第4節(jié)　冪函數(shù)與二次函數(shù)

第4節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)知

識(shí)

梳

理1.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義

一般地，形如

的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù). (2)常見的5種冪函數(shù)的圖象y＝xα (3)冪函數(shù)的性質(zhì)

①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；

②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.2.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式：

一般式：f(x)＝

.

頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.

零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向及給定區(qū)間的范圍有關(guān).3.(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限； (2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1，1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).診

斷

自

測答案

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×(3)由于當(dāng)b＝0時(shí)，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c為偶函數(shù)，故(3)錯(cuò).答案

C答案A4.(2017·浙江卷)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(

) A.與a有關(guān)，且與b有關(guān) B.與a有關(guān)，但與b無關(guān) C.與a無關(guān)，且與b無關(guān) D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)解析設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0，1]上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，答案

B5.若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，3]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解析

二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸是x＝1－a，由題意知1－a≥3，∴a≤－2.

答案

(－∞，－2]考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】(1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(

)(2)已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(

)A.－3 B.1

C.2

D.1或2解析

(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，(2)∵冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又n＝1時(shí)，f(x)＝x－2的圖象關(guān)于y軸對稱，故n＝1.答案(1)C

(2)B規(guī)律方法1.對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.2.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(2)在同一坐標(biāo)系中，作y＝f(x)的圖象與直線y＝k，如圖所示，則當(dāng)0<k<1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根.答案

(1)B

(2)(0，1)考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式【例2】

(一題多解)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式.

解法一(利用“一般式”解題)

設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用“頂點(diǎn)式”解題)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).∵f(2)＝f(－1)，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，∴n＝8，法三(利用“零點(diǎn)式”解題)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4或a＝0(舍).∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.規(guī)律方法求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：【訓(xùn)練2】(1)(2018·武漢模擬)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________.

解析由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對稱，

∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，

又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，

∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.

答案

－2x2＋4(2)若將例2條件變?yōu)椋憾魏瘮?shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足①不等式f(x)＋2x>0的解集為{x|1<x<3}，②方程f(x)＋6a＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試確定f(x)的解析式.解因?yàn)閒(x)＋2x>0的解集為(1，3)，設(shè)f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用(多維探究)命題角度1二次函數(shù)的單調(diào)性與最值【例3－1】

(2018·蘭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的最值； (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4，6]上是單調(diào)函數(shù).解(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，∴f(x)在[－4，2]上單調(diào)遞減，在[2，6]上單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范圍是(－∞，－6]∪[4，＋∞).命題角度2二次函數(shù)的圖象應(yīng)用解析由f(x)＝f(2－x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱.又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的圖象也關(guān)于直線x＝1對稱，所以這兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線x＝1對稱.答案B同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，命題角度3二次函數(shù)的恒成立問題【例3－3】

(2018·浙江“超級全能生”模擬)已知在(－∞，1]上遞減的函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，且對任意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(

)解析由于f(x)＝x2－2tx＋1的圖象的對稱軸為x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是減函數(shù)，所以，t≥1.則在區(qū)間[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使對任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，答案

B規(guī)律方法1.二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.【訓(xùn)練3】

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間； (2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍.所以f(x)＝x2＋2x＋1，由f(x)＝(x