專題5.6 二次函數(shù)與特殊三角形存在性綜合問題（三大題型）（原卷版）

專題5.6二次函數(shù)與特殊三角形存在性綜合問題（三大題型）重難點題型歸納【題型1等腰三角形的存在性問題】【題型2直角三角形的存在性問題】【題型3等腰直角三角形存在性問題】等腰三角形的存在性問題【方法1幾何法】“兩圓一線”（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．注意：若有重合的情況，則需排除．以點C1為例，具體求點坐標(biāo)：過點A作AH⊥x軸交x軸于點H，則AH=1，又類似可求點C2、C3、C4．關(guān)于點C5考慮另一種方法．【方法2代數(shù)法】點-線-方程表示點：設(shè)點C5坐標(biāo)為(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），表示線段：聯(lián)立方程：，，直角三角形的存在性【方法1幾何法】“兩線一圓”（1）若∠A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（2）若∠B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C．（直徑所對的圓周角為直角）如何求得點坐標(biāo)？以為例：構(gòu)造三垂直．【方法2代數(shù)法】點-線-方程【題型1等腰三角形的存在性問題】【典例1】（2023秋?江津區(qū)校級月考）如圖，拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上位于第三象限內(nèi)的一點．（1）求拋物線的解析式．（2）連接AP、PC、CB，求四邊形APCB面積的最大值及此時P點的坐標(biāo)．（3）點D為拋物線對稱軸上的一點，當(dāng)以點A、C、D為頂點的三角形為等腰三角形時，請寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo)，并把求其中一個點D的過程寫出來．【變式1-1】（2023秋?東湖區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點C．點P（m，0）是x軸上的一動點，PM⊥x軸，交直線AC于點M，交拋物線于點N．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）①若點P僅在線段AO上運動，求線段MN的最大值；②若點P在x軸上運動，當(dāng)△CMN為等腰三角形時，寫出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．【變式1-1】（2023秋?大洼區(qū)校級月考）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（4，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，點E是拋物線上的第一象限的點，求S△ACE的最大值，并求S△ACE取得最大值時E點坐標(biāo)；（3）如圖2，在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使△ACP是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．【變式1-2】（2023秋?金州區(qū)月考）如圖，拋物線y＝ax2+bx過點A（5，0），點B（4，4）．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）作直線x＝m交拋物線于點P，交線段OB于點Q，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求m的值．【變式1-3】（2023秋?廣西月考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于點A（1，0）和B（4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方的拋物線對稱軸上一點，C是第一象限拋物線上一點，若EF＝2，點C的橫坐標(biāo)是5，求證：四邊形OECF是平行四邊形；（3）在（2）的條件下，若點P是x軸上的一個動點，當(dāng)△OCP是等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．【變式1-4】（2022秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，已知拋物線y＝﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；（2）求點C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式1-5】（2023秋?吉林期中）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C（﹣1，0），直線y＝﹣x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點D，其中A點的坐標(biāo)為（﹣3，4），B點在y軸上．（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）求△ABC的面積；（3）在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點Q，使得以A，B，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【題型2直角三角形的存在性問題】【典例2】（2022秋?云陽縣期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線得解析式；（2）若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求此時點P的坐標(biāo)．（3）設(shè)拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上確定一點M，使得△ADM是直角三角形，寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)，并任選其中一個點的坐標(biāo)，寫出求解過程．【變式2-1】（2023春?興寧區(qū)校級月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+1與直線l2：x＝﹣2相交于點D，點A是直線l2上的動點，過點A作AB⊥l1于點B，點C的坐標(biāo)為（0，3），連接AC，BC．設(shè)點A的縱坐標(biāo)為t，△ABC的面積為s．?（1）當(dāng)點B的坐標(biāo)為時，直接寫出t的值；（2）s關(guān)于t的函數(shù)解析式為，其圖象如圖2所示，結(jié)合圖1、2的信息，求出a與b的值；（3）在l2上是否存在點A，使得△ABC是直角三角形？若存在，請求出此時點A的坐標(biāo)和△ABC的面積；若不存在，請說明理由．【變式2-2】（2023?莊浪縣三模）如圖：已知二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象與x軸交于A，B點，與y軸交于點C，其中B（2，0），C（0，4）．（1）求該拋物線的解析式；（2）P是第一象限拋物線的一個動點，當(dāng)P點運動到何處時，由點P，B，C構(gòu)成的三角形的面積最大，求出此時P點的坐標(biāo)；（3）若M是拋物線上的一個動點，當(dāng)M運動到何處時，△MBC是以BC為直角邊的直角三角形，求出此時點M的坐標(biāo)．?【變式2-3】（2022秋?郊區(qū)期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)為C（3，6），并與y軸交于點B（0，3），點A是對稱軸與x軸的交點，直線AB與拋物線的另一個交點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）連接BC、CD，判斷△BCD是什么特殊三角形，并說明理由；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使△BDP為以BD為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點P坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【變式2-4】（2023秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，2），B（0，﹣2），其對稱軸為直線，為y軸上一點，直線AC與拋物線交于另一點D．（1）求拋物線的解析式；（2）試在線段AD下方的拋物線上求一點E，使得△ADE的面積最大，并求出最大面積；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求點F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【變式2-5】（2023?歷下區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標(biāo)為（4，﹣3）．（1）請直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達式；（2）若點P是拋物線上的點，點P的橫坐標(biāo)為m（m≥0），過點P作PM⊥x軸，垂足為M．PM與直線l交于點N，當(dāng)點N是線段PM的三等分點時，求點P的坐標(biāo)；（3）若點Q是對稱軸上的點，且△ADQ為直角三角形，求點Q的坐標(biāo)．【題型3等腰直角三角形存在性問題】【典例3】（2023?增城區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為直線BC下方拋物線上的一動點，PM⊥BC于點M，PN∥y軸交BC于點N．求線段PM的最大值和此時點P的坐標(biāo)；（3）點E為x軸上一動點，點Q為拋物線上一動點，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角三角形CEQ？若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式3-1】（2023?撫遠市二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B（2，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上有一點P，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，若△APQ是等腰直角三角形，求點P的坐標(biāo)．【變式3-2】（2023?富錦市校級一模）如圖，是拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B（2，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上有一點P，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，若△APQ是等腰直角三角形，求點P的坐標(biāo)．【變式3-3】（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．?（1）求該拋物線的解析式；（2）點M為該拋物線的對稱軸l上一點，點P為該拋物線上的點且在l左側(cè)，當(dāng)△AMP是以M為直角頂點的等腰直角三角形時，求符合條件的點M的坐標(biāo)．【變式3-4】（2023?西安一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣1的頂點A的坐標(biāo)為，與y軸交于點B．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P是拋物線上的動點，過點P作PM⊥x軸于點M，以PM為斜邊作等腰直角三角形PMN，當(dāng)點N恰好落在y軸上時，求點P的坐標(biāo)．【變式