第四章 基本平面圖形 單元章末練習(xí)題 2021-2022學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)上冊(cè)【含答案】

2021-2022學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)第四章基本平面圖形單元章末專題練習(xí)題

專題1線段的計(jì)算

類型I方程思想

1.如圖，已知線段上有兩點(diǎn)C,。且3口4,點(diǎn)E,尸分別為NC,DB

的中點(diǎn)，EF=18cm.求的長(zhǎng).

E,F

A~l~CD'B

2.如圖，已知線段和8的公共部分為8D,且BD=；4B=*CD,線段/a8的中

4O

點(diǎn)E,尸之間的距離是20,求線段Z8,CZ）的長(zhǎng).

AEDRFC

類型2分類討論思想

3.若線段Z8=12cm,點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段NC的三等分點(diǎn)，求線段8。

的長(zhǎng).

4.已知線段/8=8,在直線48上取一點(diǎn)P,恰好使/P=3P8,點(diǎn)0為線段P8的中點(diǎn)，

求N。的長(zhǎng).

類型3與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算(整體思想)

【例】如圖，點(diǎn)C在線段48上，點(diǎn)“，N分別是NC,5c的中點(diǎn).

4MQN?

(1)若ZC=9cm,CB=6cm,則MV=cm；

(2)若/C=acm,CB=bcm,則MN=cm；

(3)若ZB=acm,求線段MV的長(zhǎng)；

(4)若C為線段N8上任意一點(diǎn)，且/B=〃cm,其他條件不變，你能猜想的長(zhǎng)嗎？并用

一句簡(jiǎn)潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【變式1]若MN=kcm,求線段Z8的長(zhǎng).

【變式2】若C在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足N8=pcm,M,N分別為ZC,8c的中點(diǎn)，

你能猜想"N的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫出圖形，并說明理由.

如圖，點(diǎn)C在線段所在的直線上，點(diǎn)V,N分別是/C,BC的中點(diǎn)，則

AMCNB

ffi1

AMBNC

圖2

CMANB

5.如圖，已知點(diǎn)G。為線段48上順次兩點(diǎn)，M,N分別是4C,的中點(diǎn).

(1)若49=24,CD=10,求A/N的長(zhǎng)；

(2)若CD=b,請(qǐng)用含有〃，人的式子表示出MN的長(zhǎng).

AMCDNR

類型4數(shù)形結(jié)合思想

6.如圖，數(shù)軸上原點(diǎn)為0,A,8是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的數(shù)是a,點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的數(shù)是6,

且a,6滿足(a—2)2+|6+4|=0,動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從N,8出發(fā)，分別以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和

3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒(x>0).

0

IIIIIIII1IIIIw

-5-4-3-2-101234567

(IM.8兩點(diǎn)間的距離是6,動(dòng)點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)的數(shù)是注2(用含X的代數(shù)式表示)，動(dòng)點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的

數(shù)是(用含X的代數(shù)式表示)；

(2)幾秒后，線段OM與線段ON恰好滿足3OM=2ON?

(3)若M,N開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，R從一1出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，

□,^MB—NB....

當(dāng)R與"不重合時(shí)，求7Ml的值.

專題2角度的計(jì)算

類型1方程思想

12

1.如圖，已知口4。8=70。，\JEOA=-^UAOD,匚。OC=§口。04且口。。上口口。。。=3口2,

求一；EOC的度數(shù).

2.(1)如圖1,DAOCDDCODQDBOD=4G2a1,若口408=140。，求口3。。的度數(shù)；

(2)如圖2,□/0(7口口€10?？诳?。。=4口2口1,0P平分□ZO8,若EL4O8=4，求DCOP的度

數(shù)(用含￡的的代數(shù)式表示).

類型2分類討論思想

3.如圖，已知點(diǎn)O在直線N8上，作射線OC,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，EMOC+E]8OQ=90。.

;

BOA

⑴若r/OCSOD=45,則「80。等于度；

⑵若EMOC=a(()o<aW45。)，ON平分口COD.

口當(dāng)點(diǎn)。在口8。。內(nèi)，補(bǔ)全圖形，直接寫出口/ON的度數(shù)(用含a的式子表示)：

」若口/。村+口。0。=180。，求出a的值.

類型3與角平分線有關(guān)的計(jì)算(整體思想)

【例】如圖，己知Q4O8內(nèi)部有三條射線OE,OC,OF,且0E平分口5。。，0斤平分口/OC.

(1)若口40。=30。，口2。。=60。，則口￡'。/=；

(2)若EMOC=a,QBOC=P，則口￡。/=；

⑶若LU0B=8,你能猜想出口￡。尸與0408之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由.

【變式1】若UE0F=y,求口4。反

【變式2】如圖，若射線0C在/O8的外部，且UNO8=6,OE平分U8OC,。尸平分LJN0C,

則上述(3)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由.

如圖，當(dāng)射線OC在口4。5的內(nèi)部或外部，OE平分CIBOC,。下平分口40。時(shí)，總有口后。尸

(Z-V出+/.MJC<1Mf)

【拓展變式】若射線OC在外如圖所示的位置，則口段?F與口，。3的數(shù)量關(guān)系是

針對(duì)訓(xùn)練

4.如圖，已知口/。8內(nèi)部有順次的四條射線：OE,OC,OD,OF,且。E平分EJ/OC,OF

平分ZI80D

(1)若：208=160。，。。。=40。，則UEOF的度數(shù)為100。；

(2)若□ZO8=a,OCOD=/3,求」￡O尸的度數(shù)；

(3)從(1)(2)的結(jié)果中，你能看出什么規(guī)律嗎？

類型4轉(zhuǎn)化思想

5.如圖I,點(diǎn)O為直線48上一點(diǎn)，過。點(diǎn)作射線0C,使AOC3\JBOC=\2,將一直

角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊在射線08上，另一邊ON在直線的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得CW落在射線OB上，

此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為純度；

(2)繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在口/OC的內(nèi)

部.試探究口力。/與DNOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由.

(3)在上述直角三角板從圖1開始繞點(diǎn)。按3每秒0。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。的過程中，是否

存在所在直線平分HBOC和：14OC中的一個(gè)角，ON所在直線平分另一個(gè)角？若存在,

直接寫出旋轉(zhuǎn)時(shí)間，，若不存在，說明理由.

專題3有關(guān)線段、角的動(dòng)態(tài)問題

1.已知點(diǎn)。是直線48上的一點(diǎn),□COO是直角，OE平分L8OC.

(1)如圖1.

：:若口4。。=60。，則匚DOE的度數(shù)為30。；

口若EMOC=a,則口。OE的度數(shù)為必(用含a的式子表示)；

(2)將圖1中的口。。。繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究口。?！旰涂?OC的度數(shù)之間

的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

2.已知數(shù)軸上點(diǎn)/,B,C表示的數(shù)分別為a,b,c,點(diǎn)。為原點(diǎn)，且a,b,c滿足3—6下

+|Z>-2|+|c-l|=0.

⑴直接寫出a,b,c的值；

(2)如圖1,若點(diǎn)M從點(diǎn)4出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)5出發(fā)以每

秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)、M,N,R同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒，，為何值時(shí)，點(diǎn)N到點(diǎn)M,R的距離相等；

(3)如圖2,若點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)以每

秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,。同時(shí)出發(fā)開始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)K為數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且點(diǎn)C始終為線段的中點(diǎn).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，若點(diǎn)K到線段PC的中點(diǎn)。的距離為3時(shí)，

求f的值.

3.如圖，已知［1408=60。，DZOB的邊上有一動(dòng)點(diǎn)P,從距離。點(diǎn)18cm的點(diǎn)”處出

發(fā)，沿線段M0、射線08運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線08運(yùn)動(dòng)，速

度為1cm/s；P,Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)射線OC繞著點(diǎn)O從。/上以每秒5。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是r(s).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段M0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P0=(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段用。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/為何值時(shí),0P=。。？此時(shí)射線0C是的平分線嗎？

如果是，請(qǐng)說明理由.

(3)在射線OB上是否存在P,Q相距2cm?若存在，請(qǐng)求出f的值并求出此時(shí)E13OC的度數(shù):

若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.已知：數(shù)軸上兩點(diǎn)8表示的數(shù)分別為a,6,點(diǎn)。為原點(diǎn)，且a,6滿足|°+8|+(6—

4)2=0.

(1)求04的長(zhǎng)度；

(2)若點(diǎn)C是線段力8上一點(diǎn)(點(diǎn)C不與45兩點(diǎn)重合)，且滿足AC=CO+CB,求CO的長(zhǎng)；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P,。分別從48兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸的速度為2單位長(zhǎng)度/s,點(diǎn)。

的速度為1單位長(zhǎng)度/s.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s),當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，P,。兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).求

當(dāng)t為何值時(shí)，2OP-OQ=4單位長(zhǎng)度.

III,

AOB

5.已知口/。8=90。，□€(?￡)=80°,OE是EMOC的平分線.

(1)如圖1,當(dāng)口4。。=§/O8時(shí),求一OOE的度數(shù);

(2)如圖2,若OD在DAOB內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且。尸是口4。。的平分線時(shí)，求口/OE—口￡>"的值;

(3)在(1)的條件下，若射線OP從OE出發(fā)繞O點(diǎn)以每秒10。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線0。從

OD出發(fā)繞。點(diǎn)以每秒6。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn).若射線OP,。。同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)t秒(0<f<23.5)

4

后得到IJCOP=§3AOQ,求f的值.

答案

專題1線段的計(jì)算

類型1方程思想

1.如圖，已知線段45上有兩點(diǎn)C,。且4c口。。11。3=2口3口4,點(diǎn)E,尸分別為4C,DB

的中點(diǎn)，環(huán)=18cm.求力8的長(zhǎng).

E,F

-I~，-CD'本

解：AC=2acm,CD=3acm,DB=4acm.

因?yàn)镋,廠分別是ZC,05的中點(diǎn)，

所以。片=3AC=a,DF=；BD=2a.

所以E/=a+3a+2a=6〃=18.

所以。=3.

所以力6=2。+3。+4〃=27cm.

2.如圖，己知線段和CO的公共部分為8。，KBD=jAB=\CD,線段CD的中

4o

點(diǎn)、E,尸之間的距離是20,求線段8的長(zhǎng).

AEDRFC

解：設(shè)2O=x,則N8=4x,CD=6x.

因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別為48,CD的中點(diǎn)，

所以[￡'=]AB=2x,CF=2CD=3X.

因?yàn)?C=N8+C￡)-8￡)=4x+6x-x=9x,

所以EF=AC-AE-CF=9x~2x-3x=4x.

因?yàn)镋尸=20,所以4x=20,解得x=5.

所以28=4%=20,CZ)—6x—30.

類型2分類討論思想

3.若線段/8=12cm,點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段ZC的三等分點(diǎn)，求線段80

的長(zhǎng).

解：因?yàn)镃是線段力8的中點(diǎn)，

所以/C=2C=gx]2=6(cm).

□如圖，當(dāng)/￡>=；ZC時(shí)，

A~D_D'CH

2

BD=BC+CD=BC+^ZC=6+4=10(cm).

口如圖，當(dāng)co=g/c時(shí)，

BD'=BC+CD'^BC+^ZC=6+2=8(cm).

綜上所述，線段8。的長(zhǎng)為10cm或8cm.

4.已知線段48=8,在直線Z8上取一點(diǎn)P,恰好使NP=3尸8,點(diǎn)。為線段P8的中點(diǎn)，

求4。的長(zhǎng).

解：□如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段48上時(shí)，

APQ'B

因?yàn)?8=8,AP=3PB,所以“尸=6,BP=2.

因?yàn)辄c(diǎn)。為線段P8的中點(diǎn)，所以尸=1.

所以/。=4尸+尸0=7.

匚如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在線段48的延長(zhǎng)線上時(shí)，

ABQF

因?yàn)榱?=8,AP=3PB,所以8P=4.

因?yàn)辄c(diǎn)。為線段尸8的中點(diǎn)，

所以BP=2.

所以力。=Z8+8Q=8+2=10.

□當(dāng)點(diǎn)戶在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，不成立.

綜上所述，/。=7或10.

類型3與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算(整體思想)

【例】如圖，點(diǎn)C在線段48上，點(diǎn)M,N分別是ZC,8c的中點(diǎn).

/MCN?

⑴若ZC=9cm,CB=6cm,則MV=7.5cm；

(2)若4C=acm,CB=bcm,則MN=3(a+b)cm；

(3)若48=mcm,求線段MN的長(zhǎng)；

(4)若C為線段力8上任意一點(diǎn)，且48=〃cm,其他條件不變，你能猜想MV的長(zhǎng)嗎？并用

一句簡(jiǎn)潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

解：(3)因?yàn)辄c(diǎn)M是NC的中點(diǎn)，所以CA/=；/C.

因?yàn)辄c(diǎn)N是8c的中點(diǎn)，所以CN=^8C.

所以JWN=CA/+CN=；NC+；BC=gmcm.

(4)猜想：MN=3AB=^ncm.

結(jié)論：當(dāng)C為線段Z8上一點(diǎn)，且M,N分別是ZC,8c的中點(diǎn)，則一定成立.

【變式1]若MN=kcm,求線段45的長(zhǎng).

解：因?yàn)辄c(diǎn)A1是NC的中點(diǎn)，所以CW=g/C.

因?yàn)辄c(diǎn)N是5c的中點(diǎn)，所以CN=3BC.

所以AW=CN+CN=gBC=gAB.

所以AB=2MN=2kcm.

【變式2】若C在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足/8=pcm,M,N分別為/C,8c的中點(diǎn)，

你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫出圖形，并說明理由.

解：猜想：MV=gpcm.理由如下：

當(dāng)點(diǎn)C在線段48的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖.

AA7~H_NC

因?yàn)辄c(diǎn)M是4C的中點(diǎn)，所以CW=gzC

因?yàn)辄c(diǎn)N是8。的中點(diǎn)，所以CN=；BC.

所以MV=CM—CN=；(AC-BQ=^AB=^pcm.

如圖，點(diǎn)C在線段48所在的直線上，點(diǎn)M,N分別是4C,8C的中點(diǎn)，則

AMCNB

圖1

AMBNC

圖2

Cxi；1B

針對(duì)訓(xùn)練

5.如圖，已知點(diǎn)C,。為線段42上順次兩點(diǎn)，M,N分別是/C,8。的中點(diǎn).

(1)若48=24,0)=10,求的長(zhǎng)；

(2)若Z8=a,CD=b,請(qǐng)用含有a,6的式子表示出A/N的長(zhǎng).

AMCDNR

解：(1)因?yàn)榱?=24,8=10,

所以NC+Z>8=/8-CZ)=14.

因?yàn)镸,N分別是ZC,8。的中點(diǎn)，

所以MC+￡W=；(AC+DB)=7.

所以MN=MC+DN+CD=17.

(2)因?yàn)椤?a,CD=b,

所以/C+DB=/8—CD=a—b.

因?yàn)?，N分別是/C,8。的中點(diǎn)，

所以MC+ON=g(AC+DB)=；(a-b).

所以MN=A/C+￡W+CO=T(a-6)+6=|(a+b).

類型4數(shù)形結(jié)合思想

6.如圖，數(shù)軸上原點(diǎn)為。，A,8是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的數(shù)是防點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的數(shù)是b,

且a,6滿足("-2)2+|b+4|=0,動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從2,8出發(fā)，分別以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和

3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒(x>0).

O

IIIIIIIIIIIII

-5-4-3-2-101234567

(1M，8兩點(diǎn)間的距離是§,動(dòng)點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的數(shù)是七上2(用含X的代數(shù)式表示)，動(dòng)點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的

數(shù)是3x—4(用含X的代數(shù)式表示)：

(2)幾秒后，線段0M與線段ON恰好滿足3OA/=2CW?

(3)若M,N開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，R從一1出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，

,,_____.,qMB-NB..

當(dāng)R與M不重合時(shí)，求區(qū)乂的值.

解：(2)依題意，得OA/=x+2,ON=\3x~4\.

因?yàn)?0M=2ON,

所以3(2+x)=2|3x—4].

14

3(2+x)=2(3x-4),解得x=y.

2

□3(2+x)=-2(3x-4),解得x=,.

2

聰

秒后

秒

3OM=2ON.

⑶依題意，得動(dòng)點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為一l+2x,

則RM=|(-1+2x)-(2+x)|=|3-x|,

A/5=(2+x)-(-4)=6+x,

7V5=(-4+3x)-(-4)=3x,

所以MB-NB=6+x-3x=6-2x.

因?yàn)?+x=—4+3x,解得x=3,

所以M與N相遇時(shí)時(shí)間為3秒.

MB-NB6~2x6~2x

N與〃相遇前，x<3時(shí),=2.

RM|3-x|3-x

MB-NB6~2x6—2x

N與M相遇后，x>3時(shí),

RM-13rlx~3

綜上所述，MB瞪的值為2或-2.

KM

專題2角度的計(jì)算

類型1方程思想

12

1.如圖，已知LMO8=70°,GEOA=-^AOD,LOOC=§0008且LOOE」UOOC=3D2,

求一￡OC的度數(shù).

解：設(shè)：lD0E=3x。，ODOC=2x°,

因?yàn)锳OD,

所以AOD=4x°.

2

因?yàn)镈OB,

所以DOB=3x°.

因?yàn)榭诹Α?=70°,

所以3x+4x=70.

所以X—10.

所以JEOC^QEOD+□DOC=5x0=50°.

2.(1)如圖1,DAOCDDCODnDBOD^4Q2J1,若□408=140。，求U8OC的度數(shù)；

(2)如圖2,「IOC」CODBOD=421,OP平分「4OB,若：AOB=￡,求「COP的度

數(shù)(用含夕的的代數(shù)式表示).

解：(1)設(shè)口8。。=苫。，QAOC=4x°,DCOD^2x0.

因?yàn)?。8=140。，所以x+2x+4x=140,解得x=20.

所以800=20。，COD=40°,AOC=SO0.

所以ZL80C=20。+40。=60。.

(2)設(shè)□BOOny。，則□/0C=4y。，DCOD=2y°.

一14

所以y+2y+4y=￡.所以y=,夕.所以□"OC=:yp.

因?yàn)镺P平分口力。8,所以“OP=g..

411

所以COP=「AOC-AOP=zjS二誦p.

類型2分類討論思想

3.如圖，己知點(diǎn)O在直線上，作射線OC,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，口為0。+口80。=90。.

BA

(1)若□NOCE1EL8OD=4L15,則口5。。等于他度；

(2)若□ZOC=a(0°<aW45°),ON平分UCOD

」當(dāng)點(diǎn)。在L80C內(nèi)，補(bǔ)全圖形，直接寫出DZCW的度數(shù)(用含a的式子表示);

22若口/ON+C1COZ>=180。，求出a的值.

解：□補(bǔ)全圖形如圖1所示，EL4ON=a+45。.

:當(dāng)點(diǎn)￡)在80C內(nèi)(如圖1)時(shí)，QAON=a+45°.

因?yàn)榭诹Α?+口。。。=180°,

所以a+45°+90°=180°.

所以a—45°.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在BOC外時(shí).，則E]BO￡)=90°-a,CAOD=\SO°-QBOD=900+a,

所以□COD=LL4OC+C]4OO=900+2a.

因?yàn)镺N平分口。0。

所以Z]CON=：□CO￡)=45°+a.

所以「AON=「CON-□^OC=45°.

因?yàn)榭?。川+口。。。=180。，

所以45°+90°+2a=180°.

所以a=22.5。.

綜上所述，a=22.5?；?5。.

類型3與角平分線有關(guān)的計(jì)算(整體思想)

【例】如圖，已知口/08內(nèi)部有三條射線OE,OC,OF,且0E平分LLBOC,O尸平分EMOC

(1)若口4。。=30。，UBOC=60°,則口后。尸=筌；

(2)若MOC=a,DBOC=fi,!)ll]QEOF==^_；

(3)若口工。8=仇你能猜想出口￡。F與口/OB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由.

解：￡。廠與口/。8之間的數(shù)量關(guān)系是LIEOF=￡AOB=j3.

理由：因?yàn)镺E平分DBOC,平分LL4OC,

所以，EOC=gLBOC,DC。/DAOC.

所以1EOF=「EOC+CO9=/BOC+^JOC=1(CSOC+AOQ=^AOB=^6.

【變式1】若UEOF=y,求EMOA

解：因?yàn)镺E平分口8。(7,OF平分口4OC,

所以￡OC=gLBOC,JC(9F=|DAOC.

所以ZI￡Ob=E]EOC+CIO=gDfiOC+lQAOC=^(UBOC+^AOC)^DAOB.

因?yàn)镋OF=y,

所以口/神二？/

【變式2】如圖,若射線0c在口/O8的外部，且口/。8=仇0E平分E13OC,。/平分口/OC,

則上述(3)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由.

解：IEOF=3e成立,

理由：因?yàn)?E平分IBOC,。尸平分口/OC,

所以［JEOC=gDBOC,Z1COF=；DAOC.

IUQEOF=□COF-JEOC=^QAOC-^□BOC=1(□JOC-D5OQ=|DAOB=^0.

如圖，當(dāng)射線OC在EMO8的內(nèi)部或外部，OE平分口8。。，。尸平分口/OC時(shí)，總有E1EOF

=；UAOB.

(NAOft+NAOLXlM)</&出+NHJC<1W>

【拓展變式】若射線OC在"08外如圖所示的位置，則UEOF與口/。8的數(shù)量關(guān)系是

「石。尸=180°—3n/08.

針對(duì)訓(xùn)練

4.如圖，已知口/。8內(nèi)部有順次的四條射線：OE,OC,OD,OF,且。E平分EJ/OC,OF

平分Z180D

(1)若EMO8=160。，□COZ)=40°,則UEOF的度數(shù)為100。；

(2)若LUO8=a,UCOD=B，求￡O尸的度數(shù);

(3)從(1)(2)的結(jié)果中，你能看出什么規(guī)律嗎？

解：(2)因?yàn)榭凇辏?。?口(??！?+口(70。+口/0。=；UAOC+UCOD^0500=1(EL4OC+

QBOD)+QCOD^(QAOB-QCOD)+QCOD^EUO8+；QCOD,UAOB=a,QCOD

=8,

所以EOF=3a+：0=3(a+4).

(3)若U/08內(nèi)部有順次的四條射線：OE,OC,OD,OF,且OE平分口/OC,OF平分UBOD,

則一EO尸=￡(DAOB+COD).

類型4轉(zhuǎn)化思想

5.如圖1,點(diǎn)O為直線Z2上一點(diǎn)，過。點(diǎn)作射線。C,^DAOC2DBOC=1D2,將一直

角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊在射線08上，另一邊ON在直線的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線。8上，

此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為純度：

(2)繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得0N在口/OC的內(nèi)

部.試探究口/OM與DNOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由.

(3)在上述直角三角板從圖1開始繞點(diǎn)。按3每秒0。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。的過程中，是否

存在所在直線平分80c和一/OC中的一個(gè)角，ON所在直線平分另一個(gè)角？若存在,

直接寫出旋轉(zhuǎn)時(shí)間f,若不存在，說明理由.

解：（2）口4。收-EWOC=30。，理由如下：

因?yàn)椤酢?。+口8。。=180。，口4。（7口口8。。=1口2,

所以□/0C+2口40C=180。.所以口4OC=60°.

所以NON+EJCON=60。.

因?yàn)镸ON=90。，

所以AOM+JAON=90°.

所以口4OM-□CQV=30。.

⑶旋轉(zhuǎn)時(shí)間為2秒或5秒或8秒.

專題3有關(guān)線段、角的動(dòng)態(tài)問題

1.已知點(diǎn)。是直線N8上的一點(diǎn)，口。0。是直角，OE平分EL8OC

（1）如圖1.

口若口/1。。=60。，則二。OE的度數(shù)為維；

J^DAOC=a,則口。OE的度數(shù)為必（用含?的式子表示）；

⑵將圖1中的OOC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究［DOE和「/OC的度數(shù)之間

的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

c

c.E

—BX〃

圖1圖2

解：口DOE=TCL40C理由如下：

因?yàn)榭?。。=180。一口/。。，0E平分EIBOC,

所以COE=；LBOC

(180°-DJOQ

=90。"□/".

所以JDOE^□COD~□COE

=90°—(90°—；JAOQ

JAOC.

2.已知數(shù)軸上點(diǎn)/,B,C表示的數(shù)分別為a,b,c,點(diǎn)。為原點(diǎn)，且a,b,c滿足3—6》

+|Z>-2|+|c-l|=0.

⑴直接寫出a,b,c的值；

(2)如圖1,若點(diǎn)/從點(diǎn)/出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)8出發(fā)以每

秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)N,R同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒，/為何值時(shí)，點(diǎn)N到點(diǎn)M,R的距離相等；

(3)如圖2,若點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)以每

秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸，。同時(shí)出發(fā)開始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)K為數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且點(diǎn)C始終為線段的中點(diǎn).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，若點(diǎn)K到線段PC的中點(diǎn)D的距離為3時(shí)，

求，的值.

RNM

圖1

QR[

圖2

解：(l)a=6,b=2,c=1.

(2)由題意，得點(diǎn)M表示的數(shù)為(6+f),點(diǎn)N表示的數(shù)為(2+3f),點(diǎn)R表示的數(shù)為(1+2/),

□當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M左邊時(shí)，

由題意，得MN=RN,

所以(6+，)一(2+3。=(2+3。一(1+2。，解得f=l.

口當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M右邊時(shí)，

由題意，得MN=RN,此時(shí)點(diǎn)R重合，

所以6+f=l+2r,解得t=5.

綜上所述，/的值為1或5時(shí)，點(diǎn)/到點(diǎn)M,R的距離相等.

(3)由題意，得P點(diǎn)表示的數(shù)為6—f.

因?yàn)辄c(diǎn)。是PC的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。表示的數(shù)為巧」=寧.

因?yàn)镃是的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)K表示的數(shù)為2x1—(6—f)=f—4.

所以KD=|(f-4)—與*|=3.

所以t=3或7.

3.如圖，已知山108=60。，口/OB的邊04上有一動(dòng)點(diǎn)P,從距離。點(diǎn)18cm的點(diǎn)”處出

發(fā)，沿線段M。、射線08運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，速

度為1cm/s；P,Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)射線OC繞著點(diǎn)。從。1上以每秒5。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是Z(s).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段M0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。。=點(diǎn)8—20cm(用含I的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段M0上運(yùn)動(dòng)時(shí),才為何值時(shí),OP=O0?此時(shí)射線0C是口/03的平分線嗎？

如果是，請(qǐng)說明理由.

(3)在射線OB上是否存在P,Q相距2cm?若存在，請(qǐng)求出t的值并求出此時(shí)LBOC的度數(shù)；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

A

OQfB

解：(2)依題意，得

OP=(18-2r)cm,OQ^tcm.

因?yàn)?P=0。，所以18-2f=f.

解得t=6.

所以□4OC=5°x6=30°.

因?yàn)椤?08=60。，

所以口80C=1/O”口/OC=30°=CL4OC.

所以射線OC是口408的平分線.

(3)分兩種情況討論：

當(dāng)P,。相遇前相距2cm時(shí)，則。0—0尸=2.

所以「一(2/-18)=2.解得尸16.

所以EMOC=5°xl6=80°.

所以口8。。=80°—60°=20°.

當(dāng)尸，。相遇后相距2cm時(shí)，則。「一。0=2.

所以(27—18)一片2.解得f=20.

所以□ZOC=5°x20=100°.

所以口8。。=100°-60°=40°.

4.已知：數(shù)軸上兩點(diǎn)48表示的數(shù)分別為a,6,點(diǎn)。為原點(diǎn)，且“，6滿足|a+8|+(6—

4)2=0.

(1)求。1,OB的長(zhǎng)度；

(2)若點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)C不與/,8兩點(diǎn)重合)，且滿足AC^CO+CB,求CO的長(zhǎng)；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P,0分別從48兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸的速度為2單位長(zhǎng)度/s,點(diǎn)0

的速度為1單位長(zhǎng)度/S.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(s),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，P,。兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).求

當(dāng)t為何值時(shí)，2OP-O0=4單位長(zhǎng)度.

___I11A

AOB

解：(1)因?yàn)閨a+8]+(b—4?=0,

所以|a+8|=0,b—4=0.

所以a=—8,h—4.

所以04=8,03=4.

(2)設(shè)C點(diǎn)所表示的數(shù)為x,

□當(dāng)點(diǎn)C在線段0/上時(shí)，

因?yàn)镹C=C0+C8,