高中奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座三角恒等式和三角不等式

PAGEPAGE6高中奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座三角恒等式和三角不等式知識(shí)、方法、技能 三角恒等變形，既要遵循代數(shù)式恒等變形的一般法則，又有三角所特有的規(guī)律. 三角恒等式包括絕對(duì)恒等式和條件恒等式兩類(lèi)。證明三角恒等式時(shí)，首先要觀察已知與求證或所證恒等式等號(hào)兩邊三角式的繁簡(jiǎn)程度，以決定恒等變形的方向；其次要觀察已知與求證或所證恒等式等號(hào)兩邊三角式的角、函數(shù)名稱(chēng)、次數(shù)以及結(jié)構(gòu)的差別與聯(lián)系，抓住其主要差異，選擇恰當(dāng)?shù)墓綄?duì)其進(jìn)行恒等變形，從而逐步消除差異，統(tǒng)一形式，完成證明.“和差化積”、“積化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我們常用的變形技巧。當(dāng)然有時(shí)也可以利用萬(wàn)能公式“弦化切割”，將題目轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的代數(shù)恒等式的證明問(wèn)題.萬(wàn)能公式相除相除相除積化和差萬(wàn)能公式相除相除相除積化和差和差化積相加減 上圖為三角公式脈絡(luò)圖，由圖可見(jiàn)兩角和差的三角函數(shù)的公式是所有三角公式的核心和基礎(chǔ). 此外，三角是代數(shù)與幾何聯(lián)系的“橋梁”，與復(fù)數(shù)也有緊密的聯(lián)系，因而許多三角問(wèn)題往往可以從幾何或復(fù)數(shù)角度獲得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握證明不等式的常用方法：配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等.其次，三角不等式又有自己的特點(diǎn)——含有三角式，因而三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性以及圖象特征等都是處理三角不等式的銳利武器. 三角形中有關(guān)問(wèn)題也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考的常見(jiàn)題型.解決這類(lèi)問(wèn)題，要充分利用好三角形內(nèi)角和等于180°這一結(jié)論及其變形形式.如果問(wèn)題中同時(shí)涉及邊和角，則應(yīng)盡量利用正弦定理、余弦定理、面積公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)邊角統(tǒng)一.求三角形面積的海倫公式，大家往往不甚熟悉，但十分有用.賽題精講例1：已知【思路分析】條件涉及到角、，而結(jié)論涉及到角，.故可利用消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A”入手.【證法1】【證法2】例2：證明：【思路分析】等號(hào)左邊涉及角7x、5x、3x、x右邊僅涉及角x，可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為、的表達(dá)式，但相對(duì)較繁.觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.【證明】因?yàn)?從而有【思路分析】本題左邊為n項(xiàng)的和，右邊為2項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng).【證明】 同理 …… 【評(píng)述】①本題裂項(xiàng)技巧也可通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法獲得.②“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類(lèi)似可證下列各題：.例8：證明：【證明】 所以，【評(píng)述】①本題也可借助復(fù)數(shù)獲證. ②類(lèi)似地，有 利用上述公式可快速證明下列各式： 針對(duì)性訓(xùn)練題1．證明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°.2．證明：3．已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.求證：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.4．已知5．已知的最大值.6．已知、、、的最大值.7．△ABC中，C=2B的充要條件是8．△ABC中，已知、、成等差數(shù)列，求證：、、也成等差數(shù)列.9．△ABC中，角A