專題07 二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題（復習講義）（原卷版）-二輪要點歸納與典例解析

專題07二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題復習講義【要點歸納|典例解析】二次函數(shù)與幾何綜合題是中考必考的題型，一般出現(xiàn)在壓軸題位置，考查到二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、幾何圖形的判定、性質(zhì)，通常會考查到線段最值、定值、面積定值及最值、周長定值及最值、直線的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊三角形的存在性問題、特殊四邊形的存在性問題、拋物線與圓等，考查的范圍比較廣。在解決二次函數(shù)與幾何綜合題時，除了需要具備扎實的基礎(chǔ)外，還需要有良好的思維能力，需要具備一定的數(shù)學思想和方法，在解題中通常會運用到數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體思路、轉(zhuǎn)化思想等，一些綜合性的題目的解答有一定的技巧和方法，在復習備考中，需要重點去學習、練習、總結(jié)和思考。本專題總結(jié)以下七類型典型例題類型一：二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題類型二：二次函數(shù)與圖形面積有關(guān)的問題類型三：二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題類型四：二次函數(shù)與特殊三角形判定有關(guān)的問題類型五：二次函數(shù)與特殊四邊形判定有關(guān)的問題類型六：二次函數(shù)與全等三角形、相似有關(guān)的問題類型七：二次函數(shù)與圓有關(guān)的問題類型一：二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題1.如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點A（－1，0）和點B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E.（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；（2）當點P在線段OB（點P不與O、B重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點M，連接MN、MB，請問：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由.2.已知拋物線y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x軸于點A(6，0)和點B(－1，0)，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）如圖（1），點P是拋物線上位于直線AC上方的動點，過點P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC于點D，E，當PD＋PE取最大值時，求點P的坐標；（3）如圖（2），點M為拋物線對稱軸l上一點，點N為拋物線上一點，當直線AC垂直平分△AMN的邊MN時，求點N的坐標．類型二：二次函數(shù)與圖形面積有關(guān)的問題3.如圖11，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，4），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（－1，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點P，使△PNC的面積是矩形MNHG面積的，若存在，求出該點的橫坐標，若不存在，請說明理由．4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，且，點是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點．（1）求此拋物線的表達式；（2）若，求點的坐標；（3）連接，求面積的最大值及此時點的坐標．類型三：二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題5.如圖，在平面在角坐標系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點A，B（點A在點B的左側(cè)）交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．（1）連結(jié)BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，當MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時，把點P向上平移個單位得到點Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點O瓶時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中邊AQ交坐標軸于點C在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．6.已知拋物線過點和，與x軸交于另一點B，頂點為D．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；（2）如圖1，E為線段上方的拋物線上一點，，垂足為F，軸，垂足為M，交于點G．當時，求的面積；（3）如圖2，與的延長線交于點H，在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由．類型四：二次函數(shù)與特殊三角形判定有關(guān)的問題7.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的對稱軸為直線x＝3，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，已知B點的坐標為(8，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)點M為線段BC上方拋物線上的一點，點N為線段BC上的一點，若MN∥y軸，求MN的最大值；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．8.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：y＝經(jīng)過點A（-2，1）和點B（-1，-1），拋物線：y＝，動直線x＝t與拋物線交于點N，與拋物線交于點M.（1）求拋物線的表達式;（2）直接用含t的代數(shù)式表示線段MN的長;（3）當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值；（4）在（3）的條件下，設(shè)拋物線與y軸交于點P，點M在y軸右側(cè)的拋物線上，連接AM交y軸于點K，連接KN，在平面內(nèi)有一點Q，連接KQ和ON．當KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP時，請直接寫出點Q的坐標.類型五：二次函數(shù)與特殊四邊形判定有關(guān)的問題9.如圖1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于兩點，頂點為，設(shè)點是軸的正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．求拋物線的函數(shù)表達式:若拋物線與拋物線在軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求的取值范圍．如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點在拋物線上的對應(yīng)點，設(shè)是上的動點，是上的動點，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．10.如圖，已知拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點.（1）求此拋物線的解析式；（2）若點是直線下方的拋物線上一動點（不點，重合），過點作軸的平行線交直線于點，設(shè)點的橫坐標為.①用含的代數(shù)式表示線段的長；②連接，，求的面積最大時點的坐標；（3）設(shè)拋物線的對稱軸與交于點，點是拋物線的對稱軸上一點，為軸上一點，是否存在這樣的點和點，使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由.類型六：二次函數(shù)與全等三角形、相似有關(guān)的問題11.已知拋物線與x軸分別交于，兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）點F是線段AD上一個動點．①如圖1，設(shè)，當k為何值時，.②如圖2，以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形是否與相似？若相似，求出點F的坐標；若不相似，請說明理由．12.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a+bx+1的對稱軸為直線x=，其圖象與x軸交于點A和點B(4，0)，與y軸交于點C.(1)直接寫出拋物線的解析式和∠CAO的度數(shù)；(2)動點M，N同時從A點出發(fā)，點M以每秒3個單位的速度在線段AB上運動，點N以每秒個單位的速度在線段AC上運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)運動的時間為t(t>0)秒，連接MN，再將線段MN繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°，設(shè)點N落在點D的位置，若點D恰好落在拋物線上，求t的值及此時點D的坐標；(3)在(2)的條件下，設(shè)P為拋物線上一動點，Q為y軸上一動點，當以點C，P，Q為頂點的三角形與△MDB相似時，請直接寫出點P及其對應(yīng)的點Q的坐標.(每寫出一組正確的結(jié)果得1分，至多得4分)類型七：二次函數(shù)與圓有關(guān)的問題13.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A(，0)，B兩點(點B在點A的左側(cè))，與y軸交于點C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點D，過點A且垂直于AD的直線l交y軸于點E，點P是x軸下方拋物線的一個動點，過點P作PF⊥x軸垂足為F，交直線AD于點H.(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點P的橫坐標為m，當FH＝HP時，求m的值；(3)當直線PF為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，HC為半徑作⊙H，點Q為⊙H上的一個動點，求AQ＋EQ的最小值.14.如