專題5.1 平行線的判定【九大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

專題5.1平行線的判定【九大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】 1【題型2平行、垂直】 5【題型3平行公理及其推論】 8【題型4同位角相等，兩直線平行】 11【題型5內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】 13【題型6同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 16【題型7平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】 19【題型8角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】 22【題型9平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】 26【題型1對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】【例1】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)期中）下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角的概念逐一判斷即可．【詳解】解：A、∠1與∠2的頂點(diǎn)不相同，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意；B、∠1與∠2的一邊不是反向延長(zhǎng)線，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意；C、∠1與∠2是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)符合題意；D、∠1與∠2的一邊不是反向延長(zhǎng)線，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角的判斷，有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角,解題關(guān)鍵是熟練掌握定義，正確判斷．【變式1-1】（2022·廣東·揭西縣陽(yáng)夏華僑中學(xué)七年級(jí)期末）已知：如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB(1)圖中的對(duì)頂角有對(duì)，它們是．(2)圖中互補(bǔ)的角有對(duì)，它們是．(3)求∠EOD的度數(shù)．【答案】(1)兩；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD(3)140°【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角的定義，判斷即可；（2）根據(jù)補(bǔ)角的定義進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，設(shè)∠BOC＝x，則∠EOC＝∠AOE＝25x，列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度數(shù)，再求出∠DOE（1）解：圖中的對(duì)頂角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．故答案為：兩；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．（2）圖中互補(bǔ)的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠BOE=180°，∴∠COE+∠BOE=180°，∴∠EOC和∠EOB互補(bǔ)，∵∠COE+∠EOD=180°，∴∠AOE+∠EOD=180°，∴∠AOE和∠EOD互補(bǔ)．故答案為：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD．（3）∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠AOE，設(shè)∠BOC＝x，則∠EOC＝∠AOE＝25x25x+25x+x＝解得：x＝100°∴∠EOC＝∠AOE＝12（180°﹣100°）＝40°∴∠DOE＝100°+40°＝140°，答：∠EOD的度數(shù)為140°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角的定義、補(bǔ)角的定義、角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)定義，根據(jù)題意求出∠BOC的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°【答案】65°【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠EOD=90°【詳解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°，∴∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度數(shù)是多少？【答案】(1)33(2)∠AOC的度數(shù)是72°【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，求出∠EOF和∠EOB的度數(shù)，再根據(jù)角的和差即可得∠BOF的度數(shù)；（2）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根據(jù)角分線的定義，列出等式即可求得結(jié)果．（1）∵∠AOC=76°，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=38°，∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°-∠DOE=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=71°，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=71°-38°=33°故答案為：33；（2）設(shè)∠AOC=x°，∴∠BOD=∠AOC=x°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=1∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°-∠DOE=180°-1∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=1∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∠BOF=36°∴36°+1∴x=72°．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是觀察圖形分清楚哪兩個(gè)角相等，哪些角相加得180度．【題型2平行、垂直】【例2】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)A到直線l2的距離等于4B．點(diǎn)C到直線l1的距離等于4C．點(diǎn)C到AB的距離等于4D．點(diǎn)B到AC的距離等于3【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)A到直線l2的距離為AB的長(zhǎng)，等于4，故A正確；點(diǎn)C到直線l1的距離為AC的長(zhǎng)，大于4，故B錯(cuò)誤；點(diǎn)C到AB的距離為BC的長(zhǎng)，等于3，故C錯(cuò)誤；同理，點(diǎn)B到AC的距離也不是3，故D錯(cuò)誤，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離，掌握定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,bB．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥cC．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥cD．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分析判斷即可．【詳解】A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b∥B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a//C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥c，則D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b∥故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·吉林·公主嶺市陶家中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，因?yàn)锳B⊥l，BC⊥l，B為垂足，所以AB和BC重合，其理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．垂直同一條直線的兩條直線平行D．垂線段最短【答案】B【分析】利用“平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，逐一分析，排除錯(cuò)誤答案即可．【詳解】解：A.點(diǎn)A、C可以確定一條直線，但不可以確定三點(diǎn)B、A、C都在直線l的垂線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.直線BA、BC都經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)B，且都垂直于直線l，故本選項(xiàng)正確；C.在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.此題沒(méi)涉及到線段的長(zhǎng)度，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義、兩點(diǎn)確定一條直線、垂線段最短，熟練掌握和運(yùn)用各定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.【變式2-3】（2022·江蘇·九年級(jí)）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，利用三角形的面積可列式計(jì)算求解MP的最小值．【詳解】解：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB?MP＝AM?BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案為：4.8．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時(shí)的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)平行線的判定】1.平行公理及其推論①經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.2.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）【題型3平行公理及其推論】【例3】（2022·江西上饒·七年級(jí)期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（

）A．a(chǎn)∥d B．b⊥d C．a(chǎn)⊥d D【答案】C【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證a∥c，再結(jié)合c⊥d，可證【詳解】解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥∵c⊥d，∴a⊥d，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行．【變式3-1】（2022·河南漯河·七年級(jí)期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是（

）A．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行【答案】B【分析】三條直線AB、a、b位于同一平面內(nèi)，且直線a與直線b都垂直于AB，即可根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行的性質(zhì)來(lái)判斷出a∥b．【詳解】∵直線AB、a、b位于同一平面內(nèi)，且AB⊥a、AB⊥b∴a∥b（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定的性質(zhì)，根據(jù)已知題目反應(yīng)出兩條直線是同一平面內(nèi)，且同時(shí)垂直于一條直線是本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b//c，則a//c；④a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若ab，bc，則ac；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)可判斷①，根據(jù)兩銳角的大小求和可判斷②，根據(jù)平行公理推論可判斷③，根據(jù)垂直定義得出∠1=∠2=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行的判定可判斷④．【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故①不正確；②兩個(gè)銳角的和可以是銳角，直角，鈍角，故②不正確；③a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b//c，則a//c，故③正確；④a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，如圖∵ab，bc，∴∠1=90°，∠2=90°，∴∠1=∠2∴a∥c，故④不正確；∴真命題只有1個(gè)．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，兩銳角和的大小，掌握平行線的性質(zhì)與判定，銳角定義是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年級(jí)期末）如圖，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF與AB平行嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．解：因?yàn)樗訽___________∥___________．（

）又因?yàn)锳B∥所以AB∥EF．（【答案】CD∥EF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定定理完成填空即可求解．【詳解】解：因?yàn)椤?=∠2?，所以CD∥EF．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）又因?yàn)锳B∥CD所以AB∥EF【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，平行公理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型4同位角相等，兩直線平行】【例4】（2022·甘肅·隴南育才學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，AB⊥MN，垂足為B，CD⊥MN，垂足為D，∠1＝∠2．在下面括號(hào)中填上理由．因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因?yàn)椤?＝∠2()，所以∠ABM-∠1＝∠CDM-∠2()，即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥【答案】

已知

等量減等量，差相等

同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)垂線的定義，得出∠ABM＝∠CDM＝90°，再根據(jù)角的等量關(guān)系，得出∠EBM＝∠FDM，然后再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得出EB∥【詳解】因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因?yàn)椤?＝∠2（已知），所以∠ABM-∠1＝∠CDM-∠2（等量減等量，差相等），即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握平行線的判定定理．【變式4-1】（2022·湖北·蘄春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______．【答案】同位角相等，兩直線平行【分析】作圖時(shí)保持∠1=∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可畫出已知直線的平行線．【詳解】解：過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．故答案為：同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)．【變式4-2】（2022·山東泰安·七年級(jí)期末）如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．請(qǐng)說(shuō)明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？【答案】BE∥DF，見(jiàn)解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用∠1+∠2=90°，∠2=∠3，得到∠1=∠4，即可得到結(jié)論BE∥DF．【詳解】解：BE∥DF，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BE∥DF．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·北京東城·七年級(jí)期末）如圖，直線l與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∠1-∠2=90°．判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】AB∥CD；理由見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠1的度數(shù)，然后求出∠CFE和∠2的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的判定進(jìn)行解答即可．【詳解】解：AB∥CD；理由如下：∵∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∴設(shè)∠1=α，則∠1的補(bǔ)角為13∴α+1解得：α=135°，∴∠1=135°，∴∠CFE=180°-∠1=45°，∵∠1-∠2=90°，∴∠2=∠1-90°=45°，∴∠2=∠CFE=45°，∴AB∥CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算，平行線的判定，根據(jù)題意求出∠2=∠CFE=45°，是解題的關(guān)鍵．【題型5內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】【例5】（2022·山東·曲阜九巨龍學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在直線DE上，AB⊥AC于A，∠1與∠C互余，DE和BC平行嗎？若平行，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】平行，理由見(jiàn)解析【分析】由垂直定義可得∠BAC=90°，根據(jù)平角定義得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1與∠C互余，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得出∠CAE=∠C，根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：平行，理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠1+∠CAE=90°，∵∠1與∠C互余，即∠1+∠C=90°，∴∠CAE=∠C，∴DE∥BC．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，余角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級(jí)期中）如圖，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求證：a∥b．【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，求得∠4=75°，再根據(jù)∠1=75°，即可得到∠1=∠4，進(jìn)而判定a∥【詳解】證明：如下圖：∵∠4=∠3+∠2=75°，又∵∠1=75°，∴∠1=∠4，∴a∥【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解題時(shí)注意：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【變式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CF是△ABC外角∠ACM的平分線，∠ACB=40°，【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由角平分線的定義及補(bǔ)角的定義可求得∠ACE的度數(shù)，即可得∠【詳解】證明：∵∠ACB∴∠ACM∵CF是△ABC外角∠∴∠ACF∵∠A∴∠A∴AB∥【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)和平行線的判定，證得∠A【變式5-3】（2022·遼寧·阜新市第十中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，試說(shuō)明AD∥BC【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAC=∠1，等量代換得∠ACB=∠BAC，根據(jù)∠CAB=12∠BAD可得∠ACB【詳解】證明：∵AB∥∴∠BAC=∠1，∵∠1=∠ACB，∴∠ACB=∠BAC，∵∠CAB=1∴∠ACB=∠DAC，∴AD∥【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．【題型6同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】【例6】（2022·河北衡水·七年級(jí)階段練習(xí)）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求證：AB∥【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定．【變式6-1】（2022·西藏昂仁縣中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求證：AD∥BC．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明即可．【詳解】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠CAD＝20°，∠B＝70°，∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°，∴AD∥BC．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定、垂直定義，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.(1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)AD與BC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)∠DAB+∠B=180°(2)AD∥BC；理由見(jiàn)解析【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，從而可求得∠DAB+∠B=180°；（2）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可得AD∥BC．（1）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．又∵∠1=30°，∴∠BAD=120°，∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°．（2）解：AD∥BC．理由如下：∵∠DAB+∠B=180°，∴AD∥BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【變式6-3】（2022·北京市第五中學(xué)分校七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)M，G在AB上，GF交BD于點(diǎn)H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求證：MD∥GF．下面是小穎同學(xué)的思考過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程并在括號(hào)內(nèi)填上證明依據(jù)．證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠2＝∠CBD（②）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代換）．∴③（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④）．∴MD∥GF（⑤）．【答案】垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF∥BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行．【分析】根據(jù)垂直定義得出∠BDC＝∠EFC，根據(jù)平行線的判定推出BD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根據(jù)平行線的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．【詳解】證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定義）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠2＝∠CBD（兩直線平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代換）．∴GF∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∴MD∥GF（平行于同一直線的兩直線平行）．故答案為：垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF∥BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型7平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】【例7】（2022·廣西賀州·七年級(jí)期末）如圖，有下列條件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判斷直線a∥A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．依據(jù)平行線的判定方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠3＋∠4＝180°，可得a∥b；③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；故能判斷直線a∥b的有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】因?yàn)椤?是直角，只要找出與∠2互為同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)平行線的判定定理判定即可得到正確答案．【詳解】因?yàn)椤?是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠5和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，如果度量出∠5=90根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠3和∠2是同旁內(nèi)角，如果度量出∠3=90°根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，所以答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理．【變式7-2】（2022·山西臨汾·七年級(jí)期末）在下列圖形中，已知∠1=∠2，一定能推導(dǎo)出l1∥lA． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，對(duì)頂角相等和平行線的判定定理即可求解．【詳解】解：A.如圖，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推導(dǎo)出l1B.如圖，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推導(dǎo)出l1C.如圖，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推導(dǎo)出l1D.如圖，∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴一定能推導(dǎo)出l1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，關(guān)鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的知識(shí)點(diǎn)．【變式7-3】（2022·山東日照·七年級(jí)期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可．【詳解】因?yàn)椤?=∠2，所以DE∥故A不符合題意；因?yàn)椤?=∠4，不能判斷DE∥故B符合題意；因?yàn)椤?=∠C，所以DE∥故C不符合題意；因?yàn)椤螧+∠BDE=180°，所以DE∥故D不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型8角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】【例8】（2022·吉林·大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由．【答案】平行，理由見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，從而可得【詳解】解：BE∥DF，理由如下：∵BE,DF分別平分∠ABC,∠ADC，∴∠ABE=1∵∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADF+∠ABE=1又∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ABE=∠AFD，∴BE∥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥證明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴AB∥CD（【答案】ECD；角平分線的性質(zhì)；ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定依據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】證明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠ECD（角平分線的性質(zhì)），∵∠1＝∠2．（已知），∴∠1＝∠ECD（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）．故答案為：ECD；角平分線的定義；ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答．【變式8-2】（2022·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代換）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=12______（∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=12______（∴∠EBF＝______∴BE∥CF（____________）【答案】對(duì)頂角相等；∠BFG；∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，結(jié)合上下文填空即可．【詳解】證明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等）∠BFG＝∠2（對(duì)頂角相等）∴∠ABF＝∠BFG（等量代換）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=12∠ABF（∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=12∠BFG（∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故答案為：對(duì)頂角相等；∠BFG；∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角的定義及性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，能夠熟練掌握平行線的判定是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德?tīng)柕谌袑W(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請(qǐng)說(shuō)明AE∥GF的理由．解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(______)，所以∠BAG=∠AGC(______)．因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1=12因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2=12得∠1=∠2(等量代換)，所以______(______)．【答案】平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；AE∥GF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】由題意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分線的定義得∠1=12∠BAG，∠2=12【詳解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（平角的定義），∴∠BAG=∠AGC（同角的補(bǔ)角相等）．∵EA平分∠BAG，∴∠1=1∵FG平分∠AGC，∴∠2=1∴∠1=∠2（等量代換），∴AE∥GF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；AE∥GF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，補(bǔ)角的性質(zhì)和平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理并靈活運(yùn)用．【題型9平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2022·全國(guó)·