高中數(shù)學(xué)《垂直關(guān)系的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案

6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.理解直線和平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用

文字、符號和圖形語言描述定理.2.會用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理證明

相關(guān)問題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.

課前自主學(xué)習(xí)

【主干自填】

1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線回平紅

符號語言“L「蜘〃6

圖形語言

①線面垂直0線線平行

作用

②作平行線

2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

如果兩個平面互相垂直，那么在麴］一個平面

文字語言內(nèi)垂直于它們回交線的直線垂直于另一個

平面

a斗

ans=/

符號語言=>a_Lp

畸|2

圖形語言

①面面垂直今回線畫垂直

作用

②作面的垂線

3.平面與平面垂直的其他性質(zhì)

(1)如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點明垂直于第二個平面的

直線在第一個平面內(nèi).

(2)如果兩個平面垂直，那么與其中一個平面平行的平面園垂直于另一個平

面.

(3)如果兩個平面垂直，那么其中一個平面的垂線螞平行于另一個平面或在

另一個平面內(nèi).

【即時小測】

1.思考下列問題

(1)一般地，如果直線。，圓直線b_La,這時，。和人平行嗎？你能給出證明

嗎？

提示：a和8平行.證明如下：

如圖，假定a和人不平行.

設(shè)a~La,b-i-a,垂足分別為A,B.

過點8作a的平行線沙，

由異面直線垂直的定義，分與平面a內(nèi)過點A的任意直線都垂直，也即有》

.La,bCb'=B,

故直線b與6確定一個平面，記為少且記an尸=/,

在平面”內(nèi)，過點B有且僅有一條直線垂直于/,故b'與b重合,a與b平

行.

(2)一般地，平面a_L￡,aC尸MN,A居于點8,這時，直線

AB和平面a垂直嗎？你能給出證明嗎？

提示：直線和平面a垂直.證明如下：

如圖,在平面a內(nèi)作直線BC工MN,則Z.ABC是二面角a—MN—fi的平面角，

因為平面a，平面人所以NABC=90。，即ABLBC,

又已知A3_LMN,從而

2.△ABC所在的平面為a,直線/±AC,直線m±AC,則

直線/,〃2的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.平行D.不確定

提示：C因為UAB,/±ACfABa,ACa9且A8AAC=A,所以

同理可證機(jī)~La,所以/〃丸

3.若加、〃表示直線，a表示平面，則下列判斷中，正確判斷的個數(shù)為（）

m//nm-La

①；今〃_La；②\^m//n\

n.La.

mHa

③(=>m±n;

n//a,m.Ln

A.1B.2C.3D.4

提示：C①②③正確，④中〃與平面。可能有：或〃〃?；蛳嘟唬ò?/p>

〃-La）.

4.在斜三棱柱ABC-A,B.Q中，ZBAC=90°,BC]±AC,則點G在底面

A3C上的投影“必在（）

A.直線A8上B.直線8C上

C.直線AC上D.不能確定

提示：A由ACL3G,AC±AB,

得AC，平面A8G,

G8

C

又AC平面ABC,

平面平面ABC.

，Ci在底面ABC上的投影”必在交線AB上.

課堂互動探究

題型一線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

例1如圖，已知平面an平面尸=/,EAA.a,垂足為A,EB上￡,垂足為8,

直線〃口,q_LA3.求證：a//1.

［證明］因為EAJ_a,aCQ=l,即/a,

所以UE4.同理I工EB.又EACEB=E,

所以L平面EAB.

因為EB_LS，a/3,所以破J_a,

又。_1_43,EBQAB=B,所以a,平面EAR

由線面垂直的性質(zhì)定理，得

一居留圓居............................

（1）線面垂直的性質(zhì)給我們提供了證明線線平行的

方法.

（2）證明線線平行的方法

①a〃c,b//c=a〃b.

②a〃a,a裝S，6ria=/Qa〃h.

③a〃F,af）尸。加y=b=>a//b.

④a_La/_La=>a〃b.

［變式訓(xùn)練1］如圖，在正方體ABCO-AiBCi。］中，點E,E分別在A。,

AC上，且￡凡LA。，EVLAC.求證：EF//BD\.

證明如圖所示，連接AB”B\C,BD.

平面ABC。，AC平面ABC。，：.DD\LAC.

又,.?AC_LBO且

.,.AC_L平面BDD\B\.

；BD]平面：.BDXVAC.

同理3Qi_L3C,...BQ|_L平面ABC.

'：EF±AiD,A\D//B\C,

.,.EFlBiC.XEF_LAC且ACCB|C=C,

二七/，平面AB\C.：.EF//BD\.

題型二面面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用

例2已知平面抬8,平面ABC,平面R1C_L平面ABC,AE,平面PBC,E

為垂足.

⑴求證：孫，平面ABC；

(2)當(dāng)E為△P8C的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.

［證明］⑴如圖，在平面ABC內(nèi)取一點。，

作DfUAC于點凡平面平面ABC,且交線為AC,

產(chǎn)，平面PAC.

又出平面7%C,：.DF±AP.

作DG±AB于點G,

同理可證DG1AP,DG、。廠都在平面ABC內(nèi)且交點為O,二山，平面ABC.

(2)連接BE并延長，交PC于氤H.

點是△P8C的垂心，S.PCLBE.

又已知AE是平面PBC的垂線，

S.PC.LAE.

又,/BEnAE=E,：.PCI.平面ABE：.PC1AB.

又：以，平面ABC,J.PALAB.

'：PAHPC=P,.,.AB_L平面%C

：.AB±AC,即△ABC是直角三角形.

類題通法

面面垂直性質(zhì)定理的轉(zhuǎn)化

面面垂直的性質(zhì)定理可將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂

直的性質(zhì)定理，注意以下三點：①兩個平面垂直是前提條件；②直線必須在一個

平面內(nèi)；③直線必垂直于它們的交線.

［變式訓(xùn)練2］如圖所示,P是四邊形A8CO所在平面外的一點，四邊形ABC。

是ND4B=60。且邊長為。的菱形.側(cè)面以。為正三角形，其所在平面垂直于底

面ABCD.

(1)若G為AO邊的中點，求證：8GL平面％￡＞；

(2)求證：ADLPB.

證明(1)連接PG,BD.

p

BC

由題知△孫。為正三角形，G是AO的中點，

：.PG±AD.

又平面布。，平面ABCD.

.?.尸6，平面48。。，：.PG1BG.

又,四邊形ABCD是菱形且ND43=60。，

.?.△A8O是正三角形，ABGA.AD.

又A￡>nPG=G,.?.86_1_平面以。.

(2)由(1)可知BGLA。，PG1AD.

BGHPG=G,所以AD_L平面PBG,所以AOLPB.

題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，4BCD是正方形，SAJ_平面ABC。，BK_LSC于點、K,連接。K.

求證：

⑴平面SBCLL平面KBD；

(2)平面SBC不垂直于平面SDC.

［證明］⑴連接AC.

?.?四邊形ABC。是正方形，

.?.AC_LB。.又SAJ_平面ABCD,：.SA±BD,

：.80,平面SAC,：.SC±BD.

久?：SCLBK,BKCBD=B，，SC_L平面KBD

又SC平面SBC,：.平面SBC1.平面KBD.

(2)假設(shè)平面S3C_L平面SDC.

,?BK1.SC,：.BK1.平面SDC.

■:DC平面SOC,J.BKLDC,

入AB〃CD,：.BK±AB.

「ABC。是正方形，ABLBC,

平面SBC,又SB平面SBC,

：.AB±SB,這與NSBA是RtZSSAB的一個銳角矛盾，故假設(shè)不成立.

二原結(jié)論成立，即平面SBC不垂直于平面SOC.

類題通法

垂直性質(zhì)的應(yīng)用常見方法

線面平行和線面垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈奈恢藐P(guān)系之一，當(dāng)已知線面、

面面垂直（平行）時可考慮性質(zhì)定理，要證明線面、面面垂直（平行）時考慮判定定理.

［變式訓(xùn)練3］如圖，在三棱錐P—ABC中，出1_平面ABC,平面以81_平

面PBC.

求證：BCLAB.

證明在平面氏8內(nèi)，作ADLPB于D.

:平面%8_1_平面PBC,

且平面平面PBC=PB.

二49,平面PBC.

又BC平面PBC,：.AD±BC.

又平面ABC,BC平面ABC,

：.PA±BC,又辦CAO=O,平面以8.

又45平面B4&J.BCLAB.

培優(yōu)部落

易錯點>對面面垂直的性質(zhì)定理理解錯誤

［典例］如圖所示，在四棱錐P—A3CO中，平面山8,平面ABC。，BC//

平面PAD,ZPBC=9Q°,NPBAW90。.

求證：平面PBCU平面山區(qū)

［錯解］'：ZPBC=90°,平面平面ABC。,

.,.BC_L平面PAB.

'：BC平面PBC,

,平面P8C,平面PAB.

［錯因分析］面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)用錯誤，由平面附8,平面ABCO得出

線面垂直，必須是在其中一個平面內(nèi)作交線(A3)的垂線，該垂線與另一個平面垂

直.

［正解］過點P作PH1AB于點H.

?.,平面%3_1_平面ABC。，且平面%3A平面ABCD=AB,

.?.P”_L平面ABCD

BC平面ABC。，BC1PH.

VZPBC=90°,：.BC±PB.

而NPBAW90。，于是點”與點8不重合，即P8nP"=P.

,:PB,PH平面B48,平面

,：BC平面PBC,平面PBC_L平面附3.

課堂小結(jié)

1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提

供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù).

2.面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)

系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：

面面垂直的定義

1.下列說法正確的是（）

A.垂直于同一條直線的兩直線平行

B.垂直于同一條直線的兩直線垂直

C.垂直于同一個平面的兩直線平行

D.垂直于同一條直線的一條直線和平面平行

答案C

解析垂直于同一條直線的兩直線可能平行、可能相交、可能異面，故A、

B錯誤；由線面垂直的性質(zhì)定理知C正確；D中這條直線可能在平面內(nèi)，故D錯

誤.故選C.

2.如果直線/,根與平面a,夕，>滿足：1=”？，I//a,ma和mJ_y,那

么必有（）

A.a_L>且B.a_L7且"2〃4

C.〃夕且/_1_機(jī)D.a〃夕且a_l_y

答案A

解析''ml.y,ma,Iy,/.a±y,〃z_L/；B錯，有可能加夕或必與夕

相交；C錯，有可能加夕或加與尸相交；D錯，有可能a與夕相交.

3.設(shè)a—/一4是直二面角，直線。a,直線。仇a,人與/都不垂直，那

么（）

A.。與人可能垂直，但不可能平行

B.a與人可能垂直，也可能平行

C.a與人不可能垂直，但可能平行

D.。與人不可能垂直，也不可能平行

答案C

解析當(dāng)m。都與/平行時，則?！?所以A、D錯；如圖,

若。，。，過a上一點P在a內(nèi)作a'因為a,夕，所以a'邛，又b夕,

.".a'X.b,二而/a,與。和/不垂直矛盾，所以B錯.

4.如圖在三棱錐P—A3C內(nèi)，側(cè)面%CU底面ABC,且NB4c=90。，PA=\,

AB=2,則PB=.

答案小

解析?側(cè)面％C_L底面ABC,交線為AC,ZMC=90°（BPPALAQ,

二必，平面ABC,J.PALAB,

PB=yjP^+AB2=yl1+4=^5.

|課后課時精練|

耍時間：25分鐘

1.在空間中，下列說法正確的是（）

①平行于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線

互相平行；③平行于同一個平面的兩條直線互相平行；④垂直于同一個平面的兩

條直線互相平行.

A.僅②正確B.僅①④正確

C.僅①正確D.四種說法都正確

答案B

解析②中兩直線可能相交或異面，③中兩直線可能相交、平行或異面.故

選B.

2.設(shè)平面。，平面夕，在平面a內(nèi)的一條直線。垂直于平面夕內(nèi)的一條直線

b,貝4（）

A.直線a必垂直于平面4

B.直線。必垂直于平面a

C.直線a不一定垂直于平面￡

D.過。的平面與過〃的平面垂直

答案C

解析如果則.如果〃不是平面a和4的交線，則。不一定垂

直于夕.如果aCl/?=a,則/?_La,如果a不是平面a與4的交線，則Z?不一定垂直

于a.故選C.

3.在下列關(guān)于直線/、機(jī)與平面a、夕的結(jié)論中，正確的結(jié)論是（）

A.若/4且a，//,RlJILa

B.若l邛旦a〃B，則/_La

C.若少且a_LJ,則/〃a

D.若aC?=fn且l〃"z,則/〃a

答案B

解析A中/未必和交線垂直，，/_La不成立；C中/可在平面a內(nèi)，也可

與平面a平行，故/〃a錯誤；D中/可在平面a內(nèi)，故/〃a錯誤.故選B.

4.如下圖，正方體ABC。-43iGOi，下列判斷正確的是（）

A.AC，平面ABQiB.AC，平面ABC。

C.A|B,平面ABQiD.A\BLAD\

答案A

解析VBD//B\D\,而BDJLAC,：.B\DXLAC,

又A4i_L8i?！盇41nAe=A,.?.BQiJ_平面ApAC,

VAiC平面A|AC,：.B\D\LA\C,

同理AB|_LAC,又

平面ABQi.

5.已知平面a、0、y,直線/、加滿足：/_Lm,aA.y,yAa=m,7nA=/,那

么在①夕J_y；②/，a；③〃zJ_4中，可以由上述已知推出的有（）

A.①和②B.②和③

C.①和③D.②

答案D

%J-7，

<yPlQ=m，

解析一方面，由題意得以‘〃7"星7,所以/_La,故②是正確的.另

一方面，如圖，

在正三棱柱ABC-A81G中，把A4i記作/,把平面記作少把平面

ACG4記作人把平面431G記作a,把直線AG記作〃?，就可以否定①與③,

故選D.

6.如圖，PAL^ABCD,且四邊形ABC。為矩形，AC與8。交于點0,

下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.PBLBCB.PD±CD

C.POLBDD.PALBD

答案C

解析易證平面PBA,CO,平面PDA,：.BC±PB,CDLPD.VM±

平面ABC。，：.PA±BD,故A,B,D正確，故選C.

7.如圖，在直四棱柱ABCO-ABiGQ