【圓相關證明與計算】類型一-圓的基本性質證明與計算（解析版）

PAGE類型一圓的基本性質證明與計算【典例1】如圖．點A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】D【解析】【分析】首先連接BE,由圓周角定理即可得∠BEC的度數(shù)，繼而求得∠BED的度數(shù),然后由圓周角定理,求得∠BOD的度數(shù).【詳解】解：連接BE,∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,∴∠BOD＝2∠BED＝90°.故選:D.【點睛】本題主要考查了圓周角定理的應用,做題的時候分清楚每一個角是解此類題的關鍵.【典例2】如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可．【詳解】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，故選：B．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【典例3】如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質，用α表示∠CBD，進而由圓心角與圓周角關系，用α表示∠COD，最后由角的和差關系得結果．【詳解】解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理以及直角三角形的兩個銳角互余的關系，熟練掌握圓周角定理是解決本題的關鍵．【典例4】如圖，在中，，以點O為圓心，2為半徑的圓與交于點C，過點C作交于點D，點P是邊上的動點．當最小時，的長為（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】延長CO交于點E，連接EP，交AO于點P，則PC+PD的值最小，利用平行線份線段成比例分別求出CD，PO的長即可．【詳解】延長CO交于點E，連接ED，交AO于點P，如圖，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°,又，∴∠DCB=∠AOB，∴CD//AO∴∵OC=2，OB=4，∴BC=2,∴，解得，CD=；∵CD//AO，∴，即，解得，PO=故選：B．【點睛】此題主要考查了軸對稱最短距離問題，同時考查了平行線分線段成比例，掌握軸對稱性質和平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．【典例5】如圖，是的內(nèi)接三角形，，是直徑，，則的長為（）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接BO，根據(jù)圓周角定理可得，再由圓內(nèi)接三角形的性質可得OB垂直平分AC，再根據(jù)正弦的定義求解即可．【詳解】如圖，連接OB，∵是的內(nèi)接三角形，∴OB垂直平分AC，∴，，又∵，∴，∴,又∵AD=8，∴AO=4，∴，解得：，∴．故答案選B．【點睛】本題主要考查了圓的垂徑定理的應用，根據(jù)圓周角定理求角度是解題的關鍵．【典例6】如圖，是的直徑，弦，垂足為點．連接，．如果，，那么圖中陰影部分的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是的直徑，弦，由垂徑定理得，再根據(jù)證得，即可證明，即可得出．【詳解】解：是的直徑，弦，，．又在和中，，故選：B【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質，全等三角形的判定，扇形的面積，等積變換，解此題的關鍵是證出，從而將陰影部分的面積轉化為扇形OBC的面積，題目比較典型，難度適中．【典例7】如圖,在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C,D．AC與BD相交于點E，CD2=CE·CA,分別延長AB,DC相交于點P，PB=BO，CD=2．則BO的長是_________．【答案】4【解析】【分析】連結OC，設⊙O的半徑為r，由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根據(jù)圓周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到，則，然后證明，利用相似比得到，再利用比例的性質可計算出r的值即可．【詳解】解：連結，如圖，設的半徑為，，，而，，，，，，，，，，，，，，，即，，即OB=4.故答案為：4.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．也考查了圓周角定理．【典例8】如圖，⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，切點分別為E、F、G、H，ED與⊙O相交于點M，則sin∠MFG的值為．【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以把求三角函數(shù)的問題，轉化為直角三角形的邊的比的問題．【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，∴AE＝AB，EG＝BC；根據(jù)圓周角的性質可得：∠MFG＝∠MEG．∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，∴sin∠MFG＝．故答案為：．【點評】本題考查圓周角的性質及銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊．【典例9】如圖，由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C、D，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．【詳解】∵和∠ABC所對的弧長都是，∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝，∴在Rt△ACB中，AB=根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝，∴=，故選A．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識點，解答本題的關鍵是利用圓周角定理把求的正弦值轉化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯的習題．【典例10】如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦(不是直徑)，AB⊥CD于點E，則下列結論正確的是()A．AE>BEB.eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))C．∠D＝eq\f(1,2)∠AECD．△ADE∽△CBE【答案】：D命題點2圓周角定理【典例11】如圖，點O為優(yōu)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圓的圓心，∠AOC＝108°，點D在AB的延長線上，BD＝BC，則∠D______．【答案】：27°重難點1垂徑定理及其應用【典例12】已知AB是半徑為5的⊙O的直徑，E是AB上一點，且BE＝2.(1)如圖1，過點E作直線CD⊥AB，交⊙O于C，D兩點，則CD＝_______；圖1圖2圖3圖4探究：如圖2，連接AD，過點O作OF⊥AD于點F，則OF＝_____；(2)過點E作直線CD交⊙O于C，D兩點．①若∠AED＝30°，如圖3，則CD＝__________；②若∠AED＝45°，如圖4，則CD＝___________．【答案】：（1）8,（2）【思路點撥】由于CD是⊙O的弦，因此利用圓心到弦的距離(有時需先作弦心距)，再利用垂徑定理，結合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．【變式訓練1】如圖，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，則弦BC的長為()A．4B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)【答案】：D【變式訓練2】【分類討論思想】已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，則弦AB和CD之間的距離是__________________【答案】：2cm或14cmeq\x(方法指導)1．垂徑定理兩個條件是過圓心、垂直于弦的直線，三個結論是平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧與劣?。?．圓中有關弦的證明與計算，通過作弦心距，利用垂徑定理，可把與圓相關的三個量，即圓的半徑，圓中一條弦的一半，弦心距構成一個直角三角形，從而利用勾股定理，實現(xiàn)求解．3．事實上，過點E任作一條弦，只要確定弦與AB的交角，就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長．重難點2圓周角定理及其推論【典例14】已知⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為4.(1)如圖1，若∠A＝30°，求BC的長；(2)如圖2，若∠A＝45°：①求BC的長；②若點C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，求AB的長；(3)如圖3，若∠A＝135°，求BC的長．圖1圖2圖3【答案】（1）4（2）4eq\r(2).,8（3）4eq\r(2).【點撥】連接OB，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，構建可解的等腰三角形求解．【解析】解：(1)連接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形．∴BC＝OB＝4.(2)①連接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∵OB＝OC＝4，∴BC＝4eq\r(2).②∵點C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直徑．∴AB＝8.(3)在優(yōu)弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上任取一點D，連接BD，CD，連接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4eq\r(2).【變式訓練3】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上的一點，∠OAC＝32°，則∠B的度數(shù)是()A．58°B．60°C．64°D．68°【答案】：A【變式訓練4】將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上．點A，B的讀數(shù)分別為88°，30°，則∠ACB的大小為()A．15°B．28°C．29°D．34°【答案】Ceq\x(方法指導)1．在圓中由已知角求未知角，同(等)弧所對的圓心角和圓周角的關系是一個重要途徑，其關鍵是找到同一條弧．2．弦的求解可以通過連接圓心與弦的兩個端點，構建等腰三角形來解決．3．一條弦所對的兩種圓周角互補，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補．eq\x(模型建立)在半徑已知的圓內(nèi)接三角形中，若已知三角形一內(nèi)角，可以求得此角所對的邊．eq\x(易錯提示)注意同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，避免把數(shù)量關系弄顛倒．重難點3圓內(nèi)接四邊形【典例14】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形．延長AB與DC相交于點G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠DBC的度數(shù)為()A．50°B．60°C．80°D．90°【答案】C【思路點撥】延長AE交⊙O于點M，由垂徑定理可得eq\o(CD,\s\up8(︵))＝2eq\o(DM,\s\up8(︵))，所以∠CBD＝2∠EAD.由圓內(nèi)接四邊形的對角互補，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE與∠EAD互余，由此得解．【變式訓練5】如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是()A．80°B．120°C．100°D．90°【答案】B【變式訓練6】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點．若∠A＝n°，則∠DCE＝____________【答案】n°eq\x(方法指導)1．找圓內(nèi)角(圓周角，圓心角)和圓外角(頂角在圓外，兩邊也在圓外或頂點在圓上，一邊在圓內(nèi)，另一邊在圓外)的數(shù)量關系時，常常會用到圓內(nèi)接四邊形的對角互補和三角形外角的性質．2．在同圓或等圓中，如果一條弧等于另一條弧的兩倍，則較大弧所對的圓周角是較小弧所對圓周角的兩倍．Ｋ能力提升1．如圖，在⊙O中，如果eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(AC,\s\up8(︵))，那么()A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＜2ACD．AB＞2AC【答案】C2．如圖，在半徑為4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，則AB的長為()A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)【答案】D3．如圖，在平面直角坐標系中，⊙O′經(jīng)過原點O，并且分別與x軸、y軸交于點B，C，分別作O′E⊥OC于點E，O′D⊥OB于點D.若OB＝8，OC＝6，則⊙O′的半徑為()A．7B．6C．5D．4【答案】C4．如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，則∠C的度數(shù)是()A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并與⊙O相交于點D，連接BD，則∠DBC的大小為()A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A6．如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形ABDE的兩組對邊，延長線相交于點F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，則∠C的度數(shù)為()A．30°B．43°C．47°D．53°【答案】C如圖，小華為了求出一個圓盤的半徑，他用所學的知識，將一寬度為2cm的刻度尺的一邊與圓盤相切，另一邊與圓盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)分別是“4”和“16”(單位：cm)，請你幫小華算出圓盤的半徑是________cm.【答案】10cm8．如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E.(1)求證：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．【答案】：(1)證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)連接CD.∵eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑．∴∠BDC＝90°.∴BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝4eq\r(2).∴△ABC外接圓的半徑為2eq\r(2).9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，連接AC，BD，以BD為直徑的圓交AC于點E.若DE＝3，則AD的長為()A．5B．4C．3eq\r(5)D．2eq\r(5)提示：過點D作DF⊥AC于點F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．【答案】D10．如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，DE⊥AB于點E，且DE交AC于點F，DB交AC于點G.若eq\f(EF,AE)＝eq\f(3,4)，則eq\f(CG,GB)＝_____________．【答案】e