第十屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)優(yōu)課-茶水最佳飲用時(shí)間的探究

建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

——茶水最佳飲用時(shí)間的探究杭州師范大學(xué)附屬未來(lái)科技城學(xué)校（杭州二中未來(lái)科技城學(xué)校）李盛內(nèi)容分析本課定位關(guān)聯(lián)知識(shí)教學(xué)重點(diǎn)1Partone教學(xué)分析目標(biāo)設(shè)置內(nèi)容解析學(xué)情分析教學(xué)策略內(nèi)容解析數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一。在2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是教材的四條內(nèi)容主線之一，是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體?！督⒑瘮?shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題》是新修訂的人教A版(2019年版)高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修1第四章后單列的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的一個(gè)專題內(nèi)容,茶水最佳飲用問(wèn)題則是它在第一部分提供的數(shù)學(xué)建模的一個(gè)實(shí)例，是繼“函數(shù)的概念與性質(zhì)”(含冪函數(shù))、“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”的后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，也為今后進(jìn)一步研究用更多的函數(shù)建模解決實(shí)際問(wèn)題埋下伏筆，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)建模素養(yǎng)的落實(shí)，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用.本課定位關(guān)聯(lián)知識(shí)教學(xué)重點(diǎn)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)歷并會(huì)模仿完整的建模過(guò)程檢驗(yàn)改進(jìn)模型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型教學(xué)目標(biāo)分析能力目標(biāo)情感目標(biāo)意志品質(zhì)目標(biāo)2Parttwo能力目標(biāo)情感目標(biāo)意志品質(zhì)目標(biāo)1.培養(yǎng)堅(jiān)強(qiáng)的意志，敢于面對(duì)復(fù)雜的數(shù)據(jù)，復(fù)雜的模型，克服困難，一往無(wú)前1.多角度建立函數(shù)模型,體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的文化內(nèi)涵.2.函數(shù)模型直觀易懂，彰顯了數(shù)學(xué)的美妙,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美，體驗(yàn)理性思考的樂(lè)趣．1.通過(guò)觀察學(xué)習(xí)如何從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題2.通過(guò)引例教學(xué)，初步了解數(shù)學(xué)建模的基本步驟。3.通過(guò)實(shí)例教學(xué)，深化對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用價(jià)值.4.初步學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的處理方法,提高數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)。教學(xué)目標(biāo)學(xué)情分析有利因素不利因素3Partthree目標(biāo)設(shè)置內(nèi)容解析學(xué)情分析教學(xué)策略學(xué)情分析有利因素

在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)，具備一定的知識(shí)儲(chǔ)備.在前面函數(shù)應(yīng)用的教學(xué)中,教材已明確提出要提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的要求，學(xué)生也熟悉了用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程.作為高中生，他們已經(jīng)具備一定的自主探究、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

開(kāi)課班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)較好,運(yùn)用TI手持教育技術(shù)，電腦軟件Excel中選擇擬合功能建立模型和希沃授課助手投影展示,豐富教學(xué)內(nèi)容的表現(xiàn)形式，使抽象的問(wèn)題直觀化、靜態(tài)的問(wèn)題動(dòng)態(tài)化.小組合作,在真實(shí)的實(shí)驗(yàn)情境中分工采集數(shù)據(jù),正確及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，體現(xiàn)信息技術(shù)作為學(xué)習(xí)和評(píng)價(jià)工具的價(jià)值,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)建模素養(yǎng)的方法,提高數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)．不利因素本節(jié)以課題研究的形式開(kāi)展，采用選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題四環(huán)節(jié)來(lái)推進(jìn)建模活動(dòng),是學(xué)生從來(lái)沒(méi)接觸過(guò)的一種方法，這對(duì)他們的思維是一個(gè)突破.雖然高中生他們具備一定的自主探究、分析問(wèn)題的能力，但是邏輯思維還不夠完善，可能在某些問(wèn)題上考慮的不夠全面，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，所以除了需要給學(xué)生提供數(shù)學(xué)建模完整過(guò)程的體驗(yàn)外，還需要教師進(jìn)行指導(dǎo)學(xué)生如何從實(shí)際情境中用數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題．

學(xué)生收集數(shù)據(jù),由于實(shí)驗(yàn)環(huán)境、容器形狀等因素影響，實(shí)驗(yàn)中收集到的數(shù)據(jù)與教科書(shū)的不一定一致，不同小組收集到的數(shù)據(jù)也可能不一致．另外,由于實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)比較復(fù)雜,學(xué)生并不一定能看出其具有的規(guī)律，需要運(yùn)用信息技術(shù)加以輔助。

由于函數(shù)模型的多樣性，函數(shù)模型的精確選擇與建立,需要實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證.由于數(shù)據(jù)量總是有限的,確定符合實(shí)際的函數(shù)模型,不少學(xué)生會(huì)感到有困難，同樣需通過(guò)信息技術(shù)降低難度。教學(xué)分析目標(biāo)設(shè)置內(nèi)容解析學(xué)情分析教學(xué)策略教學(xué)支持條件

溫度計(jì)圖形計(jì)算器教學(xué)分析教學(xué)策略4Partfour挖掘教材的內(nèi)容內(nèi)涵，明確教學(xué)的知識(shí)挖掘教材的多向聯(lián)系，明確學(xué)生的認(rèn)知成長(zhǎng)體系挖掘教材的思維因素，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)挖掘教材的過(guò)程內(nèi)涵，明確教學(xué)的能力目標(biāo)說(shuō)教法數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是核心素養(yǎng)的重要組成部分，要理解數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵，主要著重于面對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象、體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型及檢驗(yàn)改進(jìn)模型幾個(gè)方面，從而達(dá)到讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題。目標(biāo)設(shè)置內(nèi)容解析學(xué)情分析教學(xué)策略教學(xué)策略本節(jié)課采用了：(1)注重適合學(xué)生體會(huì)建模過(guò)程的教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)(2)構(gòu)建數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式:雙主線混合推進(jìn)教學(xué)流程：新課導(dǎo)入→牛刀小試→駕輕就熟→課堂小結(jié)→布置作業(yè)和煮水→煎茶→分茶→飲茶→探求飲茶最佳水溫兩條主線混合推進(jìn).在課堂推進(jìn)過(guò)程中，充分體現(xiàn)中國(guó)茶文化的博大精深，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本方法。(3)重視數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累模型假設(shè)是數(shù)學(xué)建模的前提，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題紛繁復(fù)雜，需要控制其它的變量，抓住主要的變量才能將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化。模型的建立是數(shù)學(xué)建模的核心，體現(xiàn)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，模型的建立需要從數(shù)據(jù)的采集、數(shù)據(jù)的分析（不僅僅是散點(diǎn)圖、也可以用專業(yè)的統(tǒng)計(jì)軟件分析數(shù)據(jù)的性質(zhì)）、數(shù)據(jù)的函數(shù)性質(zhì)分析、函數(shù)模型的選擇這樣四個(gè)步驟完成。模型的求解，需要在算法設(shè)計(jì)和效果的優(yōu)化兩個(gè)角度進(jìn)行，而不僅僅是根據(jù)課本完成解答，需要告訴學(xué)生為什么這樣計(jì)算。模型的檢驗(yàn)是建模必不可少的部分，要讓學(xué)生理解其中的基本意義，不能用簡(jiǎn)單的“效果不錯(cuò)”來(lái)回答。最終模型的應(yīng)用要注意和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的比較。教學(xué)分析模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷那蠼饨⒛Ｐ蛦?wèn)題升華問(wèn)題提出新課引入教學(xué)過(guò)程數(shù)學(xué)抽象能力邏輯推理能力數(shù)學(xué)建模能力自主探究精神數(shù)學(xué)運(yùn)算能力數(shù)據(jù)處理能力教學(xué)分析課堂小結(jié)課后作業(yè)1.新課引入以古人喝茶過(guò)程為例，觀看視頻，并以古詩(shī)引入，增強(qiáng)學(xué)生興趣.新課引入2.問(wèn)題提出考慮到學(xué)生初次建模，先以簡(jiǎn)單的“煎茶的水宜剛好煮沸”入手，通過(guò)給定的簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)，初步嘗試建立基本吻合的函數(shù),來(lái)近似地進(jìn)行刻畫(huà)。設(shè)計(jì)意圖：課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的“水平一”要求能在熟悉的實(shí)際情景中，模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程解決問(wèn)題，本次簡(jiǎn)單的建模讓學(xué)生先熟悉數(shù)學(xué)建模的基本流程，利于對(duì)問(wèn)題2采用相同的步驟模仿。問(wèn)題提出3.問(wèn)題升華在解決問(wèn)題1“煎茶的水”剛好煮沸所需的大致時(shí)間問(wèn)題后，利用變式思想，拋出飲茶的最佳口感問(wèn)題(問(wèn)題2)，引發(fā)學(xué)生深度思考。通過(guò)查找文獻(xiàn)等方法，確立最佳口感所需溫度，并分析對(duì)水溫變化產(chǎn)生影響的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的復(fù)雜性，如何從復(fù)雜問(wèn)題中抽象出可處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力。問(wèn)題升華4.建立模型1)數(shù)據(jù)采集采用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式完成數(shù)據(jù)的采集。利用溫度計(jì)，快速精準(zhǔn)的完成茶水溫度的采集。2)畫(huà)出散點(diǎn)圖注意圖像要適當(dāng)?shù)奶幚?，處理好坐?biāo)軸的比例，這樣圖像才能更接近教學(xué)的要求。3)散點(diǎn)圖函數(shù)性質(zhì)的分析從定義域、單調(diào)性、凹凸性、值域、周期性、對(duì)稱性、漸近線等數(shù)學(xué)的角度分析散點(diǎn)圖的函數(shù)性質(zhì)，為模型的選擇做準(zhǔn)備。4)模型的選擇一次函數(shù)模型：不具有漸近線二次函數(shù)模型：?jiǎn)握{(diào)性的改變對(duì)數(shù)型函數(shù)：值域的分析反比例型函數(shù)：從定義域和單調(diào)性的改變來(lái)分析指數(shù)型函數(shù)：設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生利用函數(shù)性質(zhì)分析選擇模型，讓學(xué)生理解模型選擇的原理，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)據(jù)處理的能力。建立模型5.模型的求解通過(guò)圖形計(jì)算器完成多種的模型計(jì)算。設(shè)計(jì)意圖：模型求解需要讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度理解計(jì)算的原理，具體計(jì)算很多都是計(jì)算機(jī)完成的。模型的求解6.模型的檢驗(yàn)在觀察擬合優(yōu)度的基礎(chǔ)上，利用圖形計(jì)算器求出實(shí)際溫度所需時(shí)間與模型計(jì)算所得時(shí)間的差距，判斷哪種模型更符合實(shí)際，可以鼓勵(lì)學(xué)生思考構(gòu)造分段函數(shù)的可行性。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)完整的建模過(guò)程，了解模型檢驗(yàn)的重要性。建模的效果不是簡(jiǎn)單的根據(jù)圖形來(lái)判斷的，應(yīng)該有具體指標(biāo)進(jìn)行說(shuō)明。模型的檢驗(yàn)7.課堂小結(jié)課堂小結(jié)，內(nèi)化所學(xué)基本知識(shí)：數(shù)學(xué)建模的步驟?；炯寄埽簲?shù)學(xué)