專題05橢圓十二個重難點歸類（解析版）2023-2024學年高二數(shù)學上學期期中期末重難點歸類及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁專題05橢圓十二個重難點歸類一、橢圓的定義平面上到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于兩定點之間的距離）的點的軌跡是橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個定點之間的距離叫做橢圓的焦距，記作.定義式：.要注意，該常數(shù)必須大于兩定點之間的距離，才能構(gòu)成橢圓.二、橢圓的標準方程焦點在軸上，；焦點在軸上，.說明：要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓方程的標準形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：.三、橢圓的圖形及其簡單幾何性質(zhì)標準方程圖形焦點位置幾何性質(zhì)范圍頂點焦點對稱性離心率在軸上，對稱軸：軸，軸，對稱中心：原點，在軸上，注意：求橢圓的標準方程的方法可以采用待定系數(shù)法，此時要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓的標準方程；也可以利用橢圓的定義及焦點位置或點的坐標確定橢圓的標準方程.四、必記結(jié)論1．設(shè)橢圓上任意一點，則當時，有最小值b，P點在短軸端點處；當時，有最大值a，P點在長軸端點處．2．已知過焦點F1的弦AB，則的周長為【重難點一橢圓的定義】例1．在平面直角坐標系中，，，平面中動點P滿足條件（m為常數(shù)，且），則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．直線 D．橢圓或線段【答案】A【分析】結(jié)合基本不等式及橢圓的定義判斷即可.【詳解】因為，所以，即，所以點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．故選：A．例2．若動點滿足方程，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將方程轉(zhuǎn)化為，利用橢圓定義法求標準方程.【詳解】已知動點滿足方程，設(shè)，且，則有，故點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，且中心在原點，焦點在軸，即點的軌跡軌跡方程為橢圓的標準方程，則，，故所求軌跡方程為,故選：B.平面內(nèi)動點平面內(nèi)動點到兩定點的距離的和為常數(shù)，即，當時，動點的軌跡是橢圓；當時，動點的軌跡是一條線段；當時，動點的軌跡不存在.【跟蹤練習】練習1．已知點，動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．圓【答案】C【分析】根據(jù)的大小關(guān)系判斷動點軌跡即可.【詳解】由題設(shè)知：，此時動點P必在線段AB上，即動點軌跡為線段.故選：C練習2．若橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離為7，則到另一個焦點的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用橢圓的定義列式計算得解.【詳解】橢圓的長軸長，而點到橢圓一個焦點的距離為7，所以到另一個焦點的距離為.故選：A練習3．（多選）過已知圓內(nèi)一個定點作圓C與已知圓相切，則圓心C的軌跡可能是（）A．圓 B．橢圓C．線段 D．射線【答案】AB【分析】根據(jù)橢圓及圓的定義數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.【詳解】如圖，設(shè)已知圓的圓心為A，半徑為R，圓內(nèi)的定點為B，動圓的半徑為r．若點A與點B不重合，由于兩圓相內(nèi)切，則，由于，

∴，即．∴動點C到兩個定點A，B的距離和為常數(shù)R．∵B為圓內(nèi)的定點，∴．∴動點C的軌跡為橢圓．若A，B重合為一點，則此時動點C的軌跡為以R為直徑的圓．故選：AB.練習4．在中，若，，的周長是18，則頂點C的軌跡方程是【答案】，【分析】根據(jù)得到頂點C的軌跡是橢圓，確定即可得方程.【詳解】設(shè)頂點，則，所以頂點C的軌跡是以為焦點的橢圓，除去左右兩個頂點，設(shè)該橢圓為，其中，所以橢圓為，即頂點C的軌跡方程是，.故答案為：，.【重難點二求橢圓的標準方程】例3．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，焦距為2，長軸長是短軸長的倍，則該橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法求出橢圓的標準方程.【詳解】由題意，設(shè)橢圓的標準方程為，半焦距為，由題意可得：，解得，所以橢圓的標準方程為．故選：A.例4．求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是，，并且橢圓經(jīng)過點；(2)經(jīng)過兩點，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)橢圓焦點在y軸上且，設(shè)橢圓方程，根據(jù)參數(shù)關(guān)系及點在橢圓上列方程求參數(shù)，即得方程；（2）設(shè)橢圓方程，由點在橢圓上列方程組求參數(shù)，即得方程.【詳解】（1）由已知：橢圓焦點在y軸上且，則，且設(shè)橢圓方程為，又在橢圓上，所以，故橢圓方程為.（2）設(shè)橢圓方程為，且，在橢圓上，所以，則橢圓方程為.（1）若橢圓的焦點位置確定，則用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程：（1）若橢圓的焦點位置確定，則用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程：①根據(jù)焦點位置設(shè)方程為或；②根據(jù)已知條件求出，③寫出橢圓的標準方程（2）若橢圓的焦點位置不確定，則可設(shè)橢圓的方程為，，避免因焦點位置不確定而對方程形式進行分類討論.若求出的參數(shù)值有兩組，則滿足條件的橢圓的標準方程有兩個.【跟蹤練習】練習1．已知橢圓C過點，且離心率為，則橢圓C的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】就焦點的位置分類討論后結(jié)合基本量的關(guān)系可求標準方程.【詳解】若焦點在x軸上，則．由，得，所以，此時橢圓C的標準方程為．若焦點在y軸上，則．由，得，此時橢圓C的標準方程為．綜上所述，橢圓C的標準方程為或．故選：D.練習2．過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)所求橢圓方程為，依題意可得，解得、，即可求出橢圓方程.【詳解】橢圓的焦點為或，設(shè)所求橢圓方程為，則，解得，所以橢圓方程為.故選：D練習3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點的坐標分別是，，并且經(jīng)過點；(2)經(jīng)過兩點，.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出即可；（2）設(shè)橢圓的方程為，再利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，長軸長為，短軸長為，則，且焦點在軸上，，所以，所以橢圓方程為；（2）設(shè)橢圓的方程為，則，解得，所以橢圓方程為.練習4．分別根據(jù)下列條件求橢圓標準方程：(1)一個焦點為(2)與橢圓有相同的焦點，且經(jīng)過點【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知可得a，c，然后由求出b，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)已知橢圓方程可得焦點坐標，然后設(shè)所求橢圓方程為，代入已知點坐標，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由題知，，橢圓焦點在x軸上，又，所以，所以，橢圓方程為.（2）橢圓的焦點為，設(shè)所求橢圓方程為，則有，解得，所以所求橢圓方程為.【重難點三根據(jù)橢圓的方程求參數(shù)】例5．“”是“方程表示的曲線是橢圓”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)橢圓標準方程的特征，結(jié)合充分性和必要性的定義進行判斷即可.【詳解】若方程表示的曲線是橢圓，則，，且，所以且．故“”是“方程表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件．故選：C例6．如圖，，分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，是邊長為2的正三角形，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)是邊長為2的正三角形可得，同時可得到點P的坐標，將點P的坐標代入橢圓方程，再結(jié)合就是可以求出的值.【詳解】因為是邊長為2的正三角形可得，同時可得到點P的坐標為，因為點P在橢圓上，所以，又因為，即，所以由方程組，解得.故答案為：【跟蹤練習】練習1．“是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】把方程化為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為標，當時，方程表示焦點在上的橢圓，即充分性成立；若方程表示焦點在上的橢圓，則滿足，即必要性成立，所以時方程表示焦點在上的橢圓的充要條件.故選：A.練習2．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為．【答案】【分析】方程表示焦點在軸上的橢圓，可得的分母均為正數(shù)，且的分母較大，由此建立關(guān)于的不等式，求解即可．【詳解】∵方程表示焦點在軸上的橢圓，∴，解得，則的取值范圍為是.故答案為：.練習3．已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是．【答案】【分析】直接根據(jù)橢圓標準方程與橢圓焦點位置的關(guān)系列不等式求解.【詳解】方程，即表示焦點在y軸上的橢圓，得，解得.故答案為：.練習4．已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等邊三角形，則是．【答案】3【分析】先確定，然后根據(jù)為等邊三角形得到，帶入已知計算即可.【詳解】由已知得，則，又為等邊三角形，則，即所以，解得.故答案為：.【重難點四橢圓的焦點三角形】例7．已知是橢圓在第一象限上的點，且以點及焦點，為頂點的三角形面積等于1，則點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件設(shè)，再根據(jù)條件可得，代入即可求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題知，，所以，又，得到，代入，解得，所以,故選：B.例8．（多選）橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與C交于P，Q兩點，且點Q在第四象限，若，則（

）A．為等腰直角三角形 B．C的離心率等于C．的面積等于 D．直線l的斜率為【答案】ABC【分析】由線段比例關(guān)系以及橢圓定義可知，且滿足，即可得A正確；易知可得C正確；在等腰直角三角形中，可知直線的斜率為，計算可得的離心率等于.【詳解】對于選項A：因為，不妨設(shè)，又因為，可得；利用橢圓定義可知，所以；即，所以點即為橢圓的上頂點或下頂點，如下圖所示：

由，可知滿足，所以，故A正確；對于選項B：在等腰直角三角形中，易知，即可得離心率，故B正確；對于選項C：因為為等腰直角三角形，且，因此的面積為，故C正確；此時可得直線的斜率，故D錯誤；故選：ABC.在解橢圓中焦點三角形的有關(guān)問題時在解橢圓中焦點三角形的有關(guān)問題時，可結(jié)合橢圓的定義及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解．【跟蹤練習】練習1．已知橢圓C：的左右焦點為，過的直線與交于兩點，若滿足成等差數(shù)列，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓定義可得，結(jié)合已知條件可得，在中，由余弦定理得為等邊三角形，在中，可得，得解.【詳解】

由得到，設(shè)，,在中，由余弦定理得，，解得，為等邊三角形，則在中，，，又，，得，解得.故選：B.練習2．（多選）已知橢圓，，分別為它的左右焦點，點是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中錯誤的有（

）A．點到右焦點的距離的最大值為 B．焦距為C．若，則的面積為 D．的周長為【答案】BD【分析】利用橢圓焦半徑公式可得點到右焦點的距離的最大值為，可知A正確；易知焦距為，可知B錯誤，利用橢圓定義即勾股定理可知的面積為，即C正確；的周長為，D錯誤.【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，，則；點到右焦點的距離的最大值為，可知A正確；焦距為，即B錯誤；由橢圓定義可知，若，則，所以，可得，可得的面積為，即C正確；易知的周長為，即D錯誤；故選：BD練習3．已知直線l：經(jīng)過橢圓C：的左焦點，且與橢圓C相交于M，N兩點，為橢圓的右焦點，的周長為16，則此橢圓的短軸長為．【答案】【分析】確定，根據(jù)周長確定，得到答案.【詳解】直線l：經(jīng)過橢圓的左焦點，則，，

的周長為，解得，故，橢圓的短軸長為.故答案為：.練習4．在平面直角坐標系內(nèi)，動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是.(1)求動點的軌跡方程.(2)若為動點的軌跡上一點，且，求三角形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，再根據(jù)題意列出關(guān)于的等式，化簡即可；（2）根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）設(shè)，則，即，整理得，所以動點的軌跡方程為；（2）由（1）得動點的軌跡為橢圓，且為其焦點，則，由余弦定理得，即，所以，所以.【重難點五與橢圓定義相關(guān)的最值問題】例9．已知是橢圓的左焦點，是橢圓上一動點，若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的右焦點為，根據(jù)橢圓的定義可得，求出的最小值，即可得解.【詳解】橢圓，則，，，如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，則；，由圖形知，當在直線（與橢圓的交點）上時，，當不在直線（與橢圓的交點）上時，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，；當在的延長線（與橢圓的交點）上時，取得最小值，的最小值為．

故選：．例10．（多選）已知橢圓C：的右焦點為F，點為橢圓C內(nèi)一點．若橢圓C上存在一點P，使得，則m的值可以為（

）A． B． C．24 D．25【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由點在橢圓內(nèi)部，再結(jié)合橢圓的定義，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則，由點A在橢圓內(nèi)部得，結(jié)合，解得，根據(jù)橢圓的定義及得，又當P，，A三點共線時最大，從而，解得，綜上，，故選:BCD．解決橢圓中最值問題的常見思路解決橢圓中最值問題的常見思路設(shè)為橢圓上一點，為橢圓的焦點．（1）與有關(guān)的最值問題，一般利用橢圓的定義，根據(jù)基本不等式求解，注意等號成立的條件．（2）與的和、差有關(guān)的最值問題，一般利用平面幾何知識，轉(zhuǎn)化為三點共線問題求解．【跟蹤練習】練習1．設(shè)F是橢圓上的右焦點，是橢圓上的動點，是直線上的動點，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合兩點間線段最短、點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】，設(shè)為該橢圓的左焦點，，所以，于是，顯然當三點共線，且與垂直時，有最小值，最小值為，故選：D練習2．已知為橢圓的焦點，P為橢圓上一動點，，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】先由焦點坐標求出橢圓方程，再根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合可得，得解.【詳解】

由為橢圓的焦點，，，，，，設(shè)橢圓的左焦點為，由橢圓的定義得，，所以的最小值為.故選：A.練習3．已知定點，點為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值為（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義，結(jié)合線段和差的三角不等式列式求解即可.【詳解】令橢圓的左焦點為，有，由橢圓定義知，

顯然點在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，而，即，當且僅當點共線時取等號，當點與重合時，，則，當點與重合時，，則，所以的最大值和最小值為12，8.故選：C練習4．設(shè)實數(shù)滿足的最小值為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】A【分析】利用橢圓的定義可求代數(shù)式的最小值.【詳解】設(shè)，則在橢圓上，又，設(shè)，則為橢圓的右焦點，如圖，設(shè)橢圓的左焦點為，則：，當且僅當三點共線且在之間時等號成立，而，故的在最小值為，故選：A.

【重難點六橢圓的簡單幾何性質(zhì)】例11．已知橢圓C的焦點在軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點，則的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓上的點及橢圓的長短軸關(guān)系即可求得橢圓方程.【詳解】由題可知，所以，且橢圓C的焦點在x軸上，則橢圓的標準方程為.故選：A.例12．（多選）已知橢圓的一個焦點和一個頂點在直線上，則該橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】求出直線的兩截距，注意區(qū)分橢圓焦點在軸上和橢圓焦點在軸上即可解答.【詳解】由題直線的橫截距為2，縱截距為，當橢圓焦點在軸上時，，則，此時橢圓的標準方程為；當橢圓焦點在軸上時，，則，此時橢圓的標準方程為.故選：AD.【跟蹤練習】練習1．（多選）已知橢圓：，則下列各選項正確的是（

）A．若的離心率為，則B．若，的焦點坐標為C．若，則的長軸長為6D．不論取何值，直線都與沒有公共點【答案】BCD【分析】對于A，分焦點在軸上和焦點在軸上討論即可判斷；對于B，根據(jù)得出的焦點在軸上，再由平方關(guān)系即可判斷；對于C，根據(jù)，可以得出，根據(jù)長軸長的定義即可判斷；對于D，首先求出的范圍，然后在方程中，令，得出矛盾，由此即可判斷.【詳解】對于A，當橢圓：的焦點在軸上時，此時；但當橢圓：的焦點在軸上時，此時，解得，綜上，若的離心率為，則或，故A錯誤；對于B，若，則的焦點在軸上，，即的焦點坐標為，故B正確；對于C，若，則的焦點在軸上，，所以的長軸長為，故C正確；對于D，由題意方程表示橢圓，所以，在中令，得，即，結(jié)合可知，，這與矛盾，這表明了不論取何值，直線都與沒有公共點，故D正確.故選：BCD.練習2．已知菱形的四個頂點是橢圓的四個頂點，則菱形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)菱形面積是對角線乘積再結(jié)合長軸長和短軸長計算即可.【詳解】菱形的面積為．故答案為:.練習3．（多選）已知橢圓：，在下列結(jié)論中正確的是（

）A．長軸長為8 B．焦距為C．焦點坐標為 D．離心率為【答案】ABD【分析】先確定的值，然后根據(jù)橢圓性質(zhì)逐一判斷選項即可.【詳解】由已知得，則，故橢圓長軸長為，焦距為，焦點坐標為，離心率，故ABD正確，故選：ABD.練習4．橢圓與橢圓的（

）A．長軸相等 B．短軸相等C．焦距相等 D．離心率相等【答案】C【分析】根據(jù)兩個橢圓的標準方程，求出焦距即可得到結(jié)論.【詳解】因為中的，所以，焦距為；因為中的，所以，焦距為；故選：C.【重難點七求橢圓的離心率】例13．國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式．在手工課上，張老師帶領(lǐng)同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為12cm，則小橢圓的長軸長為（

）cmA．12 B．24 C．10 D．【答案】B【分析】利用橢圓的扁平程度可知兩橢圓離心率相同，即可求得小橢圓的長軸長為.【詳解】由扁平程度相同可知其離心率相同，設(shè)大小橢圓的離心率為；對于大橢圓可得，設(shè)小橢圓的長軸長為，則，解得.故選：B例14．如圖，是橢圓上的三個點，經(jīng)過原點經(jīng)過右焦點，若且，則該橢圓的離心率為.

【答案】【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，設(shè)，利用對稱性得到，，，再根據(jù)，分別在和中，利用勾股定理求解.【詳解】解：如圖所示：

設(shè)橢圓的左焦點為，連接，設(shè)，由對稱性知：，，，因為，所以，在中，，即，解得，在中，，將代入上式，得，故答案為：求橢圓離心率的值或取值范圍，一般先將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于求橢圓離心率的值或取值范圍，一般先將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式，再求解（1）若已知可直接代入求得.（2）若已知則使用.求解.（3）若已知，則先求，再利用（1）求解.（4）若已知的關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)求值【跟蹤練習】練習1．已知橢圓:的左右焦點分別為，過且垂直于軸的直線與交于兩點，與軸的交點為，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等得到是等邊三角形，得到與和的關(guān)系，得到離心率的值.【詳解】

連接，，由題意得，，易知，，，，，，，是等邊三角形，，，，.故選：C練習2．已知橢圓的左頂點為A，右焦點為，過右焦點作x軸垂線交橢圓于B、C兩點，連結(jié)BO并延長交AC于點M，若M為AC的中點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖像，求出各點坐標結(jié)合向量共線，求出關(guān)系即可.【詳解】當時，，所以，則，，則，則.故選：A

練習3．已知橢圓的右焦點為，點，在直線上，，為坐標原點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標運算公式和離心率公式計算求解.【詳解】由已知設(shè)，則，則，又，兩式做差可得，整理得，則.故選：C.練習4．已知橢圓的兩個焦點為，過作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，若的內(nèi)切圓半徑，則該橢圓的離心率為．【答案】【分析】先根據(jù)傾斜角求出弦長，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式求出的關(guān)系.【詳解】因為直線過左焦點且，所以設(shè)直線，聯(lián)立，得，易知，所以，所以，又因為，所以右焦點到直線的距離，所以，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可得，其中為的周長為，所以，解得，即【重難點八求橢圓的離心率范圍】例15．設(shè)分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，若在直線上存在點P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用中垂線的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程即可.【詳解】由題知，如圖所示：

設(shè)P，F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），由線段PF1的中垂線過點F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，即＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故選：D.例16．已知橢圓，偶函數(shù)，且，則橢圓的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)奇偶性求m，由可得b的范圍，然后可得離心率范圍.【詳解】是偶函數(shù)，，，解得，，，又，，．故答案為：【跟蹤練習】練習1．已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示公式，結(jié)合點在橢圓內(nèi)部的特點、橢圓離心率公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)焦點在橫軸上的橢圓標準方程為：，設(shè)，設(shè)，，點在橢圓內(nèi)部，有，要想該不等式恒成立，只需，而，故選：B練習2．已知點是橢圓上的一點，是的兩個焦點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得以為直徑的圓與橢圓相交，所以，即可求出答案.【詳解】解：由已知，以為直徑的圓與橢圓相交，所以，所以，故選：D.練習3．已知圓與橢圓，若在橢圓上存在一點，使得由點所作的圓的兩條切線的夾角為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓上任意點(與上下頂點不重合)作圓的切線，且，根據(jù)題意問題化為保證時，進而得到關(guān)于橢圓參數(shù)的不等式，結(jié)合橢圓離心率范圍及求法確定離心率的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓在上下頂點處相切，橢圓上任意點(與上下頂點不重合)作圓的切線，如下圖，

若且，要所作的圓的兩條切線的夾角最小，只需最大，所以，當與左右頂點重合時，此時最??；靠近上下頂點時無限接近；在橢圓上存在一點，使得所作的圓的兩條切線的夾角為，所以，保證時，即，由題意及圖知：，故，而，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A練習4．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率e的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意得出以原點為圓心、以c為半徑的圓與橢圓有交點，即，從而結(jié)合，即可求出橢圓離心率e的取值范圍.【詳解】因為橢圓上存在點P，使，所以以原點為圓心以c為半徑的圓與橢圓必有交點，如圖，，所以，又因為，所以，即，則，又因為，所以，所以橢圓的離心率e的取值范圍為.

故答案為：.【重難點九直線與橢圓的位置關(guān)系】例17．已知直線與橢圓有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直線l和橢圓C有公共點，聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y便可得到關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，從而有判別式，即可解出m的取值范圍．【詳解】直線代入橢圓方程消去y得：；∵直線與橢圓有公共點，方程有解，∴；解得，即m的取值范圍為.故選：A例18．在平面直角坐標系中，點到，兩點的距離之和為4(1)寫出點軌跡的方程；(2)若直線與軌跡有兩個交點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用定義法求橢圓方程即可；（2）利用橢圓與直線位置關(guān)系的判斷方法即可.【詳解】（1）由橢圓定義可知，軌跡是以，為焦點，長半軸長為2的橢圓，故，，，其橢圓方程為.（2）聯(lián)立得，因為有兩個交點，所以，解得，所以的取值范圍為.判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時，常將直線與橢圓的方程聯(lián)立，消元后，得到一個一元二次方程，利用判別式求解：判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時，常將直線與橢圓的方程聯(lián)立，消元后，得到一個一元二次方程，利用判別式求解：?直線與橢圓相交；?直線與橢圓相切；?直線與橢圓相離．【跟蹤練習】練習1．已知橢圓，直線，則與的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上選項都不對【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立方程并借助一元二次方程判別式判斷得解.【詳解】由消去y并整理得：，顯然，因此方程組有兩個不同的解，所以與相交.故選：A練習2．已知點P（x，y）是橢圓上任意一點，則點P到直線l：的最大距離為.【答案】/【分析】求出與直線平行的直線方程，離直線較遠的直線與的距離即為所求．【詳解】設(shè)直線y＝x＋m與橢圓相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±，切線方程為y＝x＋和y＝x－，與l距離較遠的是y＝x－，∴所求最大距離為d＝＝.故答案為：練習3．已知橢圓，過點作橢圓的切線，則切線方程為.【答案】或【分析】首先判斷點與橢圓的位置關(guān)系，分類討論切線的斜率是否存在，設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【詳解】因為，P在外部，1.當斜率不存在時，易知為橢圓一切線；2.當斜率存在時，設(shè)切線斜率為，則切線方程為，代入中并整理得，因為直線與橢圓相切，則，解得，此時切線方程為；所以切線方程為或.故答案為：或.練習4．設(shè)直線和橢圓有且僅有一個公共點，求和的取值范圍．【答案】，【分析】先換元把直線和橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和圓只有一個公共點，最后把相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑，最后計算范圍即可.【詳解】令，則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳?yīng)的圓和直線，要使已知的直線與橢圓有且僅有一個公共點，只要相應(yīng)的直線與圓相切．由直線和圓相切的充要條件可知，即，故得，即，解得．【重難點十弦長問題】例19．瑞士數(shù)學家歐拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心（中垂線的交點）?重心（中線的交點）?垂心（高的交點）在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線.已知的頂點，且，則的歐拉線被橢圓截得的弦長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出歐拉線的方程，聯(lián)立方程，表示出弦長，求出最值即可.【詳解】因為，由等腰三角形的性質(zhì)可得歐拉線一定過點,當斜率不存在時，被橢圓截得的弦長為2；當斜率存在時，設(shè)方程為，直線與橢圓的交點為,與橢圓方程聯(lián)立可得，則，；令，則，且；，因為，所以，所以當時，即，取到最大值，最大值為.故選：C例20．已知橢圓：的長軸長等于6，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓上，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由橢圓的定義，結(jié)合余弦定理列出方程，再由三角形的面積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）依題意，，∴.∵，即，∴.∴.∴橢圓的方程為.（2）由（1）知，，，設(shè)，，則，即，將，代入后，得，∴，即，∴.∴.∴的面積為.求弦長的兩種方法：求弦長的兩種方法：①出弦兩端點的坐標，然后利用兩點間的距離公式求解；②結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式或進行求解【跟蹤練習】練習1．過點的直線與橢圓交于兩點，則的最大值是.【答案】【分析】由題意可知即為橢圓與直線的交點，設(shè)，利用兩點間的距離公式以及二次函數(shù)性即可求出的最大值是.【詳解】根據(jù)題意可知，顯然在橢圓上，不妨取，則，設(shè)，由不重合可知，且，即所以，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取最大值為，即可得的最大值是.故答案為：練習2．已知橢圓的長軸長為，焦點是、，點到直線的距離為，過點且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)求線段的長．【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)題意及橢圓方程的關(guān)系求解即可；（2）聯(lián)立橢圓方程和直線方程，利用韋達定理和兩點間距離公式求解即可.【詳解】（1）由已知可得且，解得，

則，所以橢圓方程：.（2）由已知可得直線斜率，方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，則，所以線段的長為.練習3．給定橢圓，我們稱圓為橢圓E的“伴隨圓”．已知橢圓E中，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若直線與橢圓E交于A、B兩點，與其“伴隨圓”交于C、D兩點，．求弦長的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由離心率得關(guān)系，結(jié)合及關(guān)系式，可求，進而得到橢圓E的方程；（2）由圓的幾何關(guān)系求得弦心距，再結(jié)合圓心到直線距離公式可求關(guān)于的關(guān)系式，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋達定理，利用弦長公式化簡，結(jié)合基本不等式可求的最大值．【詳解】（1）由題可知，，，且，解得，故橢圓的標準方程為：.（2）由（1）可求“伴隨圓”為：，因為，所以圓心到直線距離為，由圓心到直線距離公式得，解得，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，由得，由得，，設(shè)，則，由弦長公式可得：，若時，則；若時，則當且僅當時取到等號，綜上所述：弦長的最大值2.練習4．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是．(1)求橢圓的方程；(2)傾斜角為的直線交橢圓于兩點，已知，求直線的一般式方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，得到且，求得的值，即可求解；（2）設(shè)的方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理和弦長公式，根據(jù)題意，列出方程，求得，即可求解.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，即，可得，由橢圓上的點到焦點的最小距離是，可得，解得，，，所以橢圓的方程．（2）解：因為直線的傾斜角為，可設(shè)的方程，由方程組，整理得，可得，解得，設(shè)，，則，，又由，解得，滿足，所以直線的一般式方程為或．【重難點十一中點弦問題】例21．在橢圓C：內(nèi)，通過點，且被這點平分的弦所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合點差法求得弦所在直線方程.【詳解】設(shè)弦為，，則滿足，兩式作差得，又被點平分，故，且直線的斜率存在，所以，化簡得，則所在直線方程為，化簡得.故選：A例22．若橢圓的中心在原點，焦點在軸，一個焦點為，直線與橢圓相交所得弦的中點坐標為，則這個橢圓的方程為.【答案】【分析】設(shè)橢圓的方程為，聯(lián)立方程組，得到，根據(jù)題意，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】因為橢圓的一個焦點為，可得，則，可設(shè)橢圓的方程為，設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點為，因為相交所得弦的中點坐標為，所以，聯(lián)立方程組，整理得，易得，則，可得，解得，所以橢圓的方程為.故答案為：.設(shè)直線與橢圓設(shè)直線與橢圓的交點(弦的端點)坐標為，，將這兩點代入橢圓的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量.我們稱這種代點作差的方法為“點差法”.【跟蹤練習】練習1．已知、為橢圓上兩點，為坐標原點，（異于點）為弦中點，若兩點連線斜率為，則兩點連線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用直線和橢圓的位置關(guān)系建立方程組，進一步利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式和中點坐標公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由于直線AB的斜率為，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，故，整理得，則，即，故，故．利用中點坐標公式，不是零，故．故選：B．練習2．斜率為的直線與橢圓：交于，兩點，線段的中點為，則的范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】由點在橢圓內(nèi)有求m范圍，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓整理為一元二次方程形式，則必有，，結(jié)合韋達定理有，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)，在橢圓內(nèi)，則，設(shè)直線代入橢圓，

整理得且，則，由圖知：直線斜率不可能為0，所以，故或.故選：C練習3．已知P是圓C：上一動點，過P作x軸的垂線，垂足為Q，點M滿足，記點M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若A，B是E上兩點，且線段AB的中點坐標為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，利用，得出的坐標，在利用P在圓C：上，即可求出M的軌跡方程.（2）利用點差法求出直線AB，再聯(lián)立直線和橢圓方程，利用弦長公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則，因為，則，因為P在圓C上，所以，故E的方程為．（2）設(shè)，，若A，B是E上兩點，則，兩式相減得，即．因為線段AB的中點坐標為，所以，所以，則直線AB的方程為．聯(lián)立方程組，整理得，其中，則，，．練習4．已知橢圓，其離心率，點分別是橢圓的左右焦點，點是橢圓上任意一點，且的最大值為4．(1)求橢圓的方程；(2)過點作直線與交于兩點，點是線段的中點，過點作直線的垂線交軸于點，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，從而可得點的坐標，進而可求得直線得方程，再求出點的坐標，再結(jié)合求出，即可得解.【詳解】（1）由，可得，則，所以橢圓方程為；（2）由題可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，顯然，則，所以，所以點的坐標為，則直線，令，則，所以，令，則，解得或，所以或，所以直線的方程為或或或．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.【重難點十二橢圓的實際應(yīng)用】例23．開普勒第一定律也稱橢圓定律，軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的個焦點上．將某行星H看作一個質(zhì)點，H繞太陽的運動軌跡近似成曲，行星H在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離．若行星H的近日點距離和遠日點距離之和是（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是16，則（

）A． B． C．34 D．88【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的方程和幾何性質(zhì)，求得近日點距離和遠日點距離之和距離之積，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由曲線的方程為橢圓，可得長半軸，則半焦距，近日點距離為，遠日點距離為，近日點距離和遠日點距離之和是，近日點距離和遠日點距離之積是，解得，，則．故選：C例24．已知荒漠上有兩定點A，B，它們相距2km，現(xiàn)準備在荒漠上圍墾出一片以AB為一條對角線的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長為8km.又該荒漠上有一條直水溝l恰好經(jīng)過點A，且與AB成30°角.現(xiàn)要對整條水溝進行加固，但考慮到今后農(nóng)