仿真模擬卷03-2022年高考數(shù)學仿真預測模擬試題（全國卷理科）（解析版）

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案

寫在答題卡上。寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.若復數(shù)z=---1,則Z在復平面內(nèi)的對應點位于()

1-Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】B

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的運算法則和復數(shù)的幾何意義求解即可

-、l+2i,(l+2i)(l+i),-3+3i33i

【詳解】z=------l=-----——^-1=-------=一一+—，

1-i2222

所以，z在復平面內(nèi)的對應點為1-1,1),則對應點位于第二象限

故選：B

2.命題“Vx?O,+w),2，>1”的否定是()

A.Vxe(0,+oo),2V<1B.現(xiàn)w(0,+oo),2n

C.Vx生(0,+oo),2<1D*e(0,+oo),>1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用全稱命題的否定變換形式即可求解.

［詳解］命題“Vxe(0,+a),2X>1”，

則命題的否定為：3x0e(0,+oo),2%<1

故選：B

3.已知福=(1,3),AC^(2,t),|BC|=1,則而.亞=()

A.5B.7C.9D.11

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的減法及卜4=1得到6再利用數(shù)量積的坐標運算即可.

【詳解】由己知，得配=而一瓶=(2/)—(1,3)=(1/—3),又|前卜1,

所以J“一3)2+1=1，解得r=3,

所以詬.衣=(1,3>(2,3)=2+9=11.

故選：D

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的

體積為()

16111735

A.-yTlB.—71C.71D.—71

236

【答案】A

【解析】由三視圖可知該幾何體是一個組合體：在一個半球上疊加一個!圓錐，且挖掉一個

4

[O1/s

相同的-圓錐，所以該幾何體的體積和半球的體積相等，因此該幾何體的體積▽

433

故選A.

5.過點尸（1,一6）與圓V+y2=4相切的直線方程是（）

A.X-島-4=0B.X+島-4=0

C.x—y/3y+4=QD.x+石y+4=0

【答案】A

【解析】

【分析】

先驗證點P與圓的關系，由圓的切線的性質可求得切線的斜率，由直線的點斜式方程可得

選項.

【詳解】將點尸代入圓的方程得產(chǎn)+卜6『=4,所以點P在圓上，而

1_1

所以過點P的切線斜率為左_百一百,

則所求切線方程為y+百=耳（》-1），即X-百y—4=（）.

故選：A.

6.設a,b,ceR,且a>b,則（）

A.ac>beB.—<—C.a2>b~D.o'>護

ab

【答案】D

【解析】

【分析】

結合不等式的性質、特殊值判斷出錯誤選項，利用差比較法證明正確選項成立.

【詳解】A選項，當eVO時，由不能得到ac>0c，故不正確；

B選項，當a>0,6<0（如a=l,Z?=-2）時，由不能得到工<，,故不正確；

ab

C選項，由/一方:=（a+匕）（a—匕）及可知當a+Z?<0時（如a=—2,8=—3或a=2,

人=一3）均不能得到/>〃，故不正確；

/=(q_/j)(q2+ab+〃2)=(a_o).(a+g]+~^2

D選項,

因為不同時為0,所以（。+勺+—h2>0,所以可由a>6知a3-b3>0>即/>°3,

I2J4

故正確.

故選：D

7.閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k=9,則該算法的功能是()

/，工,/

It-1*1I

[]

A.計算數(shù)列｛2'i｝的前10項和

B.計算數(shù)列｛2'Ll｝的前9項和

C.計算數(shù)列｛2憶1｝的前10項和

D.計算數(shù)列｛2憶1｝的前9項和

【答案】B

【解析】框圖首先給累加變量S和循環(huán)變量i賦值，

S=O,i=l；

判斷i>9不成立，執(zhí)行S=l+2x0=1,i=l+l=2：

判斷i>9不成立，執(zhí)行S=l+2xl=l+2,i=2+l=3；

判斷i>9不成立，執(zhí)行S=l+2x(1+2)=1+2+22,i=3+1=4；

判斷i>9不成立,執(zhí)行SR+2+22+…+28,i=9+l=10；

判斷i>9成立，輸出S=l+2+22+...+28.

算法結束.

故選：B

,.log,x,x>2..

8.已知函數(shù)/(x)=<]0g(4-力x<2'若函數(shù)丁=/(%)一左有兩個零點，則上的取值

范圍是()

A.(^?,2)B.C.(2,+oo)D.(h+°°)

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結合的思想可得選項.

【詳解】由函數(shù)y=log2X與y=log2(4—x)的圖象關于直線x=2對稱,

可得/(x)的圖象如圖所示，

所以當女＞1時，直線y=Z與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個交點.

故選：D.

9.已知定義在R上的函數(shù)“X),都有/(x)=/(l—x),且函數(shù)是奇函數(shù)，若

2019

-.則/的值為()

4

1

A.—1B.1C.——

2D1

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函數(shù)〃%+1)是奇函數(shù)和〃x)=〃l—%)可得函數(shù)“切的周期為2,然后可得

2019\

=/504+務,然后再結合條件可得出結果.

4

【詳解】因為函數(shù)/(X+1)是奇函數(shù)，所以/(—x+l)=—/(x+l),

乂/(x)=/(l—x),所以=

所以/(x+2)=-/(x+l)=/(X),

2019、3、

所以函數(shù)“X)的周期為2,所以/=/5。4+/噌

47

因為/

所以一

故選：

10.平行四邊形ABC。中，ABBD=O,沿8。將四邊形折起成直二面角A—8D-C,

且2|而］+|而（=4,則三棱錐A—BCZ）的外接球的表面積為（）

7171

A.—B.—C.47rD.27r

24

【答案】C

【解析】

試題分析：由萬屈=0得萬一筋，又二面角X-8。-C是直二面角，所以.18_平面88,從而

_BC,同理CD一ID,所以.4C的中點。到43CZ）四個頂點的距離相等.即鄧卜接球球心，又

國『=國'+甌『+|/：=2同'+甌『=4,國卜2,所以球半徑〃==!=1,

S=4^xl:=4^-.故選C.

考點：兩平面垂直的性質，外接球與球的表面積.

11.已知函數(shù)￡(*)=111/+*2+]1\，{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}H6則m+n的取值范圍為

()

A.(0,4)B.[0,4)C.[0,4]D.(4,+與

【答案】B

【解析】設x】e{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0},

.,.f(XI)=f(f(xi))=0,

.*.f(0)=0,

即f(0)=m=0,

故m=0；

故f(x)=x2+nx,

f(f(x))=(x2+nx)(x2+nx+n)=0,

當n=0時，成立;

當n#0時，0,-n不是x2+nx+n=0的根,

故△=/-4n<0,

解得:0<n<4；

綜上所述，0<n+mV4；

故選:B.

12.已知拋物線M:y2=4x，圓N:(xT)2+y2=/(!■>()).過點(1,0)的直線1交圓N于C,D兩點，交

拋物線M于A,B兩點，且滿足|AC|=|BD|的直線1恰有三條，貝Ur的取值范圍為()

*/3]

A.re(0,-B.re(1,21C.rG(2,+oo)D.r€+8

【答案】C

【解析】由題意可知，顯然當直線斜率不存時，|AC|=|BD|,

設直線斜率為k,此時存在兩條直線滿足|AC|=|BD|，

設直線上x=my+l,-2'^^',y2-4my-4=0,A=16(m2+1)>0

x=my+1、7

(x-1)2+y2=r2=y~2,1

m+I

設人的必店的廠^0區(qū)心聲的必)，由|AC|=|BD|,得

2

yry3=丫2-丫4=丫[丫2=y3-y4=>yrY3=丫2-丫4,4荷+1==2(m+1)>2,

如一+1

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設a=J([sinx-l+2cos25，，則(。五一十?(/+2)的展開式中常數(shù)項

是.

【答案】-332

【解析】

試題分析：a=|sinx-l+2cos*^-內(nèi)=|.(sinx+cosxkir=(-cosx+sinx)

的展開式的通項為J；.=C;Q/)A(-=(-1)'.2/'，所以博求常數(shù)項為

7工

T=(-1)3-2wd-2+(-1)'-2'-!Ci=-332.

考點：二項式定理的應用，定積分.

14..已知圓。：（％-3）2+（丁一4）2=1和兩點4（—加,0）,3（m0）（加>0）,若圓上存在點

P,使得NAPB=90°,則根的取值范圍是.

【答案】[4,6]

t解析】

試題分析：由已知以為直徑的圓與圓。有公共點，中點為原點，=則

\m-1|<7（0-3）:+（0-4）:<w+1,解得44也占6,

考點：兩圓的位置關系.

5—S1

15.已知數(shù)列｛《,｝是首項為32的正項等比數(shù)列，S,,其前"項和，且:，若

>5—>34

t

Sk<4-（2-l）,則正整數(shù)4的最小值為.

【答案】4

【解析】

分析】

S-,—12

利用等比數(shù)列的求和公式，得到，進而可求解

—54

【詳解】設等比數(shù)列｛%｝的公比為9,則q>0,

S7-S5121

由題意得=7=所以4二不

S5-S.42

32

從而縱=—641-出“（2一），

1-;

化簡得（2"-1）（2*-16）20,解得女24或左<0（舍去），即人的最小值為4.

故答案為：4

16.已知函數(shù)〃x）=<1'71,若?關于X的方程尸(》)一好(x)+i=o有8個

%--6x+4,x>0

不同根，則實數(shù)b的取值范圍是

17

【答案】

4

【解析】

試題分析：函數(shù)/(%)的圖像如圖所示，因為》2-6%+4=(*-3)2-5,所以關于k的方程

/2(x)_"(x)+i=0在(0,4］上有2個根.令，=/(%),則方程/一歷+1=。在(0,4］上

17

,解得2＜八一.

4

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.在①a=6csinA-acosC，②(2?-，)sinA+(?-a)sinB=2csinC這兩個條件

中任選一個，補充在下列問題中，并解答.

已知AABC的角A，B,C對邊分別為a,6,c,c=JJ，而且.

⑴求NC；

(2)求AABC周長的最大值.

【答案】(1)C=(；(2)3g

【解析】

【分析】

⑴選Q),先利用正弦定理化簡可得sinA=V3sinCsinA-sinAcosC,進而得到

GsinC—cosC=l,結合C的范圍即可求得C=。；選②,先利用正弦定理可得

1TT

（2a-b）a+（2h-a）b=2c2，再利用余弦定理可得COSC=一，結合。的范圍即可求得C=一；

23

（2）由余弦定理可得〃+〃2一出,=3,再利用基本不等式可得4+/）,,2百，進而求得AABC周

長的最大值.

【詳解】⑴選①：

因為a=V3csinA-acosC,

所以sinA=>/3sinCsinA-sinAcosC.

因為sinAw0，所以J5sinC-cosC=1,即sin^C--,

__.._ll..TC7T51ll?I式TC7C

因為0<C<7T,所以一:■VC-7，所以。一二=7,n即C=—；

666663

選②：

因為（2Q-b）sinA+（2b-a）sinB=2csinC\

所以（2。一人）。+（2/?-。）人=2。2,即a1+kr-C1^ab-

兀

因為所以c=-；

3

JT

（2）由（1）可知:C=§,

在△ABC中,由余弦定理得"〃一2"?osC=3.即a?+"一刈=3,

所以（a+匕丫一3=3aZ?《亞魯-.

所以a+b42g,當且僅當a時等號成立，

所以a+。+c43◎即AAHC周長的最大值為3g

18.如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面A6CD是直角梯形，側棱SA,底面ABCD,AB

垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中點.

⑴求證：AM||平面SCO；

⑵求平面SCD與平面SAB所成的二面角的余弦值；

⑶設點N是直線CD上的動點，"N與平面S45所成的角為。，求sin。的最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）手；（3）（sin。）_V35

max7

【解析】

試題分析：本題考查線面平行的判斷，求二面角，求直線與平面所成的角，可用線平行的判

定定理,先證線線平行，得線面平行，在求二面角和直線與平面所成角的時候可以通過作角、

證明、汁算求出結果.由于圖形中有AS,兩兩垂直，因此可能以它們?yōu)樽鴺溯S建立

空間直角坐標系，用空間向量法解決本題.證明線面平行時，證明直線的方向向量與平面的

法向量垂直，由兩平面的法向量的夾角與二面角相等

或互補可得二面角，由直線方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值（絕對值）等于直線與

平面所成角的正弦值求線面角，設N（x,2x—2,0）,則sin?？杀硎緸閤的函數(shù)，由函數(shù)的

性質可得最大值.

試題解析：。以點T為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則0)9(220),

AM—10.1.11.SD=11.0T—21:CD=f—1.—2.01，設平面SCD的一個法向量為葉=(x.y.z)

ISD->?=0x-2z=0------------------

則_，令三=1,得成=I2.—1.1j,丁X.1/->7=0/.ASI_%AMU平面SCD

1.8/=0-x-2y=0

⑵易知平面￡宓的一個法向量為1=11:0:0),設平面SCD與平面工把所成的二面角為夕，

2娓.

易知0<<p<^---『=—...cos。=

1義563

二平面SCD與平面SAB所成的二面角的余弦值為理

3

⑶設Ar(x,2x-2,0),!iFJJ￡\r=(x,2x-3,-l),易知平面$15的一個法向量為”=(1,0,0)

。

當士1=二，3即》=二時，sin。取得最大值，且isinSi=±Jx二

x53=u7

考點：用向量法證明線面平行，求二面角，求宜線與平面所成的角.

19.某土特產(chǎn)超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019年元旦期間的90

位游客購買情況進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表.

購買金額(元)[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]

人數(shù)101520152010

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2*2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為購買金額是否少于60元

與性別有關.

不少于60元少于60元合計

男40

女18

合計

(2)為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3次，每次中獎概

率為。(每次抽獎互不影響，且“值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率)，中

獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn)，請

列出實際付款數(shù)X(元)的分布列并求其數(shù)學期望.

附：參考公式和數(shù)據(jù)：K2=-——兒)——〃=a+/；+c+d.

[a+b)(c+d)(a+c)[b+d)

附表：

“02.0722.7063.8416.6357.879

H)0.1500.1000.0500.0100.005

【答案】(1)見解析，有95%的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.(2)分布列見解

析，數(shù)學期望75

【解析】

【分析】

(1)完善列聯(lián)表，計算K?=—^>3.841得到答案.

247

1)24

(2)先計算p=§,分別計算P(X=65)=萬，P(X=70)=3，P(X=75)=§，

Q

P(X=80)=—,得到分布列，計算得到答案.

27

詳解】⑴2x2列聯(lián)表如下:

不少于60元少于60元合:1

男124052

女182038

合計306090

不

_90x(12x20-40x18)21440

>5>3.841，

30x60x52x38247

因此有95%的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

10+201

（2）X可能取值為65,70,75,80,且p=-----------=-.

903

P（X=65）=《R）$，P（X=70）=叫工容，

P（X=75）=C；亭窗gP（X=80）=d|J吟

所以X的分布列為

X65707580

p（x）1248

279927

I248

EX=65x——+70x-+75x-+80x—=75.

279927

20.如圖，橢圓C］±+匕=l（a>b>0）的左右焦點分別為Fi、F,,離心率為更；過拋物線

a2b22

CQx2=4by焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，當|MF|=:時，M點在x軸上的射影為F1，連結

NO,MO并延長分別交C］于A、B兩點，連接AB；AOMN與AOAB的面積分別記為SAOMN^AOAB，

^AOMN

設入=-----.

（1）求橢圓C］和拋物線的方程；

（2）求人的取值范圍.

2

【答案】⑴曲線C］的方程為?+y2=i，曲線C2的方程為x2=4y（2）［2,+00）

【解析】試題分析：（0）由題意得得M（-C、-b），根據(jù)點M在拋物線上得c?=4b（；-b）.

2

又由;=與,得c=3b2,可得7b2=7b-解得b=1'從而得c=后，a=2,可得曲

線方程。（圖）設分析可得-六，先設出直線的方程為

koN=m.k0M=m',m，=ON

v=mx(m>0)，由02-，解得XN=4m，從而可求得|ON|=4mdi+m2,同

|x=4v

理可得IOMLIOAI.IOBI,故可將入=衿=黑!—黑化為小的代數(shù)式，用基本不等式求

、AOAB|UA|t|UD|

解可得結果。

試題解析：

(I)由拋物線定義可得M(-c,7-b),

4

,1點M在拋物線x?=4by上，

**?c~=4b(--b)?即c?=7b-4b2①

4

22

又由5=4,得c=3b

a2

將上式代入①，得比2=%

解得b=l,

c=g,

a=2,

2

所以曲線C］的方程為土+y2=1，曲線C2的方程為x2=4y。

4

(口)設直線MN的方程為丫=依+1,

由卜1kx：1消去y整理得x2-4kx-4=0，

設M(Xi，yD，N(X2Y2).

則XR2=-4,

設koN=m,koM=m',

y2yli1

貝nl-------X［X)=

12

x2Xi164

所以m'=--f②

4m

設直線ON的方程為y=mx(m>0),

由已2一］，，解得XN=4m,

22

所以|ON|=71+m|xN|=4m+m>

由②可知，用代替m,

4m

（y=mx2

由《2i'解得XA=］）二'

匕+y=1

用-L弋替m,可得QB|=1

4mJ

SAOMN|0N|-|0M|

x=---=-----

二?SA0AB|OA|?|OB|

所以

f+/2,當且僅當m=l時等號成立。

所以人的取值范圍為［2,+8).

21.已知函數(shù)/(x)Tnx-or?+(a-2)x.

⑴若/(x)在x=l處取得極值，求4的值；

⑵求函數(shù)y=.f(x)在上的最大值.

【答案】(1)。=一1；(2)答案見解析.

【解析】

【分析】

⑴求導/(x)=_(2x_l)("+l).由已知得/(l)=_(2—l)(a+l)=0,解得°=一1.再

X

驗證，可得答案.

⑵由已知得求導得“X)單調(diào)性.分0<a4；,〈孝，當《。<1三種

情況分別求函數(shù)y=/(x)在上的最大值.

【詳解】⑴因為〃x)=Inx—s：2+(a—2)x,所以函數(shù)的定義域為(0,+e).

1,、1一2融一+(a-2)x(1)(6LV+1)

所以/(xx)=上—2ar+(a—2)=---------------'―=—-2-,x--—---------

因為“X)在x=l處取得極值，即/(1)=—(2—l)(a+l)=0,解得a=—l.

當a=T時，在上/(x)<0,在(1,+8)上/(x)>0,此時x=l是函數(shù)/(x)的極

小值點，所以a=-l.

⑵因為/<a，所以/(x)=_(21)M+l).

X

因為xe(0,4w),所以公+1>0,所以〃x)在(0,；)上單調(diào)遞增，在、

,+8/上單調(diào)遞

減.

①當0<a4時，/(x)在",可上單調(diào)遞增，所以/⑸心=/(a)=lna-a3+a2—2a；

1

a>—

2_1<。<也時，/(X)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

②當<.,即

22\\,乙)

a2<-

［2

所以/(x)max=/(g)=_ln2_7+一=(_l_ln2；

③當;WE即等《“〈I時，在",a］上單調(diào)遞減，所以

/(元［*=f^a2>j=2lna-a5+療一2/.

綜上所述，當時，函數(shù)y=/(x)在［/,“］匕的最大值是M4“+/—2小

當g<a<當時，函數(shù)y=/(x)在［a?,。］上的最大值是(—i—］n2；

也<，

當2"""時，函數(shù)，=/(》)在上的最大值是21nQ一爐+/-2。？

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則

按所做的第一題計分。

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.在直角坐標系xOy中，直線1過M(2,0),傾斜角為a(a*0),以。為極點，x軸在平面直角坐

標系xOy中，直線Ci：由x+y-4=0,曲線。2：｛)：；晨3(Q為參數(shù))，坐標原點O為極點,

以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.

(1)求CpC2的極坐標方程：

(2)若曲線。3的極坐標方程為。=中＞0,0＜(1＜》且曲線