專題06 橢圓性質(zhì)綜合歸類 （解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末復(fù)習(xí)講練測（人教A版2019選擇性必修第一冊）

第第頁專題06橢圓性質(zhì)綜合歸類一、核心考點(diǎn)題型歸納【題型一】橢圓軌跡【題型二】立體幾何中的橢圓軌跡【題型三】橢圓第一定義【題型四】焦半徑中點(diǎn)【題型五】焦半徑與定義【題型六】第一定義求最值【題型七】定義型：三角形兩邊和與差范圍【題型八】焦點(diǎn)三角形面積【題型九】焦點(diǎn)三角形面積最值范圍【題型十】求離心率【題型十一】離心率最值與范圍【題型十二】由離心率求參數(shù)范圍【題型十三】三角形余弦定理型求離心率二、期中期末好題培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納知識點(diǎn)與技巧：一、求軌跡方程的常用方法（1）直接法：如果動點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量，如（距離和角）的等量關(guān)系，或幾何條件簡單明了易于表達(dá)，只需要把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為的等式，就能得到曲線的軌跡方程；（2）定義法：某動點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓錐曲線的定義，則可根據(jù)定義設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動點(diǎn)的軌跡方程；（3）幾何法：若所求軌跡滿足某些幾何性質(zhì)，如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)，則可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（4）相關(guān)點(diǎn)法（代入法）：若動點(diǎn)滿足的條件不變用等式表示，但動點(diǎn)是隨著另一動點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）的運(yùn)動而運(yùn)動，且相關(guān)點(diǎn)滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時我們可以用動點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，求得動點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：在求動點(diǎn)軌跡時，有時會出現(xiàn)求兩個動曲線交點(diǎn)的軌跡問題，二、求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得、的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.【題型一】橢圓軌跡1.（2021·全國·333高一專題練習(xí)）兩動直線與的交點(diǎn)軌跡是（

）.A．橢圓的一部分 B．雙曲線的一部分C．拋物線的一部分 D．圓的一部分【答案】A【分析】令，，則,由于過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，令與的交點(diǎn)為，利用軌跡法可求得點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】令，則，，所以，過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，令與的交點(diǎn)為，則，，所以整理得，因?yàn)?、存在，所以，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分.故選：A.2.（2023秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是圓上的動點(diǎn)，作軸于點(diǎn)H，則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出中點(diǎn)，利用幾何關(guān)系建立與點(diǎn)P坐標(biāo)的關(guān)系，代入圓方程即可整理出軌跡方程.【詳解】如下圖所示：

不妨設(shè)，則滿足；易知，又線段的中點(diǎn)為，可得；即，代入方程可得，整理得.故選：D3.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知動圓過點(diǎn)，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，整理等式，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.【詳解】由圓，則其圓心，半徑為，設(shè)動圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內(nèi)部與其相切，則，由圓過點(diǎn)，則，即，所以動點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.4.（2023秋·重慶·高一重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知是圓內(nèi)異于圓心的一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足：在圓上存在唯一點(diǎn)，使得，則的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直關(guān)系可確定點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，且該圓與圓相內(nèi)切；根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可確定，知點(diǎn)軌跡為橢圓；采用相關(guān)點(diǎn)法可確定點(diǎn)軌跡方程，由此可得結(jié)論.【詳解】，，點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，又在圓上且唯一，以為直徑的圓與圓相內(nèi)切，設(shè)中點(diǎn)為，圓半徑為，由兩圓內(nèi)切且點(diǎn)在圓內(nèi)可得：，，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，為長軸長的橢圓，以所在軸為軸，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，點(diǎn)軌跡為，設(shè)，，則，，點(diǎn)軌跡為橢圓.故選：C.5.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知在中，點(diǎn)，點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B．（）C． D．（）【答案】B【分析】設(shè)動點(diǎn),由兩點(diǎn)間斜率公式及傾斜角的關(guān)系,可得的方程,化簡即可得動點(diǎn)C的軌跡方程,排除不符合要求的點(diǎn)即可.【詳解】設(shè)由兩點(diǎn)間斜率公式可得由斜率與傾斜角關(guān)系,結(jié)合可得變形可得當(dāng)時,C與A或B重合,不合題意所以點(diǎn)C的軌跡方程為（）故選:B【題型二】立體幾何中的橢圓軌跡1.如圖所示，為長方體，且AB=BC=2，=4，點(diǎn)P為平面上一動點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的軌跡為（）A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和軌跡方程思想求得的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)方程判定軌跡類型.【詳解】如圖，建立直角坐標(biāo)系，則,.設(shè),則向量，向量,，∴，即,,,這方程表示的軌跡是平面上的橢圓，故選：B.2.．棱長為的正方體中，點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動，點(diǎn)到直線的距離為定值，若動點(diǎn)的軌跡為橢圓，則此定值可能為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，分析出點(diǎn)在以為軸的圓錐的側(cè)面上，計(jì)算出，并分析出，可得出，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為定值，所以，點(diǎn)在以為軸的圓錐的側(cè)面上，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡為橢圓，即圓錐被平面所截的截面為橢圓，設(shè)圓錐軸截面的半頂角為，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)截面與圓錐的母線平行時，即時，截面為拋物線，不合乎題意，所以，.綜合選擇，可知A選項(xiàng)合乎題意.故選：A.3.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率__________．【答案】【分析】根據(jù)平行投影計(jì)算出橢圓C的短半軸長b，再求出光線與水平面所成銳角的正弦，進(jìn)而求得橢圓C的長軸長2a而得解.【詳解】連接，則，因?yàn)椋鐖D：所以，所以在照射過程中，橢圓的短半軸長b是球的半徑R，即，過球心與橢圓長軸所在直線確定的平面截球面所得大圓及對應(yīng)光線，如圖：橢圓的長軸長是，過A向做垂線，垂足是B，則，由題意得：，又，則，，即，所以橢圓的離心率為.故答案為：4.（2021春·浙江湖州·高二浙江省德清縣第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)M是底面正方形的中心，點(diǎn)P是底面所在平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足，則動點(diǎn)P的軌跡為（

）A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓【答案】D【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量，，代入化簡整理為的形式，即可通過判別式判斷軌跡.【詳解】在點(diǎn)D處建立如圖所示直角坐標(biāo)系，正方體的棱長為1，則，，設(shè)點(diǎn)，，，，，化簡得，等式兩邊同時平方可得，，上式表示橢圓，即點(diǎn)P的軌跡方程為橢圓.故選：D5.（2020秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）如圖所示正方體中，設(shè)是底面正方形所在平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足直線與直線所成的角等于，則以下說法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡是圓 B．點(diǎn)的軌跡是橢圓C．點(diǎn)的軌跡是雙曲線 D．點(diǎn)的軌跡是拋物線【答案】B【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可利用異面直線夾角的向量求法構(gòu)造等量關(guān)系，整理可得點(diǎn)的軌跡方程，從而確定軌跡圖形.【詳解】以為原點(diǎn)可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長為，，則，，左右平方整理可得：，即點(diǎn)軌跡為點(diǎn)軌跡為橢圓。故選：【題型三】橢圓第一定義1.（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再利用橢圓的定義求出即得解.【詳解】因?yàn)?所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C

2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P在橢圓上，已知是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且，則的值是（

）A．或2 B．或 C．或 D．或2【答案】D【分析】由題設(shè)可知軸或，由此進(jìn)行分類討論，利用已知條件結(jié)合橢圓的定義求出，即可求出的值．【詳解】因?yàn)闉闄E圓兩個焦點(diǎn)，所以，，則，，因?yàn)?，則P點(diǎn)位于x軸右側(cè)，則軸或故當(dāng)軸時，P的橫坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)為，則，，故；當(dāng)時，設(shè)，，則，由勾股定理可得，即，解得或（舍去），故，綜上，的值為或，故選：D3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P為橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義寫出，再根據(jù)條件即可解得答案.【詳解】根據(jù)P為橢圓C：上一點(diǎn)，則有，又，所以，故選：B.4.（2021·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓與圓的一個交點(diǎn)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，圓的圓心和半徑，利用橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求解．【詳解】由題意，點(diǎn)F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，則，左焦點(diǎn)為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，可得圓的圓心恰好為橢圓的左焦點(diǎn)，又由P為橢圓C與圓的一個交點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可得，所以．故選：B．5.（2022春·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）已知橢圓上的一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為3，到另一焦點(diǎn)距離為7，則m等于（

）A．5 B．10 C．15 D．25【答案】D【解析】利用橢圓的定義，化簡求解即可．【詳解】由橢圓定義知|PF1|+|PF2|＝2a＝10，橢圓1可知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25．故選：D．【題型四】焦半徑中點(diǎn)1.（2022秋·河南周口·高二?？计谥校c(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則線段的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】利用中位線先求出，再結(jié)合橢圓定義即可求解.【詳解】如下圖所示，連接，為的中點(diǎn)，且，可得由橢圓方程可知，.，根據(jù)橢圓定義有，故選：A2.（2022春·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣球溪高級中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么（

）A．3：5 B．3：4 C．5：3 D．4：3【答案】A【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上,求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.3.（2021春·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)且，，則（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】由橢圓的方程求出，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，可知，在結(jié)合橢圓的定義即可求解.【詳解】由可得：因?yàn)椋渣c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則是的中點(diǎn)，所以，由橢圓的定義可知：，所以，故選：A.4.（2020秋·山東濟(jì)南·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且在軸上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，連接，則，得到，，結(jié)合余弦定理和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】如圖所示，由橢圓，可得，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，線段的中點(diǎn)為，連接，則，又由，設(shè)，在中，,所以，則，即直線斜率為.故選：B.5.（2023秋·全國·高二期中）已知橢圓，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在上，則（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖像，結(jié)合條件可得，，再結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，同理，所以.故選:C【題型五】焦點(diǎn)弦與定義1.（2021秋·黑龍江·高二期中）已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合橢圓定義與已知條件即可求得的值．【詳解】解：由，得，，如圖：，且，，故選：C.2.（2020秋·河北唐山·高一校考期中）已知、是橢圓的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．在中，若有兩邊之和是，則第三邊的長度為（

）A．6 B．7 C．8 D．4【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出的周長，進(jìn)而可得第三邊的長度.【詳解】由可得，所以，由橢圓的定義可得：，，所以的周長，因?yàn)橛袃蛇呏褪牵缘谌叺拈L度為，故選：B.3.（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，若的周長為.則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)的周長結(jié)合四邊形的形狀以及橢圓的定義求解出的值，然后根據(jù)點(diǎn)在橢圓上求解出的值，則的值可求.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知四邊形為平行四邊形，所以，由橢圓定義可知：，所以的周長為，所以，又因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，所以，故選：A.4.（2019秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀E圓的焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).若，是線段的三等分點(diǎn)，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三等分點(diǎn)結(jié)合三角形中位線定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)用代入法、橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，分別為橢圓的左右兩焦點(diǎn)，因?yàn)?，是線段的三等分點(diǎn)，所以是線段的中點(diǎn)，而坐標(biāo)原點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因此垂直于橫軸，把代入橢圓方程中得：，所以，且，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，為線段的中點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，點(diǎn)在橢圓上，則：，得，而，所以，由橢圓的定義可知，的周長為，故選：D5.（2022·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上異于端點(diǎn)的任意點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)分別為M，N，若四邊形的周長為，則的周長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓定義和三角形中位線定理可得，由求得，再計(jì)算焦點(diǎn)三角形的周長.【詳解】由已知得，而的中點(diǎn)分別為M，N，所以，，所以，又由橢圓的定義知，所以，所以．故的周長為．故選：.【題型六】第一定義求最值1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．64 B．16 C．8 D．4【答案】B【分析】由，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有求解.【詳解】解：，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)為的延長線與的交點(diǎn)時，取得最大值，最大值為．所以的最大值為16．故選：B．2.（2023·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．9 B．16 C．25 D．50【答案】C【分析】由橢圓定義有，再應(yīng)用基本不等式求最大值，注意取值條件.【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，故最大值為.故選：C3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別為（

）A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11【答案】C【分析】求出兩圓圓心和半徑，得到圓心和剛好為橢圓的兩個焦點(diǎn)，從而利用橢圓定義求出，可得的最大值為，的最小值為，求出答案.【詳解】的圓心為，的圓心為，兩圓半徑均為，由于，，所以橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為和，由橢圓定義可知：，所以的最大值為，的最小值為.故選：C4.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義得到，將整理為，然后根據(jù)范圍求得范圍即可.【詳解】設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.故選：C.5.（2021·高二課時練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)是，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求得，結(jié)合，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，在橢圓中，，，則，由題意可知，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，且為的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，由橢圓的定義可得，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.【題型七】定義型：三角形兩邊和與差范圍1..（2021秋·福建泉州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是橢圓C：的左焦點(diǎn)，是橢圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】標(biāo)出橢圓的右焦點(diǎn)，利用橢圓定義轉(zhuǎn)換|PF|，利用平面幾何知識即可得最大值﹒【詳解】由題意，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，∴．∵點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓定義知，．∵，∴，當(dāng)在線段上時，等號成立.即要求的最大值為，故選：D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長最大值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題可知，，利用，即可得出．【詳解】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，則，，的周長，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，，A共線時取等號．的周長最大值等于18．故選：C．3.．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)滿足的最小值為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】A【分析】利用橢圓的定義可求代數(shù)式的最小值.【詳解】設(shè)，則在橢圓上，又，設(shè)，則為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則：，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時等號成立，而，故的在最小值為，故選：A.

4.．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知在上運(yùn)動，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到曲線C的軌跡方程，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合橢圓的定義轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】，兩邊平方后化簡得，，焦點(diǎn)分別是,的幾何意義是曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的差，如圖表示點(diǎn),根據(jù)橢圓定義可知，當(dāng)三點(diǎn)三點(diǎn)共線時取等號，此時,所以的最小值是.故選：D5.（2022秋·四川成都·高二樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足．已知點(diǎn)和，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法可求得點(diǎn)軌跡方程為，由橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值.【詳解】設(shè)，，則，，，由得：，即，，為圓上的點(diǎn)，，即點(diǎn)軌跡為；為的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，由橢圓定義知：，在橢圓外，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號），.故選：C.【題型八】焦點(diǎn)三角形面積1.（2023秋·河北衡水·高二河北武強(qiáng)中學(xué)?？计谥校┮阎瑸闄E圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】利用橢圓定義求得的值，判斷為等腰三角形，即可求得答案.【詳解】由橢圓可知，故，結(jié)合，可得，而，故為等腰三角形，其面積為，故選：B2.（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件根據(jù)向量夾角公式求，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，則，，即.設(shè)，所以由橢圓的定義可得：①.因?yàn)椋杂蓴?shù)量積的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故選：A.4.（2022秋·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓上、下焦點(diǎn)，有一個內(nèi)角為，則的面積為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】分、、三種情況討論，利用余弦定理、橢圓的定義以及三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】在橢圓中，，，則，設(shè)，，則，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時，取最大值，且的最大值大于，所以，可以取，當(dāng)時，，可得，此時；當(dāng)時，由余弦定理可得，因?yàn)?，解得，此時；當(dāng)時，同理可得.綜上所述，或.故選：D.5.（2023春·黑龍江大慶·高一肇州縣第二中學(xué)校考開學(xué)考試）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且是直角三角形，的面積等于（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義和勾股定理，結(jié)合三角形面積公式即可求解．【詳解】由于是橢圓上一點(diǎn)，∴，兩邊平方可得，即，因?yàn)槭侵苯侨切?，?dāng)時，，∴根據(jù)勾股定理可得，綜上可解得，∴的面積等于；當(dāng)時，，∴根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合,計(jì)算可得,∴的面積等于；當(dāng)時，，∴根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合【題型九】焦點(diǎn)三角形面積最值范圍1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.當(dāng)最大時，求（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可得時最大，利用三角形的面積公式即得.【詳解】由橢圓的方程可得，，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)則時等號成立，即為橢圓短軸端點(diǎn)時最大，此時，.故選：C.2.（2022·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一動點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），若△的周長為6，且面積的最大值為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用橢圓定義及焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、橢圓參數(shù)關(guān)系求參數(shù)，寫出橢圓方程即可.【詳解】由橢圓的定義可得，∴①，當(dāng)點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時，△的面積取得最大值為，∴②．又③，由①②③，得，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A3.（2022秋·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）已知a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊，，，則面積的最大值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】由，利用余弦定理代入化簡解得，再根據(jù)，利用正弦定理得到，即，得到點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，再利用橢圓的焦點(diǎn)三角形求解.【詳解】∵，∴，∴，∵∴，即，∴點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，其中長半軸長3，短半軸長，以AB為x軸，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，其方程為，如圖所示：則問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動求焦點(diǎn)三角形的面積問題．當(dāng)點(diǎn)C在短軸端點(diǎn)時，的面積取得最大值，最大值為．故選：B．4.（2022·全國·高一專題練習(xí)）橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，P為兩曲線的一個公共點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】由兩曲線有相同焦點(diǎn)可得的關(guān)系，由橢圓與雙曲線的定義可求得點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，為確定值，因此當(dāng)時，面積最大，同時求出驗(yàn)證正確性．【詳解】由題意，即，．不妨設(shè)在第一象限，則，解得，易知當(dāng)時，．此時，，，滿足題意．故選：A.5.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MF1F2的面積最大時，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】由面積最大得的位置，從而可求出三角形的三條邊，求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】因?yàn)闄E圓為，所以a=5，b=3，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，點(diǎn)M在橢圓C的短軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)M為橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為r，則，，，因?yàn)?，所?

故選：D.【題型十】求離心率1.（云南省大理州2024屆高一畢業(yè)生第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題）直線與橢圓C：的交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)在橢圓上和直線上列方程，整理后求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，根據(jù)題意：軸，A在橢圓上，由解得，則，A在直線上，則，所以，，，所以，解得故選：A2.（2024秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)，使得線段被直線垂直平分，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法、正弦定理，結(jié)合橢圓的定義、比例的性質(zhì)、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為，直線交于，連接，因?yàn)榫€段被直線垂直平分，所以，，所以是以為斜邊的直角三角形，由直線的方程可知該直線的斜率為，所以該直線的傾斜角為，即，在中，由正弦定理可知：，故選：C

3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知M為橢圓：上一點(diǎn)，，為左右焦點(diǎn)，設(shè)，，若，則離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，結(jié)合三角恒等變換以及正余弦定理將化為，繼而推出的關(guān)系，求得答案.【詳解】設(shè)，，則，

由得，即，在中，由正弦定理得，故，又，故，即，即，即或，結(jié)合橢圓定義可知且，故，即，故選：C4.（2023秋·寧夏銀川·高二?？计谥校┮阎獧E圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)恰好是等腰三角形的三個頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為，依題意可得，結(jié)合即可求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為，則，且，所以，，，依題意為等腰三角形，，所以，化簡得，又，所以，即，解得，又，所以，即橢圓的離心率為.故選：B

5.（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)也在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的對稱性以及橢圓的性質(zhì)，建立方程，表示出焦半徑，利用余弦定理，結(jié)合齊次方程的思想，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：

由圖可知：，由平分，則，所以，由，則解得，由是關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則共線，，，，所以，在中，，可得，解得，，在中，由余弦定理，可得，代入可得：，化簡可得：，所以其離心率.故選：C.【題型十一】離心率最值與范圍1.（2023秋·山西太原·高一山西大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對稱性結(jié)合，得到四邊形為矩形，設(shè)，，在直角中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到，再根據(jù)，得到的范圍，從而利用對勾函數(shù)的值域得到的范圍，進(jìn)而由即可得解.【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，則，所以平行四邊形為矩形，故，設(shè)，，則，在直角中，，，所以，則，所以，令，得，又由，得，因?yàn)閷春瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，則，故，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：B.2.（2023秋·全國·高二期中）點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由，得到，再與橢圓方程聯(lián)立得到，再由點(diǎn)P的位置求解.【詳解】解：設(shè)，又，且，則，與橢圓方程聯(lián)立，即，解得或，則，即，即，則，故選：B3.（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知兩定點(diǎn)和，動點(diǎn)在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意知，要使橢圓C的離心率取最大值，則a取最小值．即取最小值．利用點(diǎn)的對稱性求出的最小值即可解答．【詳解】由題意得，，，當(dāng)a取最小值時，橢圓C的離心率有最大值．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，，

則，當(dāng)時，橢圓有最大離心率，此時，．故選：B．4.（2023秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)焦點(diǎn)三角形的頂角范圍，求出橢圓特征三角形頂角的范圍，繼而求出離心率的范圍.【詳解】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,則令,則,

且，,,故選：B.5.（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)P，使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用中垂線的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程即可.【詳解】由題知，如圖所示：

設(shè)P，F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），由線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，即＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故選：D.【題型十二】橢圓離心率求參范圍1.（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知A，B是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AP，BQ的斜率分別為.若橢圓的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，并寫出點(diǎn)Q，A，B坐標(biāo)，計(jì)算及，再分析比對即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則橢圓的對稱性知，不妨令，而點(diǎn)A(-a，0)，B(a，0)，則，顯然有，則，因橢圓的離心率為，即，，則，因，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，即的最小值為為.故選：B.2.．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，斜率為1的直線過左焦點(diǎn)且交于，兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓離心率的取值范圍為，則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可求得，，即可得出，再根據(jù)離心率范圍即可求出.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，，又,，，，，則，即線段的長度的取值范圍是.故選：C.3.（2020·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，C為上頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，，橢圓的離心率，則直線斜率的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用已知條件，分別求出與的斜率乘積，結(jié)合題給的，化簡求得，即可求出直線斜率的最大值．【詳解】解：已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，為上頂點(diǎn)，且是橢圓上一點(diǎn)，，則，，∴，又∵，∴，∴，∴，則，∴，∴.故選：C.4.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將的坐標(biāo)代入方程中，相減，構(gòu)造出直線，的斜率，相乘轉(zhuǎn)化只含有的表達(dá)式，再根據(jù)的關(guān)系以及橢圓的離心率的取值范圍是建立不等式，求出直線，斜率之積的取值范圍即可.【詳解】設(shè)，由直線與橢圓交于兩點(diǎn)可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以且，由題意知：，兩式相減得：，即，又，由橢圓的離心率的取值范圍是，即，所以，即，故選：D.5.（2022秋·福建南平·高二統(tǒng)考期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的曲線C：的離心率滿足，A，B是x軸與曲線C的交點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的一點(diǎn)，延長PO交曲線C于另一點(diǎn)Q，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率的范圍可知曲線為橢圓，根據(jù)離心率與的關(guān)系得到的范圍，然后利用斜率公式表示出，進(jìn)而求出其范圍．【詳解】由解得，所以曲線C是橢圓．因橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則．因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，，，，由題意知，則，即，．故選：A．【題型十三】三角形余弦定理型求離心率1.（2022秋·廣東深圳·高二校考階段練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過右焦點(diǎn)作直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】設(shè)，則，由橢圓的定義得，，由即可求解結(jié)果．【詳解】解：如圖，橢圓C的焦點(diǎn)為，，設(shè)，則，由橢圓的定義得，．在三角形中，由余弦定理得．在三角形中，由余弦定理得．因?yàn)?，所以，解得，，所以．故答案為：?.設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對稱性結(jié)合，得到四邊形為矩形，設(shè)，，在直角中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到，再根據(jù)，得到的范圍，從而利用對勾函數(shù)的值域得到的范圍，進(jìn)而由即可得解.【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，則，所以平行四邊形為矩形，故，設(shè)，，則，在直角中，，，所以，則，所以，令，得，又由，得，因?yàn)閷春瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，則，故，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：B.3.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，所以存在點(diǎn)使等價于由可求的最小值，求得的范圍，從而得到的取值范圍.【詳解】設(shè)，則.顯然當(dāng)靠近右頂點(diǎn)時，，所以存在點(diǎn)使等價于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.由得，所以.故答案為：4.已知橢圓：的離心率為，左頂點(diǎn)是A，左、右焦點(diǎn)分別是，，是在第一象限上的一點(diǎn)，直線與的另一個交點(diǎn)為．若，且的周長為，則直線的斜率為．【答案】【分析】由平行關(guān)系得出對應(yīng)線段成比例，結(jié)合橢圓定義，表示出長度，利用余弦定理求出，得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，又因?yàn)?，即，則，可得，所以，①又因?yàn)椋傻?，②又因?yàn)?，③由①②③知，，在中，由余弦定理可得，可得為銳角，則，所以，即的斜率為．故答案為：.5.已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，且，，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】連接、，分析可知四邊形為矩形，設(shè)，，根據(jù)題中條件可得出，利用橢圓的定義、勾股定理可得出，令，設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】解：連接、．由關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，可知，，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由橢圓的定義可知，．在中，由，則，所以，則．在中，，在中，，由，得．由圖形可知，．令，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，所以，故橢圓的離心率的取值范圍為．故答案為：.培優(yōu)練1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．橢圓【答案】D【分析】根據(jù)題意知,所以,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關(guān)于CD對稱，所以，故，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.2.（2018秋·安徽池州·高二統(tǒng)考期末）已知棱長為4的正方體，是正方形所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，點(diǎn)，滿足，，若點(diǎn)到直線與直線的距離之比為，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【分析】根據(jù)已知可得，原題可轉(zhuǎn)化為“平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)與直線的距離之比為”．將其轉(zhuǎn)化為平面問題，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知即可得到點(diǎn)的軌跡方程為，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖1，因?yàn)?，，且正方體的棱長為4，又，所以，則，所以，，又平面，則平面，又平面，平面，所以，故點(diǎn)到直線距離，即為點(diǎn)到點(diǎn)距離.于是條件“平面內(nèi)點(diǎn)到直線與直線的距離之比為”轉(zhuǎn)化為“平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)與直線的距離之比為”．如圖2，在平面內(nèi)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線的方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則依據(jù)題意可得，化簡可得，故動點(diǎn)的軌跡是橢圓．故選：B．3.（2020秋·江蘇南京·高二南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是，若橢圓上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由，依據(jù)向量的幾何意義可得，即為的一半，所以△為直角三角形，結(jié)合勾股定理可求得、，即可確定的值【詳解】由題意，可得如下示意圖∵，依據(jù)向量的幾何意義知：△為等腰三角形∴，即為的一半?？芍鳛橹苯侨切危摇?90°∴有，，可得=4，=4又知：。故選：D4.（2021·浙江·高一期末）橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F的距離為6，若點(diǎn)M滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則．【答案】2【分析】根據(jù)求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出到左焦點(diǎn)的距離以及代入橢圓方程中解得的坐標(biāo)，由得到為的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出即可．【詳解】由橢圓得，，左焦點(diǎn)，設(shè)，則又解得或（舍去）；又在橢圓上，則將代入到橢圓方程中求出，所以點(diǎn)，；由點(diǎn)滿足，則得為中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，所以故答案為：2.5.（2022秋·河南駐馬店·高二確山縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，橢圓的焦點(diǎn)為、，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).若、是線段的三等分點(diǎn)，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出的值，結(jié)合橢圓的定義可求得的周長.【詳解】由于、是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，將代入橢圓的方程得，，可得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，，由得，解得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，解得，則，因此，的周長為.故選：A