三角形中的幾何計算

§2三角形中的幾何計算明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺041.會用正、余弦定理解決與三角形有關(guān)的幾何計算問題.2.培養(yǎng)分析問題、獨立解決問題的能力，并激發(fā)探索精神.明目標、知重點填要點·記疑點2.幾個重要結(jié)論(1)若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝

；(2)若cosA＝cosB，則A

B；(3)若a2>b2＋c2，則△ABC為

；(4)若a2＝b2＋c2，則△ABC為

；(5)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，則△ABC為

.＝鈍角三角形直角三角形銳角三角形探要點·究所然情境導學由于幾何體的復雜性，導致了運用的難度，在眾多的角度和邊長問題中，要采用“歸一”思想，即歸到一個三角形內(nèi)計算，需要什么就在其他三角形中求什么.探究點一求平面幾何圖形中的邊長例1如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的長.解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，反思與感悟在平面幾何中，求線段的長度往往歸結(jié)為求三角形的邊長，求三角形邊長一般會涉及正、余弦定理及勾股定理，恰當?shù)剡x擇或構(gòu)造三角形是解決這類問題的關(guān)鍵.跟蹤訓練1

如圖，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的長.解在△ACD中，由余弦定理，得∵C為三角形的內(nèi)角，∴C∈(0,180°)，探究點二實際問題向幾何問題的轉(zhuǎn)化例2一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由點A開始作勻速直線運動，到達點B時，發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A作勻速直線滾動.如圖所示，已知AB＝4dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°.若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，則該機器人最快可在何處截住足球？思考1機器人最快截住足球的地方與足球滾動到達的地方有什么關(guān)系？答機器人最快截住足球的地方正是機器人與足球同時到達的地方.思考2寫出例題的解題過程.解設該機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上.設BC＝xdm，由題意，CD＝2xdm.AC＝AD－CD＝(17－2x)(dm).在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，所以AC＝17－2x＝7dm，答該機器人最快可在線段AD上離點A7dm的點C處截住足球.反思與感悟解決生活實際問題就要把握如何把實際問題數(shù)學化，也就是如何把握一個抽象、概括的問題，建立數(shù)學模型.即把實際中的距離和角的大小問題轉(zhuǎn)化為三角形中的幾何元素，然后運用正、余弦定理加以解決.跟蹤訓練2如圖所示，為了測量正在海面勻速行駛的某輪船的速度，在海岸上選取距離為1千米的兩個觀察點C、D，在某天10∶00觀察到該輪船在A處，此時測得∠ADC＝30°，2分鐘后該輪船行駛至B處，此時測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，則該輪船的速度為多少千米/分鐘？解在△BCD中，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝60°.∴∠BDC＝90°.∴△CDB為等腰直角三角形，∴BD＝CD＝1，在△ABD中，由余弦定理得，例3如圖所示，已知⊙O的半徑是1，點C在直徑AB的延長線上，BC＝1，點P是⊙O半圓上的一個動點，以PC為邊作等邊三角形PCD，且點D與圓心分別在PC的兩側(cè).(1)若∠POB＝θ，試將四邊形OPDC的面積y表示為關(guān)于θ的函數(shù)；解在△OPC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ＝5－4cosθ，所以y＝S△OPC＋S△PCD(2)求四邊形OPDC面積的最大值.反思與感悟利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫示意圖，要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?跟蹤訓練3如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝

且AD＝BD，求△ABC的面積.解設CD＝x，則AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理可知解得x＝1.當堂測·查疑缺12341234答案C12342.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，如果2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面積為

，那么b等于(

)1234∴ac＝6.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2accosB－2ac.答案B12343.已知四邊形ABCD為平行四邊形.求證：AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.證明在△BAD內(nèi)，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，在△ABC內(nèi)，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，∵∠ABC＋∠BAD＝180°，∴cos∠ABC＋cos∠BAD＝0.∴BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，即AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.123412344.已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，求BD的長.解如圖，連接BC，在△ABC中，由正弦定理知：1234又∵∠ACD＝90°，由AB⊥BD，AC⊥CD，∠BAC＝120°得∠BDC＝60°.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.正弦定理、余弦定理主要用來解決三角形問題，有些平面幾何問題通過轉(zhuǎn)化變?yōu)榻馊切螁栴}，便需要用