2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性課后習(xí)題第二章第二章綜合訓(xùn)練

第二章綜合訓(xùn)練一、選擇題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線l過點(diǎn)(2,1),且在y軸上的截距為3,則直線l的方程為()A.2x+y+3=0 B.2x+y3=0C.x2y4=0 D.x2y+6=02.已知直線l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,則l2傾斜角的取值范圍是()A.π3,π2 B.0,πC.π3,π2 D.π3.(2021江西南昌檢測)已知圓A:x2+y2=1,圓B:(x2)2+y2=r2(r>0),圓A與圓B的公切線的條數(shù)的可能取值共有()A.2種 B.3種 C.4種 D.5種4.光線自點(diǎn)M(2,3)射到N(1,0)后被x軸反射,則反射光線所在的直線方程為()A.y=3x3 B.y=3x+3C.y=3x3 D.y=3x+35.(2021山東濟(jì)南質(zhì)檢)在一個(gè)平面上,機(jī)器人到與點(diǎn)C(3,3)的距離為8的地方繞C點(diǎn)順時(shí)針而行,它在行進(jìn)過程中到經(jīng)過點(diǎn)A(10,0)與B(0,10)的直線的最近距離為()A.828 B.82+8C.82 D.1226.若直線ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圓(x+2)2+(y+1)2=1的弦長為2,則1a+2bA.4 B.6 C.8 D.107.過原點(diǎn)O作直線l:(2m+n)x+(mn)y2m+2n=0的垂線,垂足為P,則P到直線xy+3=0的距離的最大值為()A.2+1 B.2+2 C.22+1 D.22+28.(2021陜西西安期末)平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A(0.98,0.56),B(1.02,2.56),點(diǎn)M在單位圓上,則使得△MAB為直角三角形的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4二、選擇題:在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知A(1,2),B(3,4),C(2,0),則()A.直線xy=0與線段AB有公共點(diǎn)B.直線AB的傾斜角大于135°C.△ABC的邊BC上的中垂線所在直線的方程為y=2D.△ABC的邊BC上的高所在直線的方程為x4y+7=010.(2021山東棗莊期中)已知圓C1:x2+y2=r2與圓C2:(xa)2+(yb)2=r2(r>0)交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),下列結(jié)論正確的有()A.a(x1x2)+b(y1y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b11.若P是圓C:(x+3)2+(y3)2=1上任一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=kx1距離的值可以為()A.4 B.6 C.32+1 D.812.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC,AB=AC,點(diǎn)B(2,4),點(diǎn)C(5,3),且其“歐拉線”與圓M:(x5)2+y2=r2相切,則下列結(jié)論正確的是()A.圓M上點(diǎn)到直線xy+3=0的最大距離為42B.若點(diǎn)(x,y)在圓M上,則yx-1C.若點(diǎn)(x,y)在圓M上,則x+y的最小值是1D.圓(xa1)2+(ya)2=2與圓M有公共點(diǎn),則a的取值范圍是[25,2+5]三、填空題.13.經(jīng)過點(diǎn)P(1,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相反的直線方程是.

14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三點(diǎn)共線,當(dāng)k<0時(shí),以k為斜率,且過點(diǎn)(2,1)的直線方程為.

15.已知直線l:mx+(1m)y1=0(m∈R)與圓O:x2+y2=8交于A,B兩點(diǎn),C,D分別為OA,AB的中點(diǎn),則|AB|·|CD|的最小值為.

16.已知點(diǎn)O(0,0),A(4,0),B(0,4).若從點(diǎn)P(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后過點(diǎn)Q(2,0),則反射光線所在直線的方程為;若從點(diǎn)M(m,0),m∈(0,4)射出的光線經(jīng)直線AB反射,再經(jīng)直線OB反射后回到點(diǎn)M,則光線所經(jīng)過的路程是(結(jié)果用m表示).

四、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(2021湖南湘潭檢測)求滿足下列條件的直線的方程.(1)直線過點(diǎn)(1,2),且與直線x+y2=0平行;(2)直線過(0,1)點(diǎn)且與直線3x+y+1=0垂直.18.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(0,5),C(10,0),線段AC的垂直平分線為l.(1)求直線l的方程;(2)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng),當(dāng)|AP|+|BP|最小時(shí),求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).19.已知直線l:axy3a+1=0恒過定點(diǎn)P,過點(diǎn)P引圓C:(x1)2+y2=4的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別為A,B.(1)求直線AB的一般式方程;(2)求四邊形PACB的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.20.已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y26x+m=0.(1)若圓C1與圓C2外切,求實(shí)數(shù)m的值;(2)在(1)的條件下,若直線l與圓C2的相交弦長為23且過點(diǎn)(2,1),求直線l的方程.21.(2021四川綿陽期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知圓C的圓心坐標(biāo)為2t,1t,其中t∈R且t≠0,x軸、y軸被圓C截得的弦分別為OA,OB.(1)求證:△OAB的面積為定值,并求出這個(gè)定值;(2)設(shè)直線2x+y4=0與圓C交于M,N兩點(diǎn),若|OM|=|ON|,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中有曲線Γ:x2+y2=1(y≥0).圖1圖2(1)如圖1,點(diǎn)B為曲線Γ上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(2,0),求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程;(2)如圖1,點(diǎn)B為曲線Γ上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(2,0),求△OAB面積的最大值,并求出對應(yīng)B點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖2,點(diǎn)B為曲線Γ上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(2,0),將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAC,求線段OC長度的最大值.第二章綜合訓(xùn)練1.B由題意,直線過(2,1),(0,3),故直線的斜率k=3+10-故直線的方程為y=2x+3,即2x+y3=0.2.C因?yàn)閘1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=cos2α3∈3當(dāng)cosα=0,即k1=0時(shí),k不存在,此時(shí)傾斜角為π2由l1⊥l2,k1≠0時(shí),可知直線l2的斜率k=1k此時(shí)傾斜角的取值范圍為π3,π綜上可得l2傾斜角的取值范圍為π3,π故選C.3.D根據(jù)圓A與圓B的方程可知圓A的圓心為(0,0),半徑rA=1,圓B的圓心為(2,0),半徑rB=r(r>0),所以rA+rB=1+r,|rArB|=|1r|,兩圓心的距離為2,①若兩圓外離,則有2>1+r,即0<r<1,此時(shí)圓A與圓B公切線的條數(shù)為4;②若兩圓外切,則有2=1+r,即r=1,此時(shí)圓A與圓B公切線的條數(shù)為3;③若兩圓相交,則有1+r>2且|1r|<2,即1<r<3,此時(shí)圓A與圓B公切線的條數(shù)為2;④若兩圓內(nèi)切,則有|1r|=2,即r=3,此時(shí)圓A與圓B公切線的條數(shù)為1;⑤若兩圓內(nèi)含,則有|1r|>2,即r>3,此時(shí)圓A與圓B公切線的條數(shù)為0.即圓A與圓B的公切線的條數(shù)的可能取值有5種.故選D.4.B如圖所示,點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M'的坐標(biāo)為(2,3).∴反射光線所在的直線方程為y0=-3-0化為y=3x+3,故選B.5.A機(jī)器人到與點(diǎn)C(3,3)距離為8的地方繞C點(diǎn)順時(shí)針而行,在行進(jìn)過程中保持與點(diǎn)C的距離不變,∴機(jī)器人的運(yùn)行軌跡方程為(x3)2+(y+3)2=64,如圖所示,∵A(10,0)與B(0,10),∴直線AB的方程為x-10+y10=1,即為則圓心C到直線AB的距離為d=|3+3+10|1+1=82>8,∴最近距離為828.6.A由題意圓心坐標(biāo)為(2,1),半徑r=1,所以圓心到直線的距離為d=|-2所以弦長2=21-(|-2a-b+2|所以1a+2b=1a+2b·12·(2a+b)=122+2+ba+4a所以最小值為4,故選A.7.A(2m+n)x+(mn)y2m+2n=0整理得(2x+y2)m+(xy+2)n=0,由題意得2x+y-2=0,x-因?yàn)镺P⊥l,所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)Q為直徑的圓,圓心為(0,1),半徑為1,因?yàn)閳A心(0,1)到直線xy+3=0的距離為d=22=2,所以P到直線xy+3=0的距離的最大值為2故選A.8.D根據(jù)題意,如圖,若△MAB為直角三角形,分3種情況討論:①∠MAB=90°,則點(diǎn)M在過點(diǎn)A與AB垂直的直線上,設(shè)該直線為l1,又由A(0.98,0.56),B(1.02,2.56),則kAB=2.56則kl1=1,直線l1的方程為y0.56=(x+0.98),即x+y+0.42此時(shí)原點(diǎn)O到直線l1的距離d=|0.42|2=0直線l1與單位圓相交,有2個(gè)公共點(diǎn),即有2個(gè)符合題意的點(diǎn)M.②∠MBA=90°,則點(diǎn)M在過點(diǎn)B與AB垂直的直線上,設(shè)該直線為l2,同理可得:直線l2的方程為y2.56=(x1.02),即x+y3.58=0,此時(shí)原點(diǎn)O到直線l2的距離d=|3.58|2=1直線l2與單位圓相離,沒有公共點(diǎn),即沒有符合題意的點(diǎn)M.③∠AMB=90°,此時(shí)點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上,又由A(0.98,0.56),B(1.02,2.56),設(shè)AB的中點(diǎn)為C,則C的坐標(biāo)為(0.02,1.56),|AB|=4+4=22,則以AB為直徑的圓的圓心C為(0.02,1.56),半徑r=12|AB|=2此時(shí)|OC|=(0則有21<|OC|<2+1,兩圓相交,有2個(gè)公共點(diǎn),即有2個(gè)符合題意的點(diǎn)M,綜上可得:有4個(gè)符合條件的點(diǎn)M.故選D.9.BD由于點(diǎn)A(1,2),B(3,4)均在直線xy=0的同側(cè),則直線xy=0與線段AB沒有公共點(diǎn),故A錯(cuò)誤;由于直線AB的斜率k=4-2-3-1=12>1,故直線AB的傾斜角大于由于直線BC的斜率為4-0-3+2=4,則邊BC上的中垂線的斜率為14,BC的中點(diǎn)為52,2,故中垂線所在直線的方程為y2=14x+52,由于邊BC上的高線的斜率為14,則其方程為y2=14(x1),即x4y+7=0,故D10.ABC兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2+b22ax2by=0,即2ax+2by=a2+b2,分別把A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,故B正確;兩式相減得2a(x1x2)+2b(y1y2)=0,即a(x1x2)+b(y1y2)=0,故A正確;由圓的性質(zhì)可知:線段AB與線段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正確,D錯(cuò)誤.故選ABC.11.ABC直線y=kx1恒過定點(diǎn)A(0,1),當(dāng)直線與AC垂直時(shí),點(diǎn)P到直線y=kx1距離最大,等于AC+r,圓心坐標(biāo)為(3,3),所以距離為(-3)2+當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)距離最小為0,所以點(diǎn)P到直線y=kx1距離的范圍為[0,6].故選ABC.12.BCD對于A,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,AB=AC,所以AD⊥BC.因?yàn)閗BC=4+3-2-5=1,所以且xD=-2+52=32,yD=4-3由題意可得歐拉線為直線AD,則直線AD的方程為y12=x32,即xy1因?yàn)閳AM:(x5)2+y2=r2的圓心坐標(biāo)(5,0),半徑r,由歐拉線與圓M相切,所以r=|5-0-所以圓心到直線xy+3=0的距離d=|5-0+3|1+1=42,所以圓上點(diǎn)到直線的距離最大值為r+d=22+42=62對于B,yx-1=y-0x-1設(shè)M的切線方程為y=k(x1),則點(diǎn)(5,0)到該直線的距離|5k-0-k|1+k2=22,解得k=±對于C,設(shè)M(5+22cosθ,22sinθ),所以x+y=5+22cosθ+22sinθ=5+4sinθ+π4∈[1,9],所以C正確;對于D,圓(xa1)2+(ya)2=2的圓心(a+1,a),半徑為r'=2,要使該圓與圓M有公共點(diǎn),則有兩圓內(nèi)切,相交,外切三種情況,則圓心距范圍[|rr'|,r+r']=[2,32],而圓心距(a所以2≤(a+1解得a∈[25,2+5],所以D正確,故選BCD.13.y=4x或y=x+3根據(jù)題意,分2種情況討論:①直線經(jīng)過原點(diǎn),則直線l的方程為y=4x;②直線不經(jīng)過原點(diǎn),設(shè)直線方程為xy=a,把點(diǎn)P(1,4)代入可得14=a,解得a=3,即直線的方程為y=x+3;綜合可得:直線的方程為y=4x或y=x+3.14.2x+y3=0由題意可得AB=(4k,7),BC=(6,k5),由于AB和BC故有(4k)(k5)+42=0,解得k=11或k=2.∵當(dāng)k<0時(shí),k為直線的斜率,∴過點(diǎn)(2,1)的直線方程為y+1=2(x2),即2x+y3=0.15.43直線l的方程可化為m(xy)+y1=0,由x-y=0,y-1=0,得∵C,D分別為OA,OB的中點(diǎn),∴|CD|=12|OB|=2,當(dāng)OP⊥AB時(shí),|AB|最小,此時(shí)|AB|=2(22)∴|AB|·|CD|=2|AB|≥2·26=43.16.x2y+2=02m2+32根據(jù)題意,設(shè)點(diǎn)P1(a,b)與點(diǎn)P(1,0)關(guān)于直線AB對稱,則P又由A(4,0),B(0,4),則直線AB的方程為x+y=4,則有ba-1=1,a反射光線所在直線的斜率k=3-04-(-2)=12,則其方程為y0=12設(shè)點(diǎn)M1(a0,b0)與點(diǎn)M關(guān)于直線AB對稱,點(diǎn)M2與M關(guān)于y軸對稱,易得M2(m,0);線段M1M2的長度就是光線所經(jīng)過的路程,則有b0a即M1(4,4m),又由M2(m,0),則|M1M2|=(4+17.解(1)設(shè)所求直線的方程為x+y+m=0,∵點(diǎn)(1,2)在直線上,∴1+2+m=0,∴m=1,故所求直線的方程為x+y1=0.(2)設(shè)所求直線的方程為x3y+m=0.∵點(diǎn)(0,1)在直線x3y+m=0上,∴03+m=0,解得m=3.故所求直線的方程為x3y+3=0.18.解(1)直線AC的斜率為kAC=4-02-10=12,所以直線直線AC的中點(diǎn)為(6,2),所以直線l的方程為y2=2(x6),即2xy10=0.(2)由(1)得點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,所以直線BC與直線l的交點(diǎn)即為使|AP|+|BP|最小的點(diǎn).由B(0,5),C(10,0)得直線BC的方程為x10+y-5=1,即x聯(lián)立方程x-2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為103,103.19.解(1)∵直線l:y1=a(x3),∴直線l恒過定點(diǎn)P(3,1).由題意可知直線x=3是其中一條切線,且切點(diǎn)為A(3,0).由圓的性質(zhì)可知AB⊥PC,∵kPC=1-∴kAB=2,所以直線AB的方程為y=2(x3),即2x+y6=0.(2)由題意知|PC|=(3∵PA⊥AC,PB⊥BC,所以四邊形PACB的外接圓是以PC為直徑的圓,PC的中點(diǎn)坐標(biāo)為2,12,所以四邊形PACB的外接圓為(x2)2+y122=54.20.解(1)圓C1:x2+y2=1,則C1(0,0),r1=1,由圓C2:x2+y26x+m=0,得(x3)2+y2=9m,則C2(3,0),r2=9-m,∵圓C1與圓C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,∴3=1+9-m,(2)由(1)得m=5,圓C2的方程為(x3)2+y2=4,則C2(3,0),r2=2,由題意可得圓心C2到直線l的距離d=1,當(dāng)直