專題01空間向量及其運算八個重難點歸類（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重難點歸類及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁專題01空間向量及其運算八個重難點歸類一、空間直角坐標系及有關(guān)概念1．空間直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系，如圖所示.2．空間兩點間的距離公式、中點公式（1）距離公式①設(shè)點，為空間兩點，則兩點間的距離.②設(shè)點，則點與坐標原點O之間的距離為.（2）中點公式設(shè)點為，的中點，則.3．空間向量的有關(guān)概念空間向量：在空間中，具有大小和方向的量單位向量：長度(或模)為1的向量零向量：長度(或模)為0的向量相等向量：方向相同且模相等的向量二、空間向量的有關(guān)定理及運算1.共線向量定理對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)λ，使得推論：對空間任意一點O，點P在直線AB上的充要條件是存在實數(shù)t，使（其中）.2.共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使.推論：空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使；或?qū)臻g任意一點O，有.3.空間向量基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，{}叫做空間的一個基底，都叫做基向量.注意：（1）空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成基底；（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作為基向量.4.空間向量的運算設(shè)，則，，，，，，.【重難點一空間向量的有關(guān)概念】例1．（多選）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（

）

A．單位向量有8個 B．與相等的向量有3個C．的相反向量有4個 D．模為的向量有4個【答案】ABC【分析】根據(jù)單位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐項分析可得答案.【詳解】由題可知單位向量有，，，，，，，，共8個，故A正確；與相等的向量有，，，共3個，故B正確；向量的相反向量有，，，，共4個，故C正確；模為的向量分別為，，，，，，，，共8個，故D錯誤．故選：ABC例2．給出下列幾個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②若，則或；③對于任何向量，，必有．其中正確命題的序號為．【答案】③【分析】根據(jù)相反向量的定義可以判斷①；兩個向量模相等，這兩個不一定是相等向量或相反向量可以判斷②；通過對，同向，反向，不共線進行分類討論，結(jié)合三角形法則和三邊關(guān)系則可以判定③.【詳解】對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②，若，則與的長度相等，但方向沒有任何聯(lián)系，故②不正確；對于③，若與同向，則，若與反向，，若與不共線，結(jié)合三角形法則和三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，所以，綜上必有，所以③正確．

故答案為：③1.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應(yīng)的概念完全相同.1.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應(yīng)的概念完全相同.2.由于向量是由其模和方向確定的,因此解答空間向量有關(guān)概念問題時,通常抓住這兩點來解決.3.零向量是一個特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量都共線,這一點說明了共線向量不具備傳遞性.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．（多選）下列命題為真命題的是（）A．若空間向量，滿足，則B．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝C．若空間向量，，滿足，，則D．空間中，，，則【答案】BC【分析】由向量相等的條件和向量共線的定義判斷各個選項.【詳解】對于A，兩個向量相等，但方向不一定相同，不能得到，A選項錯誤；對于B，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與長度相等，方向相同，有＝，B選項正確；對于C，空間向量，，滿足，，即與長度相等方向相同，與長度相等方向相同，則有與長度相等方向相同，有，C選項正確；對于D，時，滿足，，但不能得到，D選項錯誤.故選：BC練習(xí)2．（多選）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若空間向量，滿足，則B．空間任意兩個單位向量必相等C．在正方體中，必有D．向量的模為【答案】CD【分析】根據(jù)空間向量的定義以及模長即可結(jié)合選項逐一判斷.【詳解】對于A，兩個向量相等需要方向相同，模長相等，所以不能得到.A錯誤，對于B，空間任意兩個單位向量的模長均為1，但是方向不一定相同，故B錯誤，對于C，在正方體中，的方向相同，長度相等，故，故C正確對于D，向量的模為，故D正確，故選：CD練習(xí)3．（多選）下列命題正確的是（

）A．空間中所有的單位向量都相等B．若，則C．若，滿足，且，同向，則D．對于任意向量，，必有【答案】BD【分析】根據(jù)向量的基本概念即可求解.【詳解】對于A：向量相等需要滿足兩個條件：長度相等且方向相同，缺一不可，故A錯；對于B：根據(jù)平行向量和相等向量的定義可知B正確；對于C：向量不能比較大小，故C錯；對于D：根據(jù)向量的模的三角不等式知正確；故選：BD.練習(xí)4．（多選題）下列說法中，正確的是（）A．在正方體ABCD--A1B1C1D1中，＝B．＝的充要條件是A與C重合，B與D重合C．若＝－，則，互為相反向量D．若，互為相反向量，則＝－【答案】ACD【分析】利用向量的定義可判斷出A正確；再由相等向量和相反向量的定義可判斷出B錯誤，C，D正確.【詳解】由向量的定義得A正確；對于B,由，知，且與同向，但A與C，B與D不一定重合，B錯誤；對于C，，且，為非零向量，所以，互為相反向量，C正確；對于D，，互為相反向量，則，則D正確.故選：ACD.【重難點二空間向量的線性運算】例3．如圖，空間四邊形OABC中，，點M在上，且，點N為BC中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運算直接求解即可.【詳解】因為，所以，所以，又點N為BC中點，所以，所以.故選：B.例4．（多選）空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊的中點，則下列各式成立的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由空間向量的加法運算法則對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】易知四邊形EFGH為平行四邊形，所以，故A不成立；，故B成立；，故C成立；，故D成立.故選：BCD.

用已知向量表示未知向量,是向量線性運算的基礎(chǔ)類型,解決這類問題,要注意兩個方面:用已知向量表示未知向量,是向量線性運算的基礎(chǔ)類型,解決這類問題,要注意兩個方面:（1）熟練掌握空間向量線性運算法則和運算律.（2）要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．平行六面體中，化簡（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．【詳解】

為平行四面體，故選：A．練習(xí)2．如圖，給定長方體，點在棱的延長線上，且．設(shè)，，，試用、、的線性組合表示下列向量：

(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)空間向量加減運算法則，將各向量表示成以為基底即可．【詳解】（1）．（2）．（3）．（4）．練習(xí)3．如圖，在四面體中，點、、分別是棱、、的中點，點、、分別是棱、、的中點，點是線段的中點．試判斷下列各組中的三點是否共線：

(1)、、；(2)、、．【答案】(1)、、三點共線，證明見解析；(2)、、三點共線，證明見解析.【分析】（1）用分別表示即可求解；（2）用分別表示即可求解.【詳解】（1）,,所以，所以、、三點共線.（2）,,所以，所以、、三點共線.練習(xí)4．在空間四邊形ABCD中，G為的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點，化簡下列各表達式.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的運算法則運算即可；（2）根據(jù)空間向量的運算法則運算即可求解；【詳解】（1）根據(jù)空間向量的運算法則，可得.（2）分別取AB，AC的中點P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有根據(jù)空間向量的運算法則，可得.

【重難點三共面向量定理】例5．（多選）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，下列條件中不能確定點M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用向量四點共面的結(jié)論進行判斷即可.【詳解】設(shè)，若點與點共面，則，逐一檢驗各選項，可知只有選項D確定點M，A，B，C共面.故選：ABC.例6．已知，若向量共面，則（

）A．2 B． C．3 D．6【答案】C【分析】根據(jù)所給的三個向量的坐標，寫出三個向量共面的條件，點的關(guān)于要求的兩個方程組，解方程組即可．【詳解】,,，,3,，,6,，三個向量共面，，,,,3,,6,，解得：故選：C．利用向量方法證明四點共面的基本途徑：利用向量方法證明四點共面的基本途徑：對空間任意四點，可通過證明下列結(jié)論來證明四點共面：（1）.（2）對空間任意一點.（3）對空間任意一點.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知三棱錐的體積為13，是空間中一點，，則三棱錐的體積是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合四點共面性質(zhì)、共線向量的性質(zhì)、三棱錐體積的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，因為，所以在平面內(nèi)存在一點，使得成立，即，，故選：C

練習(xí)2．已知空間三點坐標分別為，，，點在平面內(nèi)，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意,存在實數(shù)使得等式成立,將各點坐標代入,列出方程組求解即可.【詳解】點在平面內(nèi),存在實數(shù)使得等式成立,,，解得.故答案為：練習(xí)3．已知向量，，是空間向量的一組基底，，，，若A，B，C，D四點共面．則實數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)點共面可得向量共面，進而根據(jù)平面向量基本定理即可列等式求解.【詳解】由于A，B，C，D四點共面，所以存在唯一的實數(shù)對，使得,即，所以，故答案為：練習(xí)4．如圖，在長方體中，點是棱的中點，點是面對角線與的交點，試判斷向量與、是否共面．

【答案】向量與、共面．【分析】由空間向量的共面定理求解即可.【詳解】因為，．所以，所以，向量與、共面．【重難點四向量的數(shù)量積運算】例7．（多選）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且，，則（

）

A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用數(shù)量積的定義和運算律，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】因為底面ABCD，所以垂直于平面內(nèi)的任何一條直線，因為四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且，所以和是等邊三角形，A.，故A錯誤；B.，故B正確；C.，故C錯誤；D.，故D正確.故選：BD例8．已知向量，則＝（）A．6 B．7C．9 D．13【答案】C【分析】根據(jù)空間向量加法與數(shù)量積的坐標運算即可.【詳解】因為所以.故選：C.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形,將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特殊角.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形,將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特殊角.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對正多面體進行系統(tǒng)研究后而得名的幾何體．下圖是棱長均為1的柏拉圖多面體，分別為的中點，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運算得，，再求即可.【詳解】由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，側(cè)面均為等邊三角形，四邊形為邊長為1的菱形，又≌，所以，故四邊形為正方形，同理四邊形也為正方形．

取的中點，連接，則，同理，．故選：A．練習(xí)2．已知空間向量，且，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量坐標運算，求出n值，再利用夾角公式計算作答.【詳解】向量，則，由，得，解得，，因此，，，所以與的夾角的余弦值.故選：B練習(xí)3．如圖，長方體中，，，點P為線段上一點，則的最小值為．

【答案】/0.75【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設(shè)，，求出，求出最小值.【詳解】以為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，則，，

則，當(dāng)時，的最小值為.故答案為：練習(xí)4．如圖，棱長為的正四面體中，點為棱的中點，求與．

【答案】；.【分析】根據(jù)向量的線性運算表示向量，然后根據(jù)向量的運算律及向量數(shù)量積的定義運算即得.【詳解】因為，所以；因為，所以.【重難點五空間向量基本定理】例9．已知，，是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】利用空間向量的基底的定義，逐項判斷作答.【詳解】向量是不共面的三個向量，對于A，，則向量共面，A不能構(gòu)成空間基底；對于B，，則向量共面，B不能構(gòu)成空間基底；對于D，，則向量共面，D不能構(gòu)成空間基底；對于C，假定向量共面，則存在不全為0的實數(shù)，使得，整理得，而向量不共面，則有，顯然不成立，所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，C能構(gòu)成空間基底.故選：C例10．平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為.(1)求線段的長；(2)若，，，用空間向量的一組基底表示向量.【答案】(1)；(2).【分析】（1）易得，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律結(jié)合已知條件可求出，即可得出結(jié)果；（2）設(shè).由以及不共面，得出方程組，求解即可得出結(jié)果.【詳解】（1）解：因為，所以=，所以，所以線段的長為.（2）解：.設(shè)，，則.因為不共面，所以有，解得.所以.用基底表示向量的三個步驟：用基底表示向量的三個步驟：（1）定基底:根據(jù)已知條件,確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底.（2）找目標:用確定的基底(或已知基底)表示目標向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡,最后求出結(jié)果.（3）下結(jié)論:利用空間向量的一個基底可以表示出空間所有向量.表示要徹底,結(jié)果中只能含有,不能含有其他形式的向量.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．（多選）是空間的一個基底，與?構(gòu)成基底的一個向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)空間基底、共面等知識確定正確答案.【詳解】由于，所以、、共面，不能構(gòu)成基底，B選項錯誤.由于，所以、?共面，不能構(gòu)成基底，D選項錯誤.假設(shè)，則，但此方程組無解，所以、?不共面，可以構(gòu)成基底，A選項正確.假設(shè)，則，但此方程組無解，所以、?不共面，可以構(gòu)成基底，C選項正確.故選：AC練習(xí)2．已知是空間的一個基底，且，，，.(1)求證：，，，四點共面；(2)能否作為空間的一個基底?若能，試用這一基底表示；若不能，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不能作為基底，理由見解析【分析】（1）根據(jù)向量的線性(加減)關(guān)系判斷是否成立，即可證結(jié)論；（2）判斷是否成立即可.【詳解】（1）由，，而，則，所以，，，四點共面；（2）若共面，則，即，所以，則，可得，所以，故不能作為基底.練習(xí)3．已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，用基底表示向量．【答案】【分析】設(shè)，又，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等列方程組求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，得．故．故答案為：練習(xí)4．已知為空間的一個基底，且，，，．(1)判斷四點是否共面；(2)能否以作為空間的一個基底？若能，試以這一組基表示；若不能，請說明理由．【答案】(1)四點不共面(2)能，．【分析】（1）假設(shè)四點共面，然后利用空間向量共面定理列方程求解；（2）先判斷不共面，再利用空間向量基本定理列方程求解.【詳解】（1）假設(shè)四點共面，則存在實數(shù)，使，且，即比較對應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于的方程組，解得與矛盾，故四點不共面．（2）若共面，則存在實數(shù)，使，所以，所以，方程組無解，所以不共面，所以可以作為空間的一組基底，令，所以，解得所以.【重難點六解決兩直線的平行垂直問題】例11．設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用空間向量的平行、垂直以及數(shù)量積的坐標表示求解.【詳解】因為，所以，解得，所以又因為，所以，解得，所以，所以，則，故選：A.例12．（多選）在等腰梯形中，分別是的中點，沿將折起至，使平面平面（如圖）.已知，下列四個結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標系，求方向向量，看數(shù)量積是否為零，則選項可判定.【詳解】因為等腰梯形中，分別是的中點，所以，,所以為二面角的平面角，又平面平面，所以，即,設(shè)，以點M為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則，，，，，∴,，，,,，,，∴,,.故選:ACD.向量平行與垂直問題的兩種類型：向量平行與垂直問題的兩種類型：（1）平行與垂直的判斷.①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行,只需判斷兩直線的方向向量是否共線.②判斷兩直線是否垂直,關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直,即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.（2）平行與垂直的應(yīng)用.①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量平行,可設(shè)),建立關(guān)于參數(shù)的方程.②選擇坐標形式,以達到簡化運算的目的.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知長方體中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，求出的坐標，利用得坐標，然后利用可得．【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)，則．，

，解得，，，，解得．故選：C．練習(xí)2．（多選）已知空間中三點，，，則（

）A．B．與方向相反的單位向量的坐標是C．D．在上的投影向量的模為【答案】AB【分析】A選項，驗證是否等于0即可；B選項，與方向相反的單位向量為，即可判斷選項正誤；C選項，驗證是否存在非零實數(shù)，使即可；D選項，在上的投影向量的模為，據(jù)此可判斷選項正誤.【詳解】由題，.A選項，，則，故A正確；B選項，，則，故B正確；C選項，設(shè)，則，即不存在，故C錯誤；D選項，，則，故D錯誤.故選：AB練習(xí)3．設(shè).(1)若//，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】先求出和的表達式，然后根據(jù)向量的平行和垂直列式求解.【詳解】（1）依題意得，，，若//，則，解得.（2）由，則，解得練習(xí)4．如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點，為的中點，，求證：．

【答案】證明見解析【分析】證法一：以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，求出的坐標，利用空間向量共線的坐標表示可得答案；證法二：由空間向量的線性表示可得答案.【詳解】證法一：由題意知，直線兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，所以，又，故．證法二：由題意可得，又，所以．

【重難點七解決模長及夾角問題】例13．已知，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為．【答案】【分析】將平行四邊形分成兩個三角形，利用三角形的面積公式結(jié)合向量的夾角公式進行求解.【詳解】設(shè)的夾角為，則，故，根據(jù)夾角公式，，于是，不妨設(shè)，，以為鄰邊的平行四邊形為，連接，則，而根據(jù)三角形的面積公式，，故.故答案為：例14．若，，，則的形狀是．（選填：銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形）【答案】銳角三角形【分析】利用空間中兩點間的距離公式可知，中，邊最長，內(nèi)角最大，求出，可判斷出為銳角，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，，，則，，，所以，，，，所以，中，邊最長，內(nèi)角最大，所以，，顯然、不共線，故為銳角，故為銳角三角形.故答案為：銳角三角形.運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一般步驟：運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一般步驟：（1）建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系;（2）求坐標:①求出相關(guān)點的坐標;②寫出向量的坐標;（3）論證、計算:結(jié)合公式進行論證、計算;（4）轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．如圖，在直三棱柱中，，，點分別是、、的中點，點是上的動點.若，則線段長度為.

【答案】【分析】以點為原點，建立空間直角坐標系，利用公式，求點的坐標，最后代入兩點間距離公式，即可求解.【詳解】如圖，以點為原點，以為軸建立空間直角坐標系，，，，，,，因為，所以，得，即，所以

故答案為：練習(xí)2．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，，分別在棱，上，，．

(1)求線段的長．(2)求與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得的長.（2）利用向量法求得與所成角的余弦值.【詳解】（1）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，即線段的長為.（2），，，，所以，，，．所以，所以．所以，與所成角的余弦值為．

練習(xí)3．如圖，在正三棱柱中，所有的棱長均為2，M是邊的中點，則在棱上是否存在點N，使得與所成的夾角為？

【答案】不存在【分析】以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)出點N，計算與的夾角余弦值構(gòu)建方程，求解即可得到結(jié)論.【詳解】以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由棱長都等于2，可得，，，，，假設(shè)存在點N在棱上，可以設(shè)，則有，，∴，,，，，即，解得，而這與矛盾，所以在棱CC1上不存在點N，使得與所成的夾角為.練習(xí)4．，，，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．【答案】【分析】先算出的坐標表達式，然后根據(jù)夾角公式進行求解.【詳解】依題意得，，，