專題03直線的方程九個(gè)重難點(diǎn)歸類（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重難點(diǎn)歸類及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁(yè)專題03直線的方程九個(gè)重難點(diǎn)歸類一、直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為．（2）范圍：直線l傾斜角的范圍是2．斜率公式（1）若直線l的傾斜角90°，則斜率．（2）在直線l上，且，則直線l的斜率．二、直線的方程方程適用范圍點(diǎn)斜式：不包含直線斜截式：不包含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式：不包含直線（當(dāng)時(shí)）和直線（當(dāng)時(shí)）截距式：不包含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式：不全為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用三、兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系與與相交垂直平行且或重合且注意：（1）當(dāng)兩條直線平行時(shí)，容易遺漏斜率不存在時(shí)的情況；（2）當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，容易遺漏一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況．四、距離問(wèn)題條件距離公式點(diǎn)之間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線與的距離五、對(duì)稱問(wèn)題（1）中心對(duì)稱：點(diǎn)為點(diǎn)與的中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式為；（2）軸對(duì)稱：若點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則．【重難點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率】例1．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系分析求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，傾斜角為當(dāng)時(shí)，直線的斜率，因?yàn)?，則，所以；綜上所述：線的傾斜角的范圍是.故選：C．例2．已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且的斜率為，則的斜率為（

）A．3或 B．3 C．或 D．【答案】B【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)的傾斜角為，由，即，解得或，因?yàn)椋?，所以，易得的傾斜角為銳角，所以的斜率為3．故選:B.（1）（1）求直線的傾斜角，關(guān)鍵是依據(jù)平面幾何的知識(shí)判斷直線向上方向與軸正向之間所成的角，同時(shí)應(yīng)明確傾斜角的范圍：；（2）解決斜率問(wèn)題的方法①由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)，利用定義式解決．②由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式求解．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．若直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知直線斜率可以求得，再根據(jù)二倍角公式可以求得.【詳解】由直線可知，，，則.故選：C練習(xí)2．如圖所示，直線，，的斜率分別為，，的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷.【詳解】由，結(jié)合的函數(shù)圖像，直線對(duì)應(yīng)的傾斜角為鈍角，則直線與都為銳角，且的傾斜角大于的傾斜角，則，故.故選：C

練習(xí)3．直線l經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用斜率的定義得到，根據(jù)傾斜角，求出答案.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)橫坐標(biāo)不同，故傾斜角不為，由題意得，因?yàn)?，所?故選：B練習(xí)4．若經(jīng)過(guò)和的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的值可能為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線的斜率與夾角的關(guān)系求解；【詳解】由題意知，，解得：.故選：A.【重難點(diǎn)二斜率公式的應(yīng)用】例3．若直線過(guò)定點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段相交（包括端點(diǎn)），則其傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合斜率公式，求得或，進(jìn)而求得直線的傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段相交，可得，，所以直線的斜率不存在或滿足或，所以直線的傾斜角的范圍為.故選：D.例4．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則的取值范圍為.【答案】【分析】把轉(zhuǎn)化為與點(diǎn)所成直線的斜率，作出函數(shù)在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合斜率公式，即可求解.【詳解】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率，又由是在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，如圖所示：可得，則，所以，即的取值范圍為.故答案為：.

求形如求形如的最值，利用的幾何意義：連接定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的直線的斜率，借助圖形，將求最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求斜率的取值范圍問(wèn)題，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圖像結(jié)合直線的斜率范圍求解即可.【詳解】由斜率公式可得，得，由圖像可知，當(dāng)介于之間時(shí)，直線斜率的取值范圍為，當(dāng)介于之間時(shí)，直線斜率的取值范圍為，所以直線的斜率的取值范圍為，故選：D．練習(xí)2．已知線段的端點(diǎn)，，直線：與線段相交，則的取值范圍是．【答案】【分析】將直線方程化為點(diǎn)斜式，畫出圖形，由題中的幾何關(guān)系結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式求解即可.【詳解】

由已知，直線：，∴直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，由已知，直線的斜率，直線的斜率，∵直線與線段相交，∴直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.練習(xí)3．已知三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】0【分析】根據(jù)A，B，C三點(diǎn)共線可得，然后利用兩點(diǎn)間的斜率公式代入求解即可.【詳解】由三點(diǎn)共線可得，即，解得.故答案為：0.練習(xí)4．設(shè)，比較的大?。敬鸢浮俊痉治觥繕?gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)上的點(diǎn)到點(diǎn)的斜率的大小比較，從而結(jié)合圖象即可得解.【詳解】令，而可統(tǒng)一成格式，表示函數(shù)上的點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，

結(jié)合圖象與條件，則構(gòu)造的斜率都是正數(shù)，所以圖象的傾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得.【重難點(diǎn)三直線的平行和垂直】例5．設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線垂直于直線，則（

）A．0或-3 B．0 C．-3 D．3【答案】C【分析】根據(jù)直線一般方程的垂直關(guān)系可得，求解并檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)橹本€垂直于直線，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，直線為，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，符合題意.所以.故選：C.例6．（多選）已知直線：和直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)k，使得直線的傾斜角為B．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都有公共點(diǎn)C．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不重合D．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不垂直【答案】ABD【分析】舉例即可說(shuō)明A、C；分以及，得出直線與直線的關(guān)系，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)直線垂直列出方程，求解方程，即可說(shuō)明D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線的傾斜角為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，與重合，此時(shí)兩直線有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有，即一定相交.綜上所述，對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都有公共點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B可知，當(dāng)時(shí)，直線與重合，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，要使直線與直線垂直，則應(yīng)有，該方程無(wú)解，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不垂直，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.（一）已知直線（一）已知直線與直線,則①,且；②.（二）已知直線,直線,則①且(或)；②.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．“”是“直線：與：平行”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由兩條直線的一般式方程平行的判定，結(jié)合充要條件的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】時(shí)，直線：即，與直線：平行，充分性成立；直線：與：平行，有，解得或，其中時(shí)，兩直線重合，舍去，故，必要性成立.“”是“直線：與：平行”的充要條件.故選：A.練習(xí)2．（多選）已知直線，則（

）A．在軸上的截距為2 B．C．的交點(diǎn)坐標(biāo)為 D．之間的距離為【答案】BC【分析】選項(xiàng)A：令，求在軸上的截距；選項(xiàng)B：根據(jù)直線垂直對(duì)應(yīng)系數(shù)關(guān)系求解；選項(xiàng)C：解方程組求解；選項(xiàng)D：根據(jù)兩平行線間距離求解；【詳解】令，易得在軸上的截距為，A錯(cuò)誤．由，得，B正確．由得所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確．易得，則之間的距離為，D錯(cuò)誤．故選：BC.練習(xí)3．直線與，若，則實(shí)數(shù)．【答案】或【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得或.故答案為：或練習(xí)4．已知集合、，若，則．【答案】1【分析】即兩圖像沒(méi)有交點(diǎn)，即兩直線平行.【詳解】依題知兩直線平行，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，兩直線不重合，所以.故答案為：1【重難點(diǎn)四求直線的方程】例7．（多選）直線過(guò)點(diǎn)且在x軸、y軸上的截距的絕對(duì)值相等，則該直線方程（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，可得要求的直線方程．當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)要求的直線方程為，再把點(diǎn)代入求得k的值，可得要求的直線方程，綜合可得結(jié)論．【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，要求的直線方程為，即．當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)要求的直線方程為，再把點(diǎn)代入可得，或，求得或，故要求的直線方程為或．綜上可得，要求的直線方程為，或.故選：ABC例8．已知的頂點(diǎn)為，，，求：(1)邊AC上的中線所在直線的方程；(2)邊AC上的高所在直線的方程；(3)邊AC的垂直平分線的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，然后根據(jù)點(diǎn)斜式求直線方程即可；（2）根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率相乘為-1得到邊上高的斜率為-2，然后寫直線方程即可；（3）由（1）（2）得的垂直平分線的斜率為-2，過(guò)點(diǎn)，然后寫直線方程即可.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，所以，即，所以，直線：，即，所以邊上的中線所在的直線方程為.（2）由題意得，所以邊上高的斜率為-2，所以邊上高所在直線的方程為：，即.（3）由（2）得的垂直平分線的斜率為-2，由（1）得的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，所以的垂直平分線的方程為：，即.一般情況下，①已知點(diǎn)和斜率，選擇點(diǎn)斜式方程；②已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，選擇兩點(diǎn)式方程；一般情況下，①已知點(diǎn)和斜率，選擇點(diǎn)斜式方程；②已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，選擇兩點(diǎn)式方程；③已知斜率和軸截距，選擇斜截式方程；④已知兩軸截距，選擇截距式方程【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．過(guò)點(diǎn)且在軸，軸上截距相等的直線方程為【答案】和【分析】根據(jù)斜率是否為0，分兩種情況，結(jié)合直線的截距式方程即可求解.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線方程為，且在軸，軸的距離均為0，符合題意，當(dāng)直線在軸，軸均不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為，故答案為：和練習(xí)2．已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：．(1)求過(guò)點(diǎn)B且與直線AC平行的直線方程；(2)求中AB邊上的高所在的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩直線平行與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式方程求解；（2）利用兩直線垂直與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】（1）由題可得，，所以過(guò)點(diǎn)B且與直線AC平行的直線方程為.（2）因?yàn)?所以中AB邊上的高所在的直線斜率為，又因?yàn)橹蠥B邊上的高所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以由點(diǎn)斜式可得，，即.練習(xí)3．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，求：(1)邊所在直線的一般式方程；(2)邊的垂直平分線所在直線的斜截式方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線的兩點(diǎn)式方程和一般式方程的概念求解；（2）利用直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式、斜截式方程概念求解.【詳解】（1）由直線方程的兩點(diǎn)式，得，所以直線的一般式方程為．（2）邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為．因?yàn)檫吽谥本€的斜率為，所以直線的斜率為．所以直線的方程為，即．練習(xí)4．（1）求過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線的一般式方程；（2）求過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線的斜率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線方程，利用過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案；（2）先利用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用截距的關(guān)系求出方程.【詳解】（1）依題意可設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得，故所求直線的方程為．（2）依題意可設(shè)所求直線的方程為．令，得；令，得．依題意可得，解得．【重難點(diǎn)五直線的定點(diǎn)問(wèn)題】例9．若直線恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線方程變形得，從而得解.【詳解】由，可得，令，得，且，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．故選：A.例10．已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】整理直線知過(guò)定點(diǎn)，求出，由數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】直線，過(guò)定點(diǎn)，則，直線和以為端點(diǎn)的線段相交，由圖可知，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.若直線方程含參數(shù)若直線方程含參數(shù)，將其化成:的形式，則方程組的解就是直線所過(guò)定點(diǎn)【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．無(wú)論實(shí)數(shù)λ取何值，直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】【分析】將直線方程化為，進(jìn)而分析求解.【詳解】由，可得，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：.練習(xí)2．要使直線不通過(guò)第二象限，則的取值范圍是．【答案】【分析】把方程展開，提取后聯(lián)立方程組求得直線過(guò)第一象限的定點(diǎn)；由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解．【詳解】由，得，即，聯(lián)立，解得，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)第一象限；①當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第二象限，②當(dāng)時(shí)，直線方程化為：，要使直線不經(jīng)過(guò)第二象限，由于,則，解得：．綜上，要使直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則．故答案為：練習(xí)3．已知直線在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是．【答案】或.【分析】先求出直線l所過(guò)的定點(diǎn)，再根據(jù)條件求解.【詳解】由直線得：，令，解得，所以直線l過(guò)點(diǎn)，由題知，在x軸上的截距取值范圍是，如圖：所以端點(diǎn)處直線的斜率分別為，

所以或；故答案為：或.練習(xí)4．已知直線.(1)若直線的斜率，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線都經(jīng)過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將直線方程轉(zhuǎn)化成斜截式，再利用條件建立不等關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）將直線方程變形成，再利用，得到，從而可證明直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)椋深}知，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即，即，由，得到或，由，得到或，所以?（2）由，變形得到，令，得到，當(dāng)，恒成立，所以，不論取何值，恒過(guò)定點(diǎn)，結(jié)論成立.【重難點(diǎn)六直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題】例11．直線，若直線分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，求三角形AOB面積的最小時(shí)的直線的方程.【答案】【分析】由題可得直線所過(guò)定點(diǎn)為，則設(shè)直線為，其中，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知，，求的最小值，利用基本不等式可得答案.【詳解】，即直線所過(guò)定點(diǎn)為.由題設(shè)直線方程為：，其中，則,.由基本不等式，，面積的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則三角形AOB面積最小時(shí)直線方程為故答案為：例12．已知直線過(guò)點(diǎn)，根據(jù)下列條件分別求出直線的方程．(1)在軸、軸上的截距互為相反數(shù)；(2)與兩條坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形面積最小．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況求直線方程；（2）寫出直線的截距式方程，代入點(diǎn)得，利用不等式即可求解取最值時(shí)的，．【詳解】（1）①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，在軸、軸上的截距互為相反數(shù)都等于0，此時(shí)直線的方程為，②當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為在直線上，，，即．綜上所述直線的方程為或（2）由題意可知直線與兩坐標(biāo)軸均交于正半軸，故設(shè)直線方程為，將代入可得，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故此時(shí)面積最小為,故直線方程為，即由于直線與由于直線與軸、軸圍成的是一個(gè)直角三角形,故求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值，即可用三角形的面積公式求解【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知直線，給出以下命題：①直線的一個(gè)法向量是；②直線的斜率是；③對(duì)任意，直線都不過(guò)原點(diǎn)；④存在，使直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積小于1，所有正確命題的序號(hào)是．【答案】③【分析】①根據(jù)直線方程即可得出法向量；②根據(jù)直線方程即可得出斜率；③將代入直線方程，得出等式不成立，即可得出結(jié)論；④求出三角形的面積表達(dá)式，即可得出面積的范圍.【詳解】由題意，在直線中，直線的方向向量為，法向量為，①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，而不存在，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，代入直線方程得，，顯然不存在，故對(duì)任意，直線都不過(guò)原點(diǎn)，③正確；當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，交點(diǎn)為，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，∴不存在，使直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積小于1，④錯(cuò)誤故答案為：③.練習(xí)2．設(shè)，則直線與圍成的三角形的面積的最大值為．【答案】2【分析】由直線方程確定直線，且直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)都在直線上，這樣設(shè)直線交于，得出三條直線圍成直角，利用基本不等式可得的最大值，從而得三角形面積最大值．【詳解】由題知直線，且直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．設(shè)直線交于，則三條直線圍成的三角形為，且，所以．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以．故答案為：2.練習(xí)3．已知直線的橫截距為m，且在x軸，y軸上的截距之和為4．(1)若直線的斜率為2，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若直線分別與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程．【答案】(1)(2)面積的最大值為2，直線方程為【分析】（1）由題意可得直線在x，y軸上的截距都存在且不為0，設(shè)直線的方程為（且），再結(jié)合斜率公式即可得解；（2）設(shè)直線的方程為（且），由題意可得，求出的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)求出三角形面積的最大值及此時(shí)的值即可得解.【詳解】（1）依題意知，直線在x，y軸上的截距都存在且不為0，設(shè)直線的方程為（且），令，可得，令，可得，即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以直線的斜率為，解得；（2）設(shè)直線的方程為（且），由直線分別與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，可得，解得，又由，，可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，此時(shí)直線方程為，即.練習(xí)4．已知直線過(guò)點(diǎn)．(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的方程；(2)若直線的斜率，當(dāng)與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入直線的方程求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，，根據(jù)三角形的面積公式和基本不等式即可求出最值，進(jìn)而得到直線方程．【詳解】（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),直線的方程為：，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為：，直線過(guò)點(diǎn)，則，此時(shí)的方程為：，故的方程：或.（2）設(shè)直線的方程為，．令，則，令，則，∴直線與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。藭r(shí)的方程為．【重難點(diǎn)七距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用】例13．已知定點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得直線所過(guò)定點(diǎn)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得正確答案.【詳解】直線，即，由解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以的最大值為.故選：B例14．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩條直線平行的條件、平行直線的距離公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：∵直線與直線平行，∴，解得，∴直線，又∵直線可化為，∴兩平行線之間的距離．故選：C．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知．(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)若點(diǎn)在直線上，且，求點(diǎn)到直線的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）計(jì)算直線的斜率為，確定高所在直線的斜率為1，得到直線方程.（2）計(jì)算直線方程，的垂直平分線方程，聯(lián)立得到，計(jì)算距離即可.【詳解】（1）直線，即，直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為1，所以邊上的高所在的直線方程為，整理得；（2）直線，即，的中點(diǎn)為，所以的垂直平分線所在的直線方程為，因?yàn)闉榇怪逼椒志€與直線的交點(diǎn)，所以，解得，所以到直線的距離為．練習(xí)2．已知直線，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求之間的距離．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）由兩線垂直的判定列方程求參數(shù)即可；（2）由兩線平行的判定列方程求參數(shù)，注意驗(yàn)證是否存在重合情況，再應(yīng)用平行線距離公式求距離.【詳解】（1）由，則，即，所以，可得或.（2）由，則，可得，故或，當(dāng)，則，，此時(shí)滿足平行，且之間的距離為；當(dāng)，則，，此時(shí)兩線重合，舍；綜上，時(shí)之間的距離為.練習(xí)3．已知，，.(1)求的面積；(2)若，，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）中，兩點(diǎn)間距離公式求，以邊為底，點(diǎn)到直線的距離為高，求的面積；（2）由平行和垂直的關(guān)系，求出直線和直線的方程，聯(lián)立方程組求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由題得直線的斜率：，所以直線的方程為：，即，點(diǎn)到直線的距離為，，所以.（2）因?yàn)?，則直線的斜率：，所以直線的方程為：，直線的斜率，因?yàn)?，所以，直線的方程為：，即，聯(lián)立方程組，解得：.練習(xí)4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且m與l間的距離為，求直線m的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）法一，已知兩點(diǎn)求斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得，法二，由兩點(diǎn)式方程可得；（2）設(shè)出直線方程，由直線平行得斜率，再由兩平行直線間的距離公式可求.【詳解】（1）法一：由題意得直線l的斜率，故直線l的方程為，即；法二：由兩點(diǎn)式方程可得，，化簡(jiǎn)得.（2）可設(shè)直線m的方程為，由題意得，解得或，故直線m的方程為或.【重難點(diǎn)八對(duì)稱問(wèn)題】例15．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)重合，點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m+n=（

）A． B．10 C． D．5【答案】A【解析】由題意求出點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)所確定是垂直平分線l的方程，再由點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)關(guān)于l對(duì)稱，列式求解出m、n，即可求出m+n【詳解】解：若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)重合，則坐標(biāo)紙折疊一次的折痕是點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)連線的垂直平分線，∵點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)中點(diǎn)為(2，1)，兩點(diǎn)連線的斜率為k=，∴其垂直平分線的斜率為2，則其垂直平分線方程為：y﹣1=2(x﹣2)，即y=2x﹣3，它也是點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)連線的垂直平分線，則，解得.∴m+n=.故選：A.【點(diǎn)睛】對(duì)稱問(wèn)題：（1）點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，是中心對(duì)稱，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式（2）點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱，則l是線段AB的垂直平分線，可以利用垂直和平分分別列方程：和在直線l上.例16．的一個(gè)內(nèi)角的平分線所在直線方程是，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】由題可知是角的平分線所在的直線，求得點(diǎn)關(guān)于角平分線對(duì)稱點(diǎn)，即可得在直線上，寫出直線的方程并求出與平分線的交點(diǎn)即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】根據(jù)以及角平分線可知，都不在直線上，所以是角的平分線所在的直線，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以可得，解得，即；因?yàn)橹本€是角的平分線所在的直線，所以應(yīng)在直線上，即三點(diǎn)共線，如下圖所示;

易知，可得直線方程為，即可知既在上，又在角平分線上，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：若若點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過(guò)直線反射到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，以及數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，得，即點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，

由題意可知，如圖，點(diǎn)都在光線上，并且利用對(duì)稱性可知，，，所以光線經(jīng)過(guò)的路程.故選：C練習(xí)2．已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為.【答案】【分析】推導(dǎo)出點(diǎn)，在直線同側(cè)，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，的最小值為，由此能求出結(jié)果．【詳解】?jī)啥c(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，在直線同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，，，的最小值為．故答案為：練習(xí)3．直線分別交軸和于點(diǎn)，，為直線上一點(diǎn)，則的最大值是．【答案】.【分析】根據(jù)題意，得到，求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合，結(jié)合當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，即可求解.【詳解】由直線分別交軸和于點(diǎn)，可得，如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，又由，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，即的最大值為.故答案為：.

練習(xí)4．已知直線l：，點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P到直線l的距離為d，求d的最大值及此時(shí)l的直線方程；(2)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的一條入射光線經(jīng)過(guò)直線l反射，其反射光線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求反射光線的直線方程．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出直線所過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)最大，且，據(jù)此求直線方程；（2）求關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)在反射直線上求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l：可得，所以由解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，所以到直線l的距離，此時(shí)，即，所以直線l的方程為，即.（2）時(shí)，直線l：，設(shè)關(guān)于直線l：的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，，即，又在反射直線上且反射直線過(guò)原點(diǎn)，所以反射直線的斜率為，故反射直線的方程為，即.【重難點(diǎn)九最值問(wèn)題】例17．直線與直線相交于點(diǎn)P，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線,分別恒過(guò)定點(diǎn)A，B，則的最大值為(

)A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷兩條直線的位置關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】直線，當(dāng)，得，即點(diǎn)，直線，當(dāng)，得，即點(diǎn)，且兩條直線滿足，所以，即，，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為4.故選：A例18．已知光線通過(guò)點(diǎn)，經(jīng)直線反射，其反射光線通過(guò)點(diǎn)，(1)在直線上求一點(diǎn)，使；(2)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【答案】(1)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2)【分析】（1）首先求出線段的垂直