其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行模擬與分析。3.3.1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型全塔共有N塊塔板，塔頂為全冷凝器，塔底有間接加熱的再沸器，在第NF板加料?；炯僭O(shè)：I每塊塔板上汽相與液相分別為理想混合，因而兩相都可以采用集中參數(shù)模型來描述II兩組分的摩爾汽化熱近似相等，III泡點(diǎn)進(jìn)料IV塔內(nèi)壓力恒定V離開每一塊塔板的汽液兩相處于平衡狀態(tài)VI每塊塔板上持液量遠(yuǎn)大于持汽量，后者及其變化可以忽略不計(jì)利用基本假設(shè)II和III，可以導(dǎo)出：任意兩塊塔板間上升蒸汽量恒定，從而使模型變量的數(shù)目大大減少，因此不必對每一塊塔板都做熱量衡算，使模型方程的數(shù)目也就相應(yīng)地減少引入基本假設(shè)V，是為暫時(shí)避開塔板上的傳質(zhì)動(dòng)力學(xué)這一至今并末很好解決的復(fù)雜問題精餾塔的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型全凝器及餾出罐總物料衡算全凝器及餾出液罐易揮發(fā)組分衡算

第n塊塔板總物料衡算第n塊塔板易揮發(fā)組分衡算離開第n塊塔板汽液相濃度關(guān)系對于加料板，與第n塊塔板相似的可以得到下列守恒關(guān)系與平衡關(guān)系式再沸器及塔底總物料衡算再沸器及塔底易揮發(fā)組分衡算離開再沸器及塔底的汽液相濃度關(guān)系再沸器熱量衡算此外，根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)原理，還可以得到每一塊塔板上經(jīng)降液管回流的液體量與該板上持液量的函數(shù)關(guān)系:獨(dú)立方程數(shù):4N+6變量數(shù):4N+10N個(gè)Xn、N個(gè)Yn、N個(gè)塔板回流量Ln、N個(gè)塔板持液量，餾出液貯罐持液量MD、餾出液成分XD、餾出液采出量D、回流至第一塊塔板的液體量LR、再沸器與塔底持液量MB、再沸器液相采出量B、上升蒸汽量V和離開再沸器汽、液相成分YB

與XB，輸入再沸器的熱量Q3.3.2模型的數(shù)學(xué)處理與應(yīng)用在討論動(dòng)態(tài)模型的具體應(yīng)用前，應(yīng)先將涉及易揮發(fā)組分衡算的微分方程左端按函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)展開的規(guī)則將其展開，然后利用相應(yīng)的總物料衡算式代入其中，以消去展開式中關(guān)于M的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，從而使所有常微分方程的左端都化為單變量導(dǎo)數(shù)的形式，并使模型轉(zhuǎn)化成為相對容易處理的代數(shù)―常微分方程組。模型處理的另一個(gè)一般性問題：各塊塔板溫度的計(jì)算。塔板溫度的計(jì)算多組分混合物任一組分兩相平衡的條件應(yīng)當(dāng)寫成：其中i表示組分代號，n與前述相同，表示塔板序號?？紤]到塔內(nèi)壓力恒定的假設(shè)后，可以把Pn作為常參數(shù)從上式剔除，因此有：顯然，如果用上式去代替前述模型中所有易揮發(fā)組分的相平衡關(guān)系，又變成了一個(gè)未知量數(shù)目大于獨(dú)立函數(shù)與獨(dú)立微分方程個(gè)數(shù)之和的不定問題。從多元混合物相平衡原理補(bǔ)充汽相組成歸一化條件：由于溫度是以隱函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中，所以無論是把整個(gè)模型作為一個(gè)大的聯(lián)立代數(shù)―常微分方程組來求解，還是逐板迭代計(jì)算，每塊塔板上兩相組成與溫度的確定都必需通過反復(fù)迭代。從上面的分析看出，盡管為了使問題得到簡化已經(jīng)做了很多假設(shè)，而且僅僅討論一個(gè)二元精餾問題，要利用其動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行過程系統(tǒng)的模擬與分析，計(jì)算量也是很大的。因此，精餾塔數(shù)學(xué)模型的處理方法和計(jì)算策略歷來是從事過程模擬研究的人十分關(guān)注的。（1）開工過程模擬與分析

以下討論連續(xù)操作精餾塔開工過程模擬的問題。經(jīng)過上面所述的初步處理，消去微分方程中乘積（MX）對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)后，模型可以寫成為：假設(shè)給定了M和X的初始值，并且F、Q為已知，要求考察在全回流（D=0）和不采出塔底殘液（B=0）的條件下，開工過程的動(dòng)態(tài)特性。如前所述，在F，Q，D和B已知并給定了M和X的初值后，問題是可解的，圖3－7表示一種可行的計(jì)算策略。由每塊塔板上M的初值可以計(jì)算L。根據(jù)X的初值，和假定的溫度T的初值，從相平衡關(guān)系計(jì)算Y，然后檢驗(yàn)每塊板和再沸器內(nèi)汽相組成是否滿足

Yi,n=1，若不滿足，重新調(diào)整各塔板及再沸器溫度，再算，直至滿足上述汽相組成歸一化條件。利用V，L，X，Y數(shù)據(jù)對給定的時(shí)間步長求解常微分方程的初值問題，檢驗(yàn)餾出液濃度是否達(dá)到要求？殘液濃度是否達(dá)到要求？若任一指標(biāo)不合格，再以所得M,X更新原始數(shù)據(jù)后重新計(jì)算，若餾出液和殘液濃度都達(dá)到要求，則輸出M，X等隨時(shí)間變化的結(jié)果，并停止計(jì)算。

精餾塔模擬計(jì)算可以作為小論文（二元或多元組分）第五章

智能模型—人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

ArtificialNeuralNetwork1943年心理學(xué)家M.McCulloch和數(shù)學(xué)家W.H.Pitts首先提出了簡單神經(jīng)元M-P模型，開創(chuàng)了神經(jīng)科學(xué)研究的時(shí)代。1958年Rosenblatt[1]的感知器(Perceptron)是最早的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。1959年Widdrow和Hiff開發(fā)了一種叫自適應(yīng)線性單元(ADALINE)的網(wǎng)絡(luò)模型，成為第一個(gè)用于實(shí)際問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。掀起了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一次高潮。1969年，Minsky和Papert出版“Perseptron”一書中，證明了感知器不能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜邏輯的判斷功能使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究一度趨于低潮。1982年，加州技術(shù)學(xué)院的物理學(xué)家JohnJ.Hopfield博士發(fā)表了一篇十分重要的文章，他所提出的Hopfield網(wǎng)絡(luò)，有意義的是它的網(wǎng)絡(luò)很容易用集成電路來實(shí)現(xiàn)，在1984年、1986年Hopfield連續(xù)發(fā)表了有關(guān)他的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的文章，他的文章得到了重視和理解。掀起了各學(xué)科關(guān)心神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)熱潮。5.1人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的處理單元及結(jié)構(gòu)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)，又稱為“神經(jīng)網(wǎng)”(NeuralNet)，是源于人工智能的一種計(jì)算機(jī)工具。人工神經(jīng)元是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本處理單元(縮寫為PE)，也可以稱其為節(jié)點(diǎn)。如下圖就是簡化的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)。人工神經(jīng)元

它是一多輸入、單輸出的非線性元件，其輸入、輸出關(guān)系可描述為：其中xi(j=1,2,…,n)是從其它細(xì)胞傳來的輸入信號，θj為閾值，wji表示從神經(jīng)元j到神經(jīng)元i的連接權(quán)值，f()稱為傳遞函數(shù)。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

輸入層隱含層隱含層輸出層非線性函數(shù)是Sigmoid函數(shù)訓(xùn)練和學(xué)習(xí)階段—通過不斷調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)之間的相互連接權(quán)重，直至特定的輸入產(chǎn)生特定的輸出。最為廣泛的為反向傳播算法(BP法)；回響階段—向人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)輸入一系列已在訓(xùn)練階段使用過的輸入模式，調(diào)整系統(tǒng)使之更可靠、更健壯：預(yù)測階段—向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入新的模式，希望系統(tǒng)能進(jìn)行正常工作。為運(yùn)行人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，必須經(jīng)過三個(gè)階段：5.2.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及BP算法BP法是一種深入的數(shù)值方法，有許多不同的方法來進(jìn)行反向傳播教會(huì)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如何作出反應(yīng)。基本上，幾乎所有的BP法都要進(jìn)行以下步驟：(1)送入一特定的輸入，測定其實(shí)際輸出。(2)將實(shí)際輸出與期望輸出值進(jìn)行比較，根據(jù)輸入—輸出分析計(jì)算定量差。(3)通過反復(fù)調(diào)整節(jié)點(diǎn)間的連接權(quán)重，使誤差(或均方根誤差)達(dá)到最小。

(a)由輸出節(jié)點(diǎn)開始，調(diào)整其權(quán)重。

(b)“反向”傳播至與輸出層相鄰的一層，計(jì)算那一層的誤差并調(diào)整其權(quán)重。

(c)繼續(xù)這一反向傳播過程(由網(wǎng)絡(luò)的輸出端向輸入端)直至計(jì)算無誤差，并且所有權(quán)重均被調(diào)整為止。反向傳播(BP)采用的是并行式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它包括輸入層、隱含層和輸出層。如圖所示，輸入層有N+1個(gè)神經(jīng)元，對應(yīng)于N個(gè)輸入值和一個(gè)偏值(bias)，隱含層M+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中也有一個(gè)偏值，輸出層有L個(gè)神經(jīng)元。

假設(shè)第k(k=1,2,…,P)個(gè)實(shí)驗(yàn)樣本的第i個(gè)輸入?yún)?shù)為xik，隱含層第h個(gè)節(jié)點(diǎn)輸出值為yhk，輸出層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)輸出值為zjk,每一節(jié)點(diǎn)的輸入與輸出值通過非線型的Sigmoid函數(shù)變換。如果輸入層與隱含層之間的權(quán)值為whi，隱含層與輸出層之間的權(quán)值為wjh，則各節(jié)點(diǎn)的輸出按下式計(jì)算：

h=1,2,…,Mj=1,2,…,L

(2-6)式中，θh和θj分別是，隱含層與輸出層各節(jié)點(diǎn)的內(nèi)部閾值。在輸入層和隱含層之間各設(shè)一個(gè)神經(jīng)元bias，即第0個(gè)節(jié)點(diǎn)，取它的指定輸出值為1.0，對于隱含層，令θh=wj0x0k(xk0=1.0)，則式(2-6)中的自變量部分可表示成：

對于輸出層也可作類似處理，于是輸出式可改寫為：h=1,2,…,Mj=1,2,…,L數(shù)學(xué)形式上不含閾值θ，它們已經(jīng)隱含在相應(yīng)的權(quán)值里，并且與其它權(quán)值一樣可以在迭代過程中予以優(yōu)化。如果在[-1,1]區(qū)間給權(quán)重whi和wjh隨機(jī)賦值，那么對每一個(gè)輸入模式P，網(wǎng)絡(luò)的總平均誤差E：式中：P為送入輸入層的訓(xùn)練模式數(shù)；L為輸出層的處理單元數(shù)：djk為第k個(gè)訓(xùn)練模式在第j個(gè)處理單元上的期望輸出值；zjk為第k個(gè)訓(xùn)練模式在第j個(gè)處理單元上的實(shí)際輸出值上式也可寫為：由于轉(zhuǎn)移函數(shù)是連續(xù)可微的，顯然上式是每個(gè)加權(quán)的連續(xù)可微函數(shù)，反過來，為了使誤差函數(shù)最小，用梯度下降法求得優(yōu)化的權(quán)值，該權(quán)值總是從輸出層開始修正，然后修正前層權(quán)值。從這一層意思講有反傳的含義。根據(jù)梯度下降法，由隱蔽層至輸出層的連續(xù)加權(quán)調(diào)節(jié)量為：η為學(xué)習(xí)速率，δjk定義為輸出節(jié)點(diǎn)的誤差信號：

對數(shù)Sigmoid型壓縮函數(shù)為：由輸入到隱蔽層的加權(quán)修正量可用分層鏈導(dǎo)法求得：

其中η為學(xué)習(xí)速率，定義為隱含節(jié)點(diǎn)的誤差信號。Rumelnart,Hinton和Williams于1986年提出一種改善BP訓(xùn)練時(shí)間的方法，稱為動(dòng)量法。同時(shí)保證了過程的穩(wěn)定性。該方法是為每個(gè)加權(quán)調(diào)節(jié)量上加一項(xiàng)正比于前次加權(quán)變化的值。這就要求每次調(diào)節(jié)完后，要把調(diào)節(jié)量記住，以便在下面的加權(quán)調(diào)節(jié)使用。從隱含層到輸出層附加有沖量項(xiàng)的加權(quán)調(diào)節(jié)公式為：

計(jì)算權(quán)重：

從輸出到輸入層附加有沖量項(xiàng)的加權(quán)調(diào)節(jié)公式：

計(jì)算新的權(quán)重5.3BP訓(xùn)練算法實(shí)現(xiàn)步驟

BP訓(xùn)練步驟如下：(1)在[-1,1]區(qū)間內(nèi)給權(quán)重wjh和whi隨機(jī)賦值，并設(shè)定訓(xùn)練允許誤差ε(ε>0)。(2)計(jì)算隱含層及輸出層的輸出，依次正向進(jìn)行：隱含層輸出層(3)對于送入輸入層的P個(gè)訓(xùn)練模式繼續(xù)步驟(1)-步驟(2)，根據(jù)下式計(jì)算總的平均平方誤差E：(4)開始網(wǎng)絡(luò)的反向傳播：從輸出開始反向轉(zhuǎn)移到輸入，根據(jù)下式，計(jì)算輸出層每一節(jié)點(diǎn)的梯度下降項(xiàng)：(5)繼續(xù)反向傳播：轉(zhuǎn)到隱含層，根據(jù)下式，計(jì)算隱含層相對于每一個(gè)δjk的每一節(jié)點(diǎn)的梯度下降項(xiàng)：(6)已知隱含層的δhk輸出層的δjh，用下式計(jì)算權(quán)重變化：(7)已知權(quán)重變化，根據(jù)下式計(jì)算權(quán)重：對所有的訓(xùn)練模式，重復(fù)步驟(2)-步驟(7)，直至平方誤差為0或充分小為止。

6.遺傳算法

遺傳算法（GA）是模擬自然選擇和遺傳的隨機(jī)搜索算法。密執(zhí)安大學(xué)約翰·郝蘭德（JohnHolland）最早提出這一算法，其最初目的是研究自然系統(tǒng)的自適應(yīng)行為并設(shè)計(jì)具有自適應(yīng)功能的軟件系統(tǒng)。近來，遺傳算法作為問題求解和最優(yōu)化的有效工具，引起越來越多的注意。遺傳算法是一種迭代算法。它在每一次迭代時(shí)都擁有一組解答。這組解答最初是隨機(jī)生成的。在每次迭代時(shí)又有一組新的解答由模擬進(jìn)化和遺傳操作生成。每個(gè)解答都由一個(gè)目標(biāo)函數(shù)給予評價(jià)，重復(fù)這一過程，直至收斂。新的一組解答不但可以有選擇地保留一些目標(biāo)函數(shù)值高的舊的解答，而且可以包括一些經(jīng)由其它解答結(jié)合而得的新的解答。遺傳算法的術(shù)語

遺傳算法的術(shù)語借鑒于自然遺傳學(xué):一個(gè)解稱為一個(gè)符號串或染色體染色體由決定其特性的基因構(gòu)成基因有稱為等位基因的不同取值目標(biāo)函數(shù)稱為適度函數(shù)一組染色體稱為群體遺傳算法的一次迭代稱為一代遺傳算法包括如下組成部分：

一個(gè)對參數(shù)空間編碼的符號串表示；一個(gè)評價(jià)符號串的適度函數(shù)；一組產(chǎn)生成新的符號串的遺傳操作；一組控制遺傳操作的概率值。

典型的遺傳算法步驟有：（1）初始化隨機(jī)生成一個(gè)符號串群體。（2）基于適度函數(shù)對符號串進(jìn)行評價(jià)。（3）應(yīng)用一組遺傳操作生成一個(gè)新的符號串群體。（4）重復(fù)步驟（2）和（3）直到解答收斂。6.1簡單遺傳操作遺傳操作通過模擬進(jìn)化和繼承過程而生成符號串（新的或舊的）。繁殖、交叉和突變是三個(gè)簡單遺傳操作，它們在實(shí)際應(yīng)用中給出了很好的結(jié)果。6.1.1繁殖在大自然中，生命力最強(qiáng)的物種征服弱小的物種以確保其生存。運(yùn)用這一適者生存的法則，繁殖操作在舊的群體中“隨機(jī)”選擇符號串生成一個(gè)新的群體。選擇并不是完全隨機(jī)的，它基于一個(gè)符號串相對于整個(gè)群體的適度值。假定一個(gè)群體有6個(gè)符號串，而且它們的適度值如下：注意，一個(gè)群體中的每個(gè)符號串不必是唯一的。fi/Σfi被視為符號串fi在下一代中存活的概率。這意味著具有較高適度值的符號串會(huì)有較大的存活機(jī)會(huì)。另外，在整個(gè)算法運(yùn)行過程中，一個(gè)群體的符號串?dāng)?shù)目是一個(gè)常數(shù)。繁殖操作生成的是一個(gè)同樣大小的群體。這意味著適度值較大的符號串最終會(huì)在群體中成為多數(shù)。實(shí)現(xiàn)上述選擇過程的一種方法是偏置輪盤。每個(gè)符號串在輪盤上占有一格，而格的大小則與符號串的適度值成正比。在選擇一個(gè)新的符號串時(shí)，先轉(zhuǎn)動(dòng)輪盤，待輪盤停下，落在標(biāo)記處的格所對應(yīng)的符號串被選中。輪盤轉(zhuǎn)動(dòng)6次生成一代新的群體，且符號串的期望組合為基于期望次數(shù)，新的群體可能是｛A，A，A，B，C，C｝。很明顯，如果繁殖操作被重復(fù)運(yùn)用，適度值較高的符號串最終會(huì)在整個(gè)群體中占據(jù)主導(dǎo)地位。由于繁殖操作并不生成新的符號串，我們需要其它操作以探究新的解答。5.1.2交叉交叉操作利用了來自不同符號串的基因經(jīng)由交配而混合，以產(chǎn)生新符號串的概念。由于基因表達(dá)了符號串的特性，如果不同符號串的“好的”特性得以結(jié)合，所得符號串可能會(huì)有更好的特性。

假定一個(gè)符號串的基因被排成一條直線則兩個(gè)符號串的交叉可按如下步驟進(jìn)行：（1）隨機(jī)選擇一個(gè)將每個(gè)符號串?dāng)嚅_為兩部分的點(diǎn)（截點(diǎn)）。（2）交換符號串的后一部分。兩個(gè)具有其父母雙方基因成分的符號串由此生成。這一交叉操作是交換信息、生成新解的簡單而有效的方法。需要注意的是，如果整個(gè)群體只有一種符號串，交叉操作不會(huì)生成任何新的符號串?？梢岳猛蛔儾僮鱽肀苊膺@種情況的發(fā)生。6.1.3突變隨機(jī)選取符號串中的一個(gè)基因，將其改變?yōu)橐粋€(gè)不同的等位基因以生成一個(gè)新的符號串見圖。它將可變性引入群體，從而提供逃脫局部最小值的手段。一個(gè)僅應(yīng)用突變操作的算法等同于隨機(jī)搜索。

因?yàn)橥蛔儾僮骺梢杂泻軓?qiáng)的破壞性，并非總要用到它，而是由一個(gè)突變概率（Pm）來控制。與此類似的，交叉操作的運(yùn)用也由交叉概率（Pc）來控制。一個(gè)簡單的遺傳算法可歸納如下：（1）生成一個(gè)具有m個(gè)符號串的起始群體。（2）重復(fù)步驟（3）直至解答的適度值收斂。（3）生成一個(gè)新的m個(gè)符號串群體。步驟如下：①應(yīng)用繁殖操作兩次，亦即用輪盤選出兩個(gè)符號串。②如果Pc＞rand［0，l］，則應(yīng)用交叉操作于這一對符號串。③如果Pm＞rand［0，1]，則應(yīng)用突變操作于這一對符號串。④將生成的兩個(gè)符號串加入新的群體。示例1:以求解下列函數(shù)的最大值為例。圖給出了函數(shù)f(x)在變量x取值[-2，2]時(shí)的曲線。f的最大值1.501564對應(yīng)于

x=-0.507179。在運(yùn)用遺傳算法求解f的最大值時(shí)，可以將x（[2，-2]）的值用一個(gè)二近制數(shù)表達(dá)。一個(gè)16位的二進(jìn)制數(shù)提供的分辨率是每位(2-(-2))/(216-1)=0.000061。下式將變量域[2，-2]離散化為二進(jìn)制數(shù)[0，65535]。其中b是[0，65535]中的一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。例如：0.93596在運(yùn)用遺傳算法求解例題給出的函數(shù)的最大值時(shí)，用到了繁殖、交叉和突變等三個(gè)遺傳操作。

繁殖操作由上節(jié)給出的偏置輪盤實(shí)現(xiàn)。交叉操作將兩個(gè)二值向量混合在一起，并生成兩個(gè)新的二值向量。在這里我們采用最簡單的交叉形式，即隨機(jī)選取兩相鄰位之間作為截點(diǎn)，交換兩向量在截點(diǎn)后的尾部以獲取兩個(gè)新的向量。

例如，若選取截點(diǎn)如下（以||表示）：則兩個(gè)新的二進(jìn)制量為：突變操作十分直截了當(dāng)。給定一個(gè)二進(jìn)制向量，隨機(jī)選取一位并將其反置即可。例如，若

1中帶下劃線的一位被選中，則突變后的新向量為

1′

在求解中用到了下列參數(shù)：群體大小=30；交叉概率=0.3；突變概率=0.01。從不同的起始群體出發(fā)，運(yùn)用遺傳算法100次。算法找到最優(yōu)解的成功率為80％。圖給出了一次成功運(yùn)用的收斂過程。注意，經(jīng)過400次選代，一個(gè)群體大小為30的遺傳算法在終止時(shí)已經(jīng)評價(jià)了400

30個(gè)二進(jìn)制值向量（有些向量會(huì)重復(fù)出現(xiàn)）。例題2二元函數(shù)

此函數(shù)有無限個(gè)局部極大點(diǎn)，其中只有一個(gè)(0,0)為全局最大，最大值為1。自變量的取值范圍為-100<x,y<100。此函數(shù)最大值峰周圍有一個(gè)圈脊，它們?nèi)≈稻鶠?.992083，因此很容易停滯在此局部極大點(diǎn)。但是只要達(dá)到一定的迭代次數(shù)最終結(jié)果會(huì)達(dá)到>0.9999。其模擬結(jié)果如表所示。

7換熱網(wǎng)絡(luò)合成7.1換熱網(wǎng)絡(luò)的作用和意義換熱是化工生產(chǎn)不可缺少的單元操作過程。對于一個(gè)含有換熱物流的工藝流程，將其中的換熱物流提取出來，就組成了換熱網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其中被加熱的物流稱為冷物流，被冷卻的物流稱為熱物流。圖7-1所示的乙烯裂解氣甲烷化流程，把氫氣進(jìn)料加熱到310℃，以便在反應(yīng)器中進(jìn)行反應(yīng)。出反應(yīng)器的物流