專題4.4 坐標(biāo)與平移（重點題專項講練）（浙教版）（解析版）

專題4.4坐標(biāo)與平移【典例1】如圖，三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過某種平移得到的，點A與點A'，點B與點B'，點C與點C'分別對應(yīng)，且這六個點都在格點上，觀察各點以及各點坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問題：（1）分別寫出點B和點B'的坐標(biāo)，并說明三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的．（2）連接BC'，直接寫出∠CBC'與∠B'C'O之間的數(shù)量關(guān)系．（3）若點M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對應(yīng)點為點N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．【思路點撥】（1）利用坐標(biāo)系可得點B和點B'的坐標(biāo)，根據(jù)兩點坐標(biāo)可得平移方法；（2）利用平移的性質(zhì)進(jìn)行計算即可；（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．【解題過程】解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），△A'B'C'是由△ABC向左平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度得到的；（2）如圖，由平移可得：∠CBC′＝BC′B′，∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O；（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點，它隨△ABC按（1）中方式平移后得到對應(yīng)點N（2a﹣7，4﹣b），則a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得：a＝3，b＝4．1．（2022?重慶模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將點A（﹣1，2）向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到點A′，則點A′的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣4，4）【思路點撥】利用點平移的坐標(biāo)規(guī)律，把A點的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)減3即可得到點A′的坐標(biāo)．【解題過程】解：將點A（﹣1，2）向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到點A′，則點A′的坐標(biāo)是（﹣1+2，2﹣3），即A′（1，﹣1）．故選：B．2．（2021秋?定遠(yuǎn)縣校級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將點P（x，y）先向左平移4個單位，再向上平移3個單位后得到點P′（1，2），則點P的坐標(biāo)為（）A．（2，6） B．（﹣3，5） C．（﹣3，1） D．（5，﹣1）【思路點撥】根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減，向上平移縱坐標(biāo)加即可得解．【解題過程】解：由題意知點P的坐標(biāo)為（1+4，2﹣3），即（5，﹣1），故選：D．3．（2021春?禹城市期末）△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，1），B（4，3），C（0，2），將△ABC平移到了△A′B′C′，其中A′（﹣1，3），則C′點的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，6） B．（2，﹣1） C．（﹣3，4） D．（2，5）【思路點撥】直接利用坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案．【解題過程】解：∵△ABC頂點的A的坐標(biāo)為A（2，1），將△ABC平移到了△A'B'C'，其中A'（﹣1，3），∴橫坐標(biāo)減3，縱坐標(biāo)加2，∵C（0，2），∴對應(yīng)點C′的坐標(biāo)為：（﹣3，4）．故選：C．4．（2021秋?阜陽月考）已知點A（1，﹣3），點B（2，﹣1），將線段AB平移至A1B1．若點A1（a，1），點B1（3，﹣b），則a﹣b的值為（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【思路點撥】利用平移的規(guī)律求出a，b即可解決問題．【解題過程】解：由題意得：a＝1+1＝2，﹣b＝﹣1+4＝3，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝5，故選：C．5．（2021秋?任城區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段AB的兩個端點坐標(biāo)分別為A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移線段AB，平移后其中一個端點的坐標(biāo)為（3，﹣1），則另一端點的坐標(biāo)為（）A．（1，4） B．（5，2） C．（1，﹣4）或（5，2） D．（﹣5，2）或（1，﹣4）【思路點撥】分兩種情形，利用平移的規(guī)律求解即可．【解題過程】解：當(dāng)A（﹣1，﹣1）的對應(yīng)點為（3，﹣1）時，B（1，2）的對應(yīng)點（5，2），當(dāng)B（1，2）的對應(yīng)點為（3，﹣1）時，A（﹣1，﹣1）的對應(yīng)點（1，﹣4），故選：C．6．（2021春?夏津縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將點P（n﹣2，2n+4）向右平移m個單位長度后得到點的坐標(biāo)為（4，6），則m的值為（）A．1 B．3 C．5 D．14【思路點撥】根據(jù)橫坐標(biāo)，右移加，左移減可得點P（n﹣2，2n+4）向右平移m個單位長度可得P′（n﹣2+m，2n+4），進(jìn)而得到n﹣2+m＝4，2n+4＝6，再解方程即可．【解題過程】解：：∵點P（n﹣2，2n+4），∴向右平移m個單位長度可得P′（n﹣2+m，2n+4），∵P′（4，6），∴n﹣2+m＝4，2n+4＝6，解得：n＝l，m＝5故選：C．7．（2021春?無為市月考）如圖，點A1（1，1），點A1向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點A2；點A2向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點A3；點A3向上平移4個單位，再向右平移8個單位，得到點A4，…，按這個規(guī)律平移得到點A2021，則點A2021的橫坐標(biāo)為（）A．22021﹣1 B．22021 C．22022﹣1 D．22022【思路點撥】先求出點A1，A2，A3，A4的橫坐標(biāo)，再從特殊到一般探究出規(guī)律，然后利用規(guī)律即可解決問題．【解題過程】解：∵點A1的橫坐標(biāo)為1＝21﹣1，點A2的橫坐為標(biāo)3＝22﹣1，點A3的橫坐標(biāo)為7＝23﹣1，點A4的橫坐標(biāo)為15＝24﹣1，…按這個規(guī)律平移得到點An的橫坐標(biāo)為為2n﹣1，∴點A2021的橫坐標(biāo)為22021﹣1，故答案為：22021﹣1．故選：A．8．（2021春?新羅區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將A（n2，1）沿著x的正方向向右平移3+n2個單位后得到B點．有四個點M（﹣2n2，1）、N（3n2，1）、P（n2，n2+4）、Q（n2+1，1），一定在線段AB上的是（）A．點M B．點Q C．點P D．點N【思路點撥】根據(jù)平移的過程以及四個點的坐標(biāo)進(jìn)行分析比較即可判斷．【解題過程】解：∵將A（n2，1）沿著x的正方向向右平移n2+3個單位后得到B點，∴B（2n2+3，1），∵n2≥0，∴2n2+3＞0，∴線段AB在第一象限，點B在點A右側(cè)，且與x軸平行，距離x軸1個單位，因為點M（﹣2n2，1）距離x軸1個單位，在點A左側(cè)，當(dāng)n＝0時，M點可以跟A點重合，點M不一定在線段AB上．點N（3n2，1）距離x軸1個單位，沿著x的正方向向右平移2n2個單位后得到的，不一定在線段AB上，有可能在線段AB延長線上．不在線段AB上，點P（n2+2，n2+4）在點A右側(cè)，且距離x軸n2+4個單位，不一定在線段AB上，點Q（n2+1，1）距離x軸1個單位，是將A（n2，1）沿著x的正方向向右平移1個單位后得到的，一定在線段AB上．所以一定在線段AB上的是點Q．故選：B．9．（2021春?南康區(qū)期末）將點P（2m+3，m﹣2）向上平移1個單位得到點Q，且點Q在x軸上，那么點Q的坐標(biāo)是（5，0）．【思路點撥】先根據(jù)向上平移橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)相加得出Q的坐標(biāo)，再根據(jù)x軸上的點縱坐標(biāo)為0求出m的值，進(jìn)而得到點Q的坐標(biāo)．【解題過程】解：∵將點P（2m+3，m﹣2）向上平移1個單位得到Q，∴Q的坐標(biāo)為（2m+3，m﹣1），∵Q在x軸上，∴m﹣1＝0，解得m＝1，∴點Q的坐標(biāo)是（5，0）．故答案為：（5，0）．10．（2021春?麻城市校級月考）在△ABC內(nèi)的任意一點P（a，b）經(jīng)過平移后的對應(yīng)點為P1（c，d），已知A（3，2）在經(jīng)過此次平移后對應(yīng)點A1的坐標(biāo)為（5，﹣1），則c+d﹣a﹣b的值為﹣1．【思路點撥】由A（3，2）在經(jīng)過此次平移后對應(yīng)點A1的坐標(biāo)為（5，﹣1），可得△ABC的平移規(guī)律為：向右平移2個單位，向下平移3個單位，由此得到結(jié)論．【解題過程】解：由A（3，2）在經(jīng)過此次平移后對應(yīng)點A1的坐標(biāo)為（5，﹣1）知c＝a+2、d＝b﹣3，即c﹣a＝2、d﹣b＝﹣3，則c+d﹣a﹣b＝2﹣3＝﹣1，故答案為：﹣1．11．（2021春?仙居縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形①依次平移后得到正方形②，③，④…；相應(yīng)地，頂點A依次平移得到A1，A2，A3，…，其中A點坐標(biāo)為（1，0），A1坐標(biāo)為（0，1），則A20的坐標(biāo)為（﹣19，8）．【思路點撥】求出A3，A6，A9的坐標(biāo)，觀察得出A3n橫坐標(biāo)為1﹣3n，可求出A18的坐標(biāo)，從而可得結(jié)論．【解題過程】解：觀察圖形可知：A3（﹣2，1），A6（﹣5，2），A9（﹣8，3），???，∵﹣2＝1﹣3×1，﹣5＝1﹣3×2，﹣8＝1﹣3×3，∴A18橫坐標(biāo)為：1﹣3×6＝﹣17，∴A18（﹣17，6），把A18向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到A20，∴A20（﹣19，8）．故答案為：（﹣19，8）．12．（2021春?平原縣期末）如圖，第一象限內(nèi)有兩點P（m﹣3，n），Q（m，n﹣2），將線段PQ平移使點P、Q分別落在兩條坐標(biāo)軸上，則點P平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（0，2）或（﹣3，0）．【思路點撥】設(shè)平移后點P、Q的對應(yīng)點分別是P′、Q′．分兩種情況進(jìn)行討論：①P′在y軸上，Q′在x軸上；②P′在x軸上，Q′在y軸上．【解題過程】解：設(shè)平移后點P、Q的對應(yīng)點分別是P′、Q′．分兩種情況：①P′在y軸上，Q′在x軸上，則P′橫坐標(biāo)為0，Q′縱坐標(biāo)為0，∵0﹣（n﹣2）＝﹣n+2，∴n﹣n+2＝2，∴點P平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（0，2）；②P′在x軸上，Q′在y軸上，則P′縱坐標(biāo)為0，Q′橫坐標(biāo)為0，∵0﹣m＝﹣m，∴m﹣3﹣m＝﹣3，∴點P平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（﹣3，0）；綜上可知，點P平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（0，2）或（﹣3，0）．故答案為（0，2）或（﹣3，0）．13．（2021春?增城區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到△A'B'C'，且點C的對應(yīng)點坐標(biāo)是C'．（1）畫出△A'B'C'，并直接寫出點C'的坐標(biāo)；（2）若△ABC內(nèi)有一點P（a，b）經(jīng)過以上平移后的對應(yīng)點為P'，直接寫出點P'的坐標(biāo)；（3）求△ABC的面積．【思路點撥】（1）首先確定A、B、C三點平移后的對應(yīng)點位置，然后再連接即可；（2）由平移的性質(zhì)可求解；（3）利用面積的和差關(guān)系可求解．【解題過程】解：（1）如圖所示：∴點C（5，﹣2）；（2）∵△ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到△A'B'C'，∴點P'（a+4，b﹣3）；（3）S△ABC＝5×5-12×3×5-12×2×3-12×5×2＝2514．（2021春?宜城市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．（1）畫出三角形ABC，并求其面積；（2）如圖，△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的？（3）已知點P（a，b）為△ABC內(nèi)的一點，則點P在△A′B′C′內(nèi)的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)（a+4，b﹣3）．【思路點撥】（1）根據(jù)A，B，C的坐標(biāo)作出圖形即可．（2）根據(jù)平移變換的規(guī)律解決問題即可．（3）利用平移規(guī)律解決問題即可．【解題過程】解：（1）如圖，△ABC即為所求．S△ABC＝4×5-12×2×4-12×（2）先向右平移4個單位，再向下平移3個單位．（3）由題意P′（a+4，b﹣3）．故答案為：a+4，b﹣3．15．（2021春?樟樹市期末）已知三角形ABC的頂點分別為A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），三角形A'B'C'是三角形ABC經(jīng)過平移得到的，三角形ABC中任意一點P（x，y）平移后的對應(yīng)點為P'（x+4，y+6）．（1）請寫出三角形ABC平移的過程；（2）請寫出點A'，B'的坐標(biāo)；（3）請在圖中畫出直角坐標(biāo)系，求三角形A'B'C'的面積．【思路點撥】（1）由點P及其對應(yīng)點P′的坐標(biāo)知△ABC向右平移4格、向上平移6格得到的△A'B'C'，據(jù)此根據(jù)點的坐標(biāo)的平移規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)（1）中P點坐標(biāo)變化規(guī)律可得答案；（3）首先建立坐標(biāo)系，畫出△A′B′C′，然后再利用矩形面積減去周圍多余三角形的面積即可．【解題過程】解：（1）∵三角形ABC中任意一點P（x，y）平移后的對應(yīng)點為P'（x+4，y+6），∴平移后對應(yīng)點的橫坐標(biāo)加4，縱坐標(biāo)加6，∴三角形ABC先向右平移4個單位，再向上平移6個單位得到△A′B′C′；（2）A′（0，5），B′（﹣1，2）；（3）如圖，三角形A′B′C′的面積：3×4-12×1×3-12×16．（2021春?海東市期末）如圖，三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過某種平移得到的，點A與點A'，點B與點B'，點C與點C'分別對應(yīng)，觀察點與點坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問題．（1）分別寫出點A、點B、點C、點A'、點B'、點C'的坐標(biāo)，并說明三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的．（2）若點M（a+2，4﹣b）是點N（2a﹣3，2b﹣5）通過（1）中的平移變換得到的，求（b﹣a）2的值．【思路點撥】（1）由圖形可得出點的坐標(biāo)和平移方向及距離；（2）根據(jù)以上所得平移方式，利用“橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減”的規(guī)律列出關(guān)于a、b的方程，解之求得a、b的值，代入計算可得．【解題過程】解：（1）由圖知，A（0，3），B（2，1），C（3，4），A′（﹣3，0），B′（﹣1，﹣2），C′（0，1），且△ABC向左平移3個單位，向下平移3個單位可以得到△A′B′C′；（2）由（1）中的平移變換得2a﹣3﹣3＝a+2，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得a＝8，b＝4，則（b﹣a）2＝（4﹣8）2＝（﹣4）2＝16．17．（2021春?硚口區(qū)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣1，1），B（1，1），C（﹣3，3），平移線段BC得到對應(yīng)線段DA（點C與點A對應(yīng)）．（1）畫出線段AD，并直接寫出點D的坐標(biāo)；（2）直接寫出線段BC掃過的面積；（3）求線段AD與y軸的交點E的坐標(biāo)．【思路點撥】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出B，C的對應(yīng)點D，A即可；（2）線段BC掃過的面積＝四邊形BCAD的面積＝四邊形BFTC的面積；（3）設(shè)E（0，m），連接EC，EB．利用面積法求解即可．【解題過程】解：（1）如圖，線段AD即為所求；（2）如圖，線段BC掃過的面積＝四邊形BCAD的面積＝四邊形BFTC的面積＝1×4＝4；（3）設(shè)E（0，m），連接EC，EB．則有：S△CBE=12?EH?（xB﹣xC）=∵H（0，1.5），∴12×4×（1.5﹣m）＝∴m＝0.5，∴E（0，0.5）．18．（2020春?金鄉(xiāng)縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0，4），線段MN的位置如圖所示，其中點M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），點N的坐標(biāo)為（3，﹣2）．（1）將線段MN平移得到線段AB，其中點M的對應(yīng)點為A，點N的對應(yīng)點為B．①點M平移到點A的過程可以是：先向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度；②點B的坐標(biāo)為（6，3）；（2）在（1）的條件下，若點C的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC，求△ABC的面積．（3）在y軸上是否存在點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形的面積為3，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)解決問題即可．②根據(jù)點B的位置即可解決問題．（2）利用分割法求三角形的面積即可．（3）設(shè)P（0，m），利用三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問題．【解題過程】解：（1）如圖，①點M平移到點A的過程可以是：先向右平移3單位長度，再向上平移5個單位長度；故答案為：右、3、上、5．②B（6，3），故答案為（6，3）．（2）如圖，S（3）存在．設(shè)P（0，m），由題意12×|4﹣m|×6＝解得m＝3或5，∴點P坐標(biāo)為（0，3）或（0，5）．19．（2021春?南昌期末）如圖，點A（1，n），B（n，1），我們定義：將點A向下平移1個單位，再向右平移1個單位，同時點B向上平移1個單位，再向左平移1個單位稱為一次操作，此時平移后的兩點記為A1，B1，t次操作后兩點記為At，Bt．（1）直接寫出A1，B1，At，Bt的坐標(biāo)（用含n、t的式子表示）；（2）以下判斷正確的是B．A．經(jīng)過n次操作，點A，點B位置互換B．經(jīng)過（n﹣1）次操作，點A，點B位置互換C．經(jīng)過2n次操作，點A，點B位置互換D．不管幾次操作，點A，點B位置都不可能互換（3）t為何值時，At，Bt兩點位置距離最近？【思路點撥】（1）根據(jù)點在平面直角坐標(biāo)系中的平移規(guī)律求解可得答案；（2）由1+t＝n時t＝n﹣1，知n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，據(jù)此可得答案；（3）分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，得出對應(yīng)的方程，解之可得n關(guān)于t的式子．【解題過程】解：（1）A1（2，n﹣1），B1（n﹣1，2），At（1+t，n﹣t），Bt（n﹣t，1+t）；（2）當(dāng)1+t＝n時，t＝n﹣1．此時n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，故選：B；（3）當(dāng)n為奇數(shù)時：1+t＝n﹣t解得t=n-1當(dāng)n為偶數(shù)時：1+t＝n﹣t+1解得t=n或1+t＝n﹣t﹣1解得t=n-22