2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市青龍縣高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市青龍縣高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.空間直角坐標(biāo)系中，已知A(2,1,3)，B(?2,3,1A.6 B.26 C.22.圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別是k1，k2，k3，則有

A.k1<k2<k3 B.3.若a=(?1,0,x)，b=A.(?∞,12) B.(4.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,8)，B(?A.2x?y+4=0 B.5.棱長(zhǎng)均為3三棱錐S?ABC，若空間一點(diǎn)P滿足SP=A.6 B.63 C.6.設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為A.x24+y23=1 7.若圓x2+y2+(λ?A.(0,+∞) B.(18.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)A.155 B.154 C.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0)，A.AB與AC是共線向量 B.直線AB的一個(gè)方向向量是(2,1,0)

C.AB10.在四面體P?ABCA.若AD=13AC+23AB，則2BD=DC

B.若M、N分別為PA、BC11.發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對(duì)把卵形線描繪成軌道有興趣．像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對(duì)橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線．卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之積為常數(shù)．已知：曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(?1,0)和A.曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

C.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

D.若點(diǎn)在曲線C上，則△F112.如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1中，A.VP?AA1D=13

B.點(diǎn)P必在線段B三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知k∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線kx+y?1=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線x14.①若AB//CD，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；

②若AB/?/AC，則A，B，C三點(diǎn)共線；

③若e1，e2為不共線的非零向量，a=4e1?25e2，b15.已知正方體ABCD?A1B16.已知平面向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=2，a，b的夾角等于π3四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知直線l1：2x?(a?1)y?2=0，l2：(a+2)x18.(本小題12分)

已知圓C：x2+(λ?2)x+y2+2λy+1?λ=0，λ∈R．

(1)證明：圓C過(guò)定點(diǎn)．

(2)當(dāng)λ=2時(shí)，過(guò)P(1,19.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓E過(guò)T(2,1)，斜率為k的直線l與橢圓E交于A、B．

(1)20.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓E過(guò)T(2,1)，斜率為k的直線l與橢圓E交于A、B．

(1)21.(本小題12分)

如圖所示，在正四棱錐P?ABCD中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線BE交線段PO22.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PD=AD=2，AD⊥PC，點(diǎn)E在線段PC上(不與端點(diǎn)重合)，∠PCD=

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵A(2,1,3)，B(?2,3,1)，點(diǎn)A關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)為C，

∴C(2,12.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了直線的傾斜角與斜率的大小關(guān)系、正切函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)直線l1，l2，l3的傾斜角分別為：θ1，θ2，θ3.可得0<θ1<π2<θ2<θ3<π，利用正切函數(shù)的單調(diào)性即可得出斜率大小關(guān)系．

【解答】

解：設(shè)直線l1，l2，3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閍=(?1,0,x)，b=(2?x,x+1,3)，

令a與b共線，則b=λa，即(2?x,x+1,3)=λ(?1,0,x)，即2?x=?λx+1=03=λx，解得x=?14.【答案】D

【解析】解：∵A(2,8)，C(6,0)，∴AC邊中點(diǎn)為D(2+62,8+02)，即5.【答案】A

【解析】解：∵空間一點(diǎn)P滿足SP=xSA+ySB+zSC且x+y+z=1，

∴點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)．

因此當(dāng)SP⊥平面ABC，P為垂足時(shí)，|SP|取得最小值．

∵三棱錐S?ABC的棱長(zhǎng)均為3，∴點(diǎn)P為底面ABC的中心．

∴AP=23AD，AD=36.【答案】D

【解析】解：橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=22，

可得c=2，|PF1|?|PF27.【答案】C

【解析】解：方程x2+y2+(λ?1)x+2λy+λ=0表示圓，則：(λ?1)2+(2λ)2?4λ>0，

8.【答案】C

【解析】解：∵F2(c,0)，F(xiàn)1(?c,0)，上頂點(diǎn)為B(0,b)，

∴tan∠BF1F2=bc=10，又9.【答案】BC【解析】解：因?yàn)锳(0,1,0)，B(2,2,0)，C(?1,3,1)，

所以AB=(2,1,0)，AC=(?1,2,1)，AB≠λAC，AB與AC不共線，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由AB=(2,1,0)，所以直線AB的一個(gè)方向向量是10.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A：∵AD=13AC+23AB，∴AD,AC,AB向量共面，

又∵13+23=1，∴D在線段BC上，

又∵AD=AB+BD，若BD=λBC，

則AD=AB+λBC，又∵BC=AC?AB，

∴AD=(1?λ)AB+λAC，

∴λ=13，即BC=3BD，則2BD=DC，故A正確；

對(duì)于B：由題意得MN=P11.【答案】BC【解析】【分析】本題考查新定義，考查軌跡方程的求法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵，屬于較難題．

設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)題意可得曲線【解答】

解：由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，

則(x+1)2+y2?(x?1)2+y2=a2，

即[(x+1)2+y2]?[(x?1)2+y2]=a4，

若曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，

將點(diǎn)(0,0)代入曲線C的方程中可得a2=1與已知a>1矛盾，

故曲線C不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故12.【答案】BD【解析】解：正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，

點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD1，

對(duì)于A，∵點(diǎn)P在平面BCC1B1，平面BCC1B1/?/平面AA1D，

∴點(diǎn)P到平面AA1D的距離即為點(diǎn)C到到平面AA1D的距離，即為正方體的棱長(zhǎng)，

∴VP?AA1D=13S△AA1D?CD=13×12×1×1×1=16，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(1,0,0)，P(x,1,z)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)13.【答案】13

【解析】解：由已知可得A(0,1)，B(?3,?1)，

聯(lián)立方程kx+y?1=0x?ky?k+3=0，解得P(14.【答案】②③【解析】解：①若AB//CD，則A，B，C，D四點(diǎn)共線或AB/?/CD，因此是假命題；

②若AB/?/AC，則A，B，C三點(diǎn)共線，是真命題；

③若e1，e2為不共線的非零向量，a=4e1?25e2，b=?e1+115.【答案】2【解析】解：設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，

則AD1=AC=D1C=B1D1=22+22=22，

取B1D1中點(diǎn)O，CD1中點(diǎn)E，連接AO，EO，AE，

則AO⊥B1D1，EO⊥B1D1，

∴∠AO16.【答案】[【解析】解：由(a??c)?(b??c)=0可得c2=(a?+b)?c?a?b?=|a?+b|?|c|cosα?1×2cosπ3=|a?+b|?|c|17.【答案】解：(1)因?yàn)閘1⊥l2，可得2(a+2)?(a?1)(2a+1)=0，即2a2?3a?5=0，

解得a=?1或a【解析】(1)由直線的垂直可得參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求出a的值；

(2)由直線的平行，可得參數(shù)的關(guān)系，即求出18.【答案】(1)解：由圓的方程C：x2+(λ?2)x+y2+2λy+1?λ=0，

可得x2?2x+1+y2+λ(x+2y?1)=0，即(x?1)2+y2+λ(x+2y?1)=0，

令x+2y?1=0，可得(x?1)2+y2=0，解得x=1，y=0，

所以圓C過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)．

(2)解：當(dāng)λ=2時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+2)2=5，【解析】(1)化簡(jiǎn)圓的方程為(x?1)2+y2+λ(x+2y?1)=0，令x+2y?1=0，即可求解；

19.【答案】解：(1)由題意得Rt△NPP中，|F1F2|=2c，|ON|=b，且c?b，故a2=b2+c2=2b2，

又橢圓過(guò)T(2,1)，所以4a2+1b2=1，解得a2=6，b2=3，

故橢圓方程為E：x26+y23=1．

(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+h，

聯(lián)立x26+y23=1y=kx+h，得(1+2k2)x2+4khx+2h【解析】(1)根據(jù)題意得到c=b和4a2+1b2=1，結(jié)合a2=b2+c2求出a2=620.【答案】解：(1)由題意，得Rt△NF1F2中，|F1F2|=2c，|ON|=b，且c=b，

所以a2=b2+c2=2b2，又橢圓E過(guò)T(2,1)，

所以4a2+1b2=1，解得a2=6，b2=3，

故橢圓方程為E：x26+y23=1．

(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+h，

聯(lián)立y=kx+h與E：x26+y23=1，得(1+2k2)【解析】(1)根據(jù)題意，得到c=b和4a2+1b2=1，結(jié)合a2=b2+c2，求出a2=621.【答案】證明：如圖，延長(zhǎng)FO至點(diǎn)M，使FO=OM，連接MD，

∵底面ABCD的中心為O，

∴PO⊥平面ABCD，BO=OD，

∵BD?平面ABCD，

∴PO⊥BD，

∵BO=OD，∠FOB=∠DOM，BO【解析】作出輔助線，由線面垂直得到線線垂直，證明出兩三角形全等，得到EF/?2