專題15-放縮法-教師版

【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】專題15放縮法1：裂項(xiàng)放縮策略：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；2：常見裂項(xiàng)放縮技巧： ⑦2n+1=2.2n=(3-1).2n例1.(2023·安徽省·模擬題)已知數(shù)列{an}為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a5=2a2，S3=a22.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn=+++???+，證明：Tn<.∴an+an?1=(an+an?1)(an?an?1)，又?jǐn)?shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an?an?1=1(n?2)，∴數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，綜上可知，Tn<.練1-2(2023·江蘇省月考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an=Sn+Sn?1(n∈N?,n≥(1)求證：數(shù)列Sn是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[?1,2]=?2，[2,1]=2，求[++?+]的值.【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】解：(1)證明：因?yàn)閍n=Sn+Sn?1，所以(Sn?Sn?1)(Sn解：(1)證明：因?yàn)閍n=Sn+Sn?1，所以(Sn?Sn?1)(Sn+Sn?1)=Sn+Sn?1，所以數(shù)列所以數(shù)列{Sn}是以S1=a1=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，又a1=1滿足上式，所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n?1(n∈N?).又當(dāng)n≥2時，<4n24n=(n1)，1.函數(shù)中證明與n有關(guān)的求和問題，或不等式證明問題，要仔細(xì)觀察不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，往往會利用上一問中證明的不等式，或者推導(dǎo)過程中證明出的結(jié)論.利用已證結(jié)論，進(jìn)行放縮，化繁為簡，證明不等式的成立.2.先放縮后求和型證明數(shù)列不等式：通過放縮將數(shù)列變?yōu)椤翱汕蠛蛿?shù)列”，放縮為等比數(shù)列和能夠裂項(xiàng)相消的數(shù)列的情況比較多見；放縮時，要注意從第幾項(xiàng)適用，若不從第一項(xiàng)放縮，求和要分情況討論，且放縮方式不唯一，放縮幅度大了，需調(diào)整.例2.(2023·湖南省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=sin1cosx?cos1sinx+lnx.求證：(1)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；(2)數(shù)列{sin}的前n項(xiàng)和小于sin+ln2.解：(1)證明：f(x)=sin(1?x)+lnx，f'(x)=?cos(1?x)+1,x【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】所以g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，g(x)>g(1)=0，即f'(x)>0在0,1上恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;代入sin(1?x)<ln可得sin<ln1?21=ln<ln(k?1k+1)，上述不等式全部相加得：sin+sin+?+sin練2-1(2023·陜西省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=alnxa?1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；解：(1)f′(x)=a?ala+1=1nx(x>0)，令g(x)=1?alnx，①a=0時，g(x)=1>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；②a>0時，x∈(0,e，g(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x∈(e,+∞)時，g(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.③a<0，x∈(0,e，g(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；x∈(e,+∞)時，g(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.綜上，a=0時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；a>0時，f(x)在(0,ea<0時，f(x)在(0,e，在(e,+∞)上單調(diào)遞增.(2)(i)a=1時，f(x)=，所以xf(x)=lnx，【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】x∈(0,1)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；x∈(1,+∞)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減．h(x)max=h(1)=ln1=0，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減．h(x)max=h(1)=ln1=0，練2-2(2023·福建省期中)已知函數(shù)f(x)=+bx在x=1處的切線方程為y=x?1.(1)求函數(shù)y=fx的解析式.(2)若不等式fx?kx在區(qū)間0,+∞上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：(1)∵f(x)=alnx+bx，∴f'(x)=a?nx+又∵已知函數(shù)f(x)x=1處的切線為yx=x?1，即切點(diǎn)為1,0，∴函數(shù)y=f(x)的解析式為f(x)=.∴“不等式f(x)?kx在區(qū)間(0,+∞)上恒成立”等價(jià)于“不等式k?在區(qū)間(0,+∞)上恒成立”，則h(x)在0,e上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，故h(x)?h(e)=1,【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為[,+∞).(3)由(2)知?，?(x?2)，ln3<ln4<44……ln2<=()，<(n?)×n=(n1)，常用不等式放縮有：2xy=x+1,y=ex為函數(shù)y=ex圖（3）對數(shù)放縮：①1-條切線）1③lnx之 x e為函數(shù)y=lnx圖象的兩ex+lnx2；b注意：常見的不等關(guān)系要靈活運(yùn)用，解題時函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可考慮運(yùn)用上述不等式進(jìn)行放縮，使問題簡單化.但不x之ex,lnx<x-1,lnx<，從圖象的角度看，是以直代曲，放縮的程度大，容易出現(xiàn)誤差，在使用時要注意.【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】(1)求證：數(shù)列{an+2}為等比數(shù)列，并求an；∴an+1?an=2an+4(n≥2,n整理得：an+1+2=3(an+2)(n≥2,n∈N?)，131n練3-1(2023·遼寧省模擬)已知函數(shù)f(x)=1?(x?a)?e?x,a∈R.(1)若f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)直線l與函數(shù)ex?f(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)，直線l的斜率為kl，證明：kl>minx2,x1.解：(1)f'(x)=e?x(x?a?1).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，所以f'(x)≥0在(1,2)上恒成立.若e?x(x?a?1)≥0在(1,2)上恒成立，則a≤x?1恒成立，所以a≤0..(2)設(shè)h(x)=exf(x)=ex?x?a.因?yàn)橹本€l與函數(shù)ex?f(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)，此時不妨設(shè)x2>x1．則有kl=ex2?x21+x1+a=e1?1.對函數(shù)y=ex，其在x=0處的切線方程為y=x+1，所以恒有ex≥x+1．令x=x2?x1，則有ex2?x1≥x2?x1+1，即有ex2?x1?1≥x2?x1，【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】練3-2(2023·河北省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=(x2?1)e?x?a.(1)若f(x)≥2e?x，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a=時，記函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn)為x1，x2，求證：|x1?x2|<.解：(1)易知f(x)的定義域?yàn)镽，由f(x)≥2e?x得a≤(x2?3)e?x.所以當(dāng)x∈(?∞,?1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(?1,3)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增;易知當(dāng)x→+∞時，g(x)所以a的取值范圍是：(?∞,?2e].(2)證明：當(dāng)a=時，f(x)=(x2?1)e?x+，則f′(x)=(2x?x2+1)e?x.所以當(dāng)x∈(?∞,1?2)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1?2,1+2)時，f′當(dāng)x∈(1+2,+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.且當(dāng)x=?1時，f(?1)=，其圖象與y軸交于點(diǎn)N(0,)，函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn)x1，x2必在(?1,1)之間，不妨設(shè)x1<x2.由分析可知，不等式可通過切線放縮的方法證明，不妨在函數(shù)f(x)上取M(?1,)，N(0,)，所以需要證明當(dāng)?1<x<1時，函數(shù)f(x)在M(?1,)，N(0,)處的切線均在函數(shù)f(x)圖象的下方.易求函數(shù)f(x)在M(?1,)，N(0,)處的切線方程分別為y=?2e(x+1)+和y=x，所以證明當(dāng)?1<x<1時，不等式?2e(x+1)+<f(x)和x≤f(x)成立.即證2e(x+1)+(x2?1)e?x【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】【二輪復(fù)習(xí)—放縮法】令φ(x)=2ex+1?2x+2，則φ′(x所以φ(x)在(?1,1)上單調(diào)遞增，所以φ(x)>φ(?1)=6>0，即h′(x)>0，所以h(x)在(?1,1)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(?1)=0，即m′(x)>0，所以m(x)在(?1,1)上單調(diào)遞增，所以m(