經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第三版） 教案 10. 概率基礎(chǔ)

長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課題概率基礎(chǔ)授課課時2課型新授課教案編號教學(xué)目標(biāo)（知識、技能、素質(zhì)）：1、知識目標(biāo)：掌握加法公式、乘法公式，概率的定義與性質(zhì)及條件概率的計算2、技能目標(biāo)：分析解決問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力3、素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識教學(xué)重點(diǎn)：加法公式、乘法公式，概率的定義與性質(zhì)及條件概率的計算教學(xué)難點(diǎn)：條件概率的計算；在次貝努利試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率主要教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式、講授法教學(xué)環(huán)節(jié)與內(nèi)容一、問題引入隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照號碼組成辦法，每一副汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個字母必須組成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須組成一組出現(xiàn)。那么按照這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？二、新課講授（1）加法原理與乘法原理隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照號碼組成辦法，每一副汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個字母必須組成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須組成一組出現(xiàn)。那么按照這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？這就需要用我們將要學(xué)習(xí)的計數(shù)原理來解決。加法原理：做一件事，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，且每種方法都能夠直接達(dá)到目的。案例1從甲地到乙地，有3條公路，2條鐵路，某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？解因?yàn)槊恳环N走法都能完成從甲地到乙地這件事，有3條公路、2條鐵路，所以全部的走法共有(種).乘法原理：做一件事，完成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。案例2某大學(xué)公共課部有12名大學(xué)人文教師、8名數(shù)學(xué)教師、15名大學(xué)英語教師，省教育廳擬組織一次公共課課程研討會，需要學(xué)校派教師參會。（1）若需要選派1名教師參會，有多少種不同的派法？（2）若需要3門學(xué)科各派1名教師參會，有多少種不同的派法？（3）若需要選派2名不同學(xué)科的教師參會，有多少種不同的派法？解(1)分三類：第一類，派大學(xué)人文教師，有12種不同的派法；第二類，派數(shù)學(xué)教師，有8種不同的派法；第三類，派大學(xué)英語教師，有15種不同的派法。所以，共有種不同的派法。(2)分三步：第一步，派大學(xué)人文教師，有12種不同的派法；第二步，派數(shù)學(xué)教師，有8種不同的派法；第三步，派大學(xué)英語教師，有15種不同的派法。所以，共有種不同的派法。(3)分三類：第一類，派1名大學(xué)人文教師和1名數(shù)學(xué)教師，有種不同的派法；第二類，派1名數(shù)學(xué)教師和1名大學(xué)英語教師，有種不同的派法；第三類，派1名大學(xué)人文教師和1名英語教師，有種不同的派法。所以，共有種不同的派法。（2）組合定義1：一般地，從個不同元素中取出()個元素組成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合。定義2：從個不同元素中取出()個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示。組合數(shù)的計算可由下面的公式(證明略)給出，，，組合數(shù)有以下三條簡單性質(zhì)（1），（2）；（3）.（3）概率的定義與性質(zhì)明天的天氣、被分到的牌、你是否會被染上禽流感、出現(xiàn)在彩票大獎中的數(shù)字等都是隨機(jī)現(xiàn)象，為了討論上述現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小，我們首先介紹概率中的一些基本概念。定義3：隨機(jī)現(xiàn)象是指在一定條件下，重復(fù)進(jìn)行某種試驗(yàn)或觀察，可能出現(xiàn)這種結(jié)果，也可能出現(xiàn)另一種結(jié)果，到底出現(xiàn)哪個結(jié)果，事先不能確定的現(xiàn)象。定義4：針對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)或觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)。定義5：樣本點(diǎn)是在一定條件下對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)的每一個可能的結(jié)果。定義6：樣本空間是所有樣本點(diǎn)組成的集合。定義7：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果或其中一些結(jié)果的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，通常用大寫字母表示。定義8：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件稱為必然事件,記為。定義9：在一定條件下，必然不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，記為。定義10：在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn),事件發(fā)生了次，則稱為事件發(fā)生的頻率。如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一個常數(shù)上，則稱該常數(shù)為事件的概率，記作，即.顯然，概率具有下面三條性質(zhì)。性質(zhì)1：對于任意的事件，有。性質(zhì)2：必然事件的概率等于1，即。性質(zhì)3：不可能事件的概率等于零，即。注意：概率的定義，刻畫了事件發(fā)生可能性的大小，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時，可以把頻率作為概率的近似值。（4）加分公式與乘法公式定義11：事件與事件中至少有一個發(fā)生而構(gòu)成的事件稱為事件與事件的和（或并），記作(或)。定義12：事件與事件同時發(fā)生而構(gòu)成的事件稱為事件與事件的積（或交），記作(或)。例如，擲一枚骰子，={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)}，={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)}，則={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)}={出現(xiàn)6點(diǎn)}。進(jìn)一步，如果，則事件與事件不能同時發(fā)生，此時，稱事件與事件互不相容(互斥)。在概率的計算過程中，往往需要用到下面的加法公式。如果是隨機(jī)事件，。如果是隨機(jī)事件，且，則。如果是樣本空間的事件，則的補(bǔ)事件的概率為。案例4某設(shè)備由甲、乙兩個部件組成，超負(fù)荷時，甲出故障的概率為0.90，乙出故障的概率分0.85，甲、乙兩部件同時出故障的概率為0.80，求超負(fù)荷時至少有一個部件出故障的概率。解設(shè)={甲部件出故障},={乙部件出故障}，則于是即超負(fù)荷時，至少有一個部件出故障的概率是0.95。定義13：是兩個隨機(jī)事件，,稱在事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率為條件概率，記作。如果是兩個隨機(jī)事件，，則。案例5表2-1為某企業(yè)男職工與女職工在過去5年的升職情況，試說明該企業(yè)在職工升職過程中是否存在性別歧視。表2-1某企業(yè)職工升職情況表男女小計升職人數(shù)801595未升職人數(shù)22085305小計300100400解設(shè)={男職工},={女職工}，={升職},={未升職}，考慮升職過程中是否存在性別歧視，即考慮給定是女職工、男職工時升職的概率,即需要求出從表2-1中可知，，，，所以.顯然，在該企業(yè)中男職工的升職機(jī)會比女職工多一些。如果事件是樣本空間中的事件，將條件概率公式變形后，可得到乘法公式，即或.注意：乘法公式還可以推廣到多個事件相交的情況。案例6袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個白球，直至取出黑球?yàn)橹?，求取了次都未取出黑球的概率。解設(shè)={取了次都未取出黑球}，={第次取到白球}()，則，由乘法公式，我們有（5）事件的獨(dú)立性與貝努利試驗(yàn)設(shè)是兩個隨機(jī)事件，，一般來說，，即A的發(fā)生對B的發(fā)生有影響。如果，則乘法公式就可以表示為，這時稱隨機(jī)事件A和事件B是相互獨(dú)立的。定義14：設(shè)為兩個隨機(jī)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立。關(guān)于事件的獨(dú)立性，有如下性質(zhì)：性質(zhì)4若兩個事件相互獨(dú)立，則與；與；與也相互獨(dú)立。性質(zhì)5若事件（）相互獨(dú)立，則有性質(zhì)6若事件（）相互獨(dú)立，則有在實(shí)際應(yīng)用中，一般不借助定義來判斷事件間的獨(dú)立性，而是根據(jù)問題的具體情況，按照獨(dú)立性的直觀定義或經(jīng)驗(yàn)來判斷事件的獨(dú)立性。案例7甲、乙兩人考大學(xué)，甲考上本科的概率是0.5，乙考上本科的概率是0.4，問（1）甲、乙兩人都考上本科的概率是多少？（2）甲、乙兩人至少一人考上本科的概率是多少？解設(shè)={甲考上本科},={乙考上本科},則（1）甲、乙兩人考上本科的事件是相互獨(dú)立的，所以兩人都考上本科的概率是.（2）甲、乙兩人至少一人考上本科的概率是.定義15：貝努利試驗(yàn)是指滿足下面2個條件的隨機(jī)試驗(yàn)：(1)每次試驗(yàn)的條件相同，每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個和，且的概率；(2)各次試驗(yàn)都是相互獨(dú)立的。貝努力試驗(yàn)又稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其對應(yīng)的概率模型，稱為貝努利概型。在次貝努利試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為,().案例8某射手每次擊中目標(biāo)的概率是0.6，如果射擊5次，試求至少擊中2次的概率。解設(shè)A={至少擊中2次},B={擊中0次},C={擊中1次}，則正態(tài)分布在自然界、經(jīng)濟(jì)、社會等領(lǐng)域內(nèi)，如：人的身高、體重、學(xué)生的成績、人的智商、海浪的高度、農(nóng)作物的產(chǎn)量、測量的誤差等隨機(jī)變量都服從一類確定的分布規(guī)律，這個分布規(guī)律叫做正態(tài)分布。定義：一般地，對于隨機(jī)變量X，如果存在一條正態(tài)曲線，使得任取的，概率的大小恰好等于由正態(tài)曲線、過點(diǎn)和點(diǎn)的兩條垂直于x的直線、以及x軸所圍成的平面圖形的面積，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記作。顯然，正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征量，可以用樣本均值去估計；參數(shù)是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計。正態(tài)曲線有以下性質(zhì)：(1)曲線位于軸上方，與軸不相交；(2)曲線關(guān)于直線對稱；(3)曲線在處達(dá)到峰值；(4)曲線與軸圍成的面積等于1；(5)當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖2-9；(6)當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖2-10.圖2-9圖2-10若，則X對應(yīng)的概率問題一般可借助EXCEL的NORM.DIST函數(shù)求解，基本使用格式為：；；.案例6某兇殺案有兩個嫌疑人，從各自住處到兇殺現(xiàn)場所需時間(min)服從正態(tài)分布。A所用的時間X滿足，B所用的時間Y滿足。如果僅有65min可以被利用，問誰的作案嫌疑較大？解A在65min內(nèi)從住處到兇殺現(xiàn)場的概率為.B在65min內(nèi)從住處到兇殺現(xiàn)場的概率為.從計算結(jié)果分析，A的作案嫌疑相對較大.案例7某人被控告是一個新生兒的父親。此案鑒定人作證時指出，母親懷孕期的天數(shù)近似服從參數(shù)為，的正態(tài)分布。被告提供的供詞表明，他在孩子出生時的前300天出國，在孩子出生前240天才回來。請問被告能否根據(jù)這些證詞為自己辯護(hù)？解設(shè)X為母親懷孕期的天數(shù)，。由題意可知，如果