專題3.14 勾股定理（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（分層練習(xí)）（基礎(chǔ)篇）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題3.14勾股定理（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（分層練習(xí)）（基礎(chǔ)篇）一、單選題1．下面的四組數(shù)中不是勾股數(shù)的一組是（

）A．5，8，10 B．5，12，13 C．6，8，10 D．3，4，52．一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，那么它斜邊長(zhǎng)的平方為（）A．5或7 B．25 C．25或16 D．53．如圖，在中，，若，則正方形和正方形的面積和為（

）

A．25 B．30 C．35 D．404．在中，，，的對(duì)邊分別是，，，若，則（

）A． B． C． D．5．已知一輪船以18海里/小時(shí)的速度從港口出發(fā)向西南方向航行，另一輪船以24海里/小時(shí)的速度同時(shí)從港口出發(fā)向東南方向航行，離開港口1.5后，兩輪船相距（

）A．30海里 B．35海里 C．40海里 D．45海里6．一只螞蟻沿直角三角形的邊長(zhǎng)爬行一周需2秒，如果將直角三角形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大1倍，那么這只螞蟻再沿邊長(zhǎng)爬行一周需（

）.A．6秒 B．5秒 C．4秒 D．3秒7．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面處折斷倒下，樹干頂部落在距根部處，這棵大樹在折斷前的高度為（

）A．5米 B．7米 C．8米 D．12米8．如圖，大正方形是由4個(gè)小正方形組成，小正方形的邊長(zhǎng)為2，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，得到△ABC，則△ABC的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．109．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，則S2的值是（）A．15 B．20 C．25 D．3010．勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，大約有五百多種證明方法，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個(gè)圖形，哪一個(gè)是趙爽弦圖（

）A． B．C． D．二、填空題11．勾股數(shù)為一組連續(xù)自然數(shù)的是_______12．在中，斜邊，則______．13．如圖，網(wǎng)格中的小正方形的邊長(zhǎng)均為1，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則AB邊上的高為___________．14．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為9cm，則正方形A，B，C，D的面積的和是____cm215．如圖，折疊直角三角形紙片ABC，使得兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A、C重合，設(shè)折痕為DE，若AB=4，BC=3，則△ADC的周長(zhǎng)是__________

16．如圖，有一個(gè)透明的直圓柱狀的玻璃杯，現(xiàn)測(cè)得內(nèi)徑為5cm，高為12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì)，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少為____．17．如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，則它爬行的最短距離為_____．18．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中最重要的一種，共收有個(gè)數(shù)學(xué)問題，分為九章．在第九章“勾股”中有一題目：今有垣高一丈．依木于垣，上與垣齊．引木卻行四尺，其木至地，問木長(zhǎng)幾何？意思是：一道墻高一丈（丈尺），一根木棒靠于墻上，木棒上端與墻頭齊平，若木棒下端向后退，則木棒上端會(huì)隨著往下滑，當(dāng)木棒下端向后退了四尺時(shí)，木棒上端恰好落到地上，則木棒長(zhǎng)______________________尺．

三、解答題19．如圖，，，垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若，，求CD的長(zhǎng)度．20．《城市交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：小汽車在城市街路上的行駛速度不得超過70千米/時(shí)．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A正前方30米的C處，過了2秒后，小汽車行駛至B處，若小汽車與觀測(cè)點(diǎn)間的距離AB為50米，請(qǐng)通過計(jì)算說明：這輛小汽車是否超速？21．如圖，把長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處.（1）試說明；（2）設(shè)，，，試猜想，，之間的關(guān)系，并說明理由.22．某海上有一小島，為了測(cè)量小島兩端A，B的距離，測(cè)量人員設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方法，如圖，已知B是CD的中點(diǎn)，E是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠CED＝90°，測(cè)得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．(1)求小島兩端A，B的距離．(2)過點(diǎn)C作CF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求值．23．如圖，有一架秋千，當(dāng)他靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將他往前推送（水平距離）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長(zhǎng)度．24．在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值．參考答案1．A【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念可進(jìn)行排除選項(xiàng)．解：A、，不是勾股數(shù)，故符合題意；B、，是勾股數(shù)，故不符合題意；C、，是勾股數(shù)，故不符合題意；D、，是勾股數(shù)，故不符合題意；故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】分兩種情況考慮，當(dāng)3和4是直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理求出斜邊的平方即可，當(dāng)4是斜邊時(shí)，直接計(jì)算斜邊長(zhǎng)的平方即可．解：當(dāng)3和4是直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理得斜邊的平方，當(dāng)4是斜邊時(shí)，斜邊的平方．故斜邊長(zhǎng)的平方為25或16．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，注意此類題需要進(jìn)行分類討論．3．A【分析】利用勾股定理，這兩個(gè)正方形的面積和等于即可求解．解：∵，∴，∴正方形和正方形的面積和為，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理，一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．4．C【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．解：，，的對(duì)邊分別是，，，，為斜邊，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，得兩條船分別走了27，36．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．解：∵兩船行駛的方向是西南方向和東南方向，∴∠BAC＝90°，兩小時(shí)后，兩艘船分別行駛了18×1.5＝27，24×1.5＝36海里，根據(jù)勾股定理得：＝45（海里）．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡(jiǎn)單．6．C【分析】本題根據(jù)放大后的三角形與三角形相似，故可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解，兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比的比值叫做相似比．解：直角三角形各邊的長(zhǎng)度擴(kuò)大一倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大1倍，故爬行時(shí)間擴(kuò)大一倍．故只螞蟻再沿邊長(zhǎng)爬行一周需4秒．故選C.【點(diǎn)撥】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是：相似三角形的應(yīng)用.由題意得出兩個(gè)三角形是相似三角形和靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，這也是解決此題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).7．C【分析】先根據(jù)勾股定理求出大樹折斷部分的高度，再根據(jù)大樹的高度等于折斷部分的長(zhǎng)與未斷部分的和即可得出結(jié)論．解：如圖所示：∵是直角三角形，，，∴∴這棵樹原高：，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)大樹的高度進(jìn)行解答．8．B【分析】根據(jù)題意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．解：如圖所示，∵大正方形是由4個(gè)小正方形組成，小正方形的邊長(zhǎng)為2，∴由題意可得，＝S正方形DEFA－故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了割補(bǔ)法求三角形面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確得到＝S正方形DEFA－．9．B【分析】設(shè)每個(gè)小直角三角形的面積為m，則S?＝4m＋S?，S?＝S??4m，依據(jù)S?＋S?＋S?＝60，可得4m＋S?＋S?＋S??4m＝60，進(jìn)而得出S?的值．解：設(shè)每個(gè)小直角三角形的面積為m，則S?＝4m＋S?，S?＝S??4m，因?yàn)镾?＋S?＋S?＝60，所以4m＋S?＋S?＋S??4m＝60，即3S?＝60，解得S?＝20．故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．10．A【分析】根據(jù)趙爽弦圖證明勾股定理的方法即可求解．解：趙爽弦圖，是個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊為，較短的直角邊為，中間小正方形的邊長(zhǎng)為，∴選項(xiàng)，是趙爽弦圖，符合題意；選項(xiàng)，不是趙爽弦圖，不符合題意；選項(xiàng)，不是趙爽弦圖，不符合題意；選項(xiàng)，不是趙爽弦圖，不符合題意；故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)趙爽弦圖的理解，掌握勾股定理的證明方法，趙爽弦圖證明勾股定理的方法是解題的關(guān)鍵．11．3、4、5【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義若兩個(gè)較小自然數(shù)的平方和等于另一個(gè)自然數(shù)的平方，那么這三個(gè)自然數(shù)叫做一組勾股數(shù)即可解答．解：根據(jù)題意：，所以3、4、5為勾股數(shù)．故答案為：3、4、5．【點(diǎn)撥】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股數(shù)，關(guān)鍵是明確題意，直接寫出答案．12．2【分析】根據(jù)勾股定理，可知兩直角邊的平方和等于斜邊平方，進(jìn)而得出答案．解：∵在中，斜邊∴∴故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理，發(fā)現(xiàn)題干中．13．【分析】如圖（見分析），先根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)、勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．解：設(shè)AB邊上的高為h如圖，由網(wǎng)格的特點(diǎn)得：解得故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的網(wǎng)格問題，熟記勾股定理是解題關(guān)鍵．14．81解：根據(jù)勾股定理知正方形A，B，C，D的面積的和是92=81cm2．故答案是：81．15．【分析】首先根據(jù)勾股定理設(shè)，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．解：∵折疊直角三角形紙片，使兩個(gè)銳角頂點(diǎn)、重合，∴，設(shè)，則，故，∵，∴，即，解得，∴．則在中，由勾股定理得∴AC=5∴周長(zhǎng)為AD+CD+AB=．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及折疊的性質(zhì)，掌握勾股定理和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．2cm【分析】吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少，即在杯內(nèi)最長(zhǎng)，可用勾股定理解答．解：∵CD=5cm，AD=12cm，∠ADC=90°，∴，露出杯口外的長(zhǎng)度最少為=15-13=2cm．故答案為：2cm．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，所述問題是一個(gè)生活中常見的問題，能將實(shí)際情況于勾股定理巧妙結(jié)合是解題關(guān)鍵．17．13m/13米【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．解：如圖所示，臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，，，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．由勾股定理得：，即，，故答案為：m．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平面展開圖—最短路徑問題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．18．【分析】當(dāng)木棒的上端與墻頭平齊時(shí)，木棒與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木棒長(zhǎng)為x尺，則木棒底端離墻有（x-4）尺，根據(jù)勾股定理可求出x的值．解：如圖，設(shè)木棒AB長(zhǎng)為x尺，則木棒底端B離墻的距離即BC的長(zhǎng)有（x-4）尺，

在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-4）2=x2，解得，x=14.5,故答案為：14.5．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問題抽象出直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．19．(1)見詳解；(2)12【分析】（1）根據(jù)，，得出∠AEB=∠ADC=90°，利用AAS可證△ABE≌△ACD；（2）先根據(jù)勾股定理求出BE，然后結(jié)合△ABE≌△ACD即可得解．解：（1）證明：∵，，∴∠AEB=∠ADC=90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）解：在Rt△ABE中，BE=，由（1）知△ABE≌△ACD，∴CD=BE=12．【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．20．這輛小汽車超速了．【分析】求出BC的距離，根據(jù)時(shí)間求出速度，從而可知道是否超速．解：根據(jù)題意：∠ACB=90°由勾股定理可得：BC=米40米=0.04千米，2秒=小時(shí)；0.04÷=72千米/時(shí)>70千米/時(shí)；所以超速了．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握構(gòu)造直角三角形，確定直角邊，斜邊即可．21．（1）證明見分析；（2），，之間的關(guān)系是．理由見分析．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對(duì)等邊即可說明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之間的關(guān)系．解：（1）由折疊的性質(zhì)，得，，在長(zhǎng)方形紙片中，，∴，∴，∴，∴．（2），，之間的關(guān)系是．理由如下：由（1）知，由折疊的性質(zhì)，得，，．在中，，所以，所以．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，靈活利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．22．(1)33.4海里；(2)【分析】（1）利用勾股定理求出CD，再根據(jù)斜邊的中線等于斜邊的一半求出BE，則AB可求；（2）設(shè)BF＝x海里．利用勾股定理先表示出CF2，在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，利用勾股定理有CF2＋EF2＝CE2，即，解方程即可得解．解：（1）在△DCE中，∠CED＝90°，DE＝60海里，CE＝80海里，由勾股定理可得（海里），∵B是CD的中點(diǎn)，∴（海里）