第一章 勾股定理 課堂精練 2021-2022學年北師大版數(shù)學八年級上冊

1.1.1探索勾股定理

一、選擇題

1.在RtAABC中，/A,N仇NC所對的邊分別為

。力,(:,/。=90。,。=8,(?=17,貝!]8等于()

A.25B.17C.15D.13

2.在△A3C中,/ANB/C所對的邊分別為。力,c,若NC=90。,則

()

A.fl2+/?2=c2B.a2+c2=b1C.h2+c2=a1D.a=c

3.已知一個直角三角形的斜邊長為20,一條直角邊長為16,那么它的周

長是()

A.160B.48C.60D.96

4.如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若￡B=1,EC=3,則正方形

ABCD的面積是()

A.4B.8C.10D.12

5.已知直角三角形的兩直角邊長分別為3和4,則斜邊上的高為()

A.5B.3C.1.2D,2.4

6.如圖，長為12cm的彈性皮筋拉直放置在水平的直線/上，固定兩端A

和8,然后把中點C豎直向上拉升8cm至點0,使得則彈性

皮筋被拉長了()

D

,片、

,，!\

AC

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

7.如圖，在長方形ABCD中,A8=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊，使點D

與點B重合,折痕為則AABE的面積為()

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2

二、填空題

8.在RtAABC中,NA,N3,NC所對的邊分別為a,"c,NC=90。.

(1)若。=7力=24,貝|c=;(2)若4=0.5,。=1.3,貝1]b-;

(3)若。=[1=卷，貝1Ja=；(4)若ab-3:4,c=20,貝U

Sz\ABC=?

9.若直角三角形的兩邊長分別為512,則第三邊長的平方

為.

10.如圖，為修鐵路要鑿通隧道8C,測得/4+/8=90。48=5km,AC=4

km,若每天鑿隧道0.3km,則需天才能把隧道鑿通.

11.如圖，從電線桿離地面5m高處向地面拉一條長為13m的固定纜

繩，這條纜繩與地面的固定點距離電線桿底部的距離為m.

12.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其

中最大的正方形的邊長是8cm,正方形A的面積是12cn?,正方形B

的面積是9cn?,正方形c的面積是13co?,則正方形D的面積是

cm2.

13.已知:如圖,△ACS的面積為30,/。=90。,8。=。4。=久正方形ADEB

的面積為169.則（a-。）?的值為.

三、解答題

14.根據(jù)所給條件，求下列圖形中的未知邊的長度.

(1)求圖①中BC的長;

(2)求圖②中8C的長.

15.如圖，在△A3C中,CO_LA3于點DAC=20f0=15,30=9.

(1)求A3的長;

(2)求△ABC的面積.

16.如圖，在RtAABC中,NC=90。,。為AC邊上一點，且D4=DB=5

cm,/\DAB的面積為10cn?,求CD的長.

17.如圖，某小區(qū)的中心廣場附近有一塊四邊形空地ABCD計劃改建成

一個小花圃，經(jīng)測量,NC=NAD8=9()o,BC=12m,CO=9m,A8=17m.求:

(1)BD和A3的長;

(2)四邊形花圃ABCD的面積.

18、如圖，在△A8C中A6=15,8C=144C=13,求△ABC的面積.

某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路:

如圖，過點/作根據(jù)勾股定理，根據(jù)勾股定理

4>_LBC于點0,利用3作為“橋求出仞的長，

設(shè)瓦Ax,用含工的一梁”，建立方程再計算三角形

代數(shù)式表示CD模型，求出x的值的面積

(1)請你按照他們的解題思路完成解答過程;

⑵填空：在△GEF中,6石二15,七/=13,6/=4,則46石尸的面積

是.

1.1.2驗證勾股定理及其簡單計算

一、選擇題

1.如圖，不能用來驗證勾股定理的是（）

ARCD

2.如圖，為修鐵路需鑿隧道AC,測得NACB=90o,A3=130m,3C=120m,

若每天鑿隧道5m,則把隧道鑿通需要（）

A.10天B.9天C.8天D.11天

二、填空題

3.如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到3地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān),

可以開通隧道由A地到B地直接修建（除隧道外部分仍修建高速公路）,

已知高速公路造價為每千米300萬元，隧道總長為2千米，隧道造價為

每千米500萬元,40=80千米,BC=60千米，則改建后可省工程費用

萬元.

4.如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地高度AB為

2.5米，當人進入感應器的感應范圍內(nèi)時，感應門就會自動打開.一個身

高1.6米的學生CD正對著門,緩慢走到離門1.2米的地方時（BC=L2

米），感應門自動打開，則AD=米.

0器

/

2

題

解答

三、

角

些直

形，這

的圖

形成

接后

當拼

形適

三角

直角

同的

全相

個完

是4

5.圖

勾股

驗證

圖形

這個

利用

為c.請

邊長

。也斜

別為

長分

角邊

兩直

形的

三角

定理.

AB

是以

，上部

方形

是長

CD

AB

邊形

中四

示，其

圖所

門如

的大

工廠

6.某

，高

卡車

物的

滿貨

輛裝

有一

米，現(xiàn)

B=2

.3米A

AO=2

，其中

半圓

徑的

為直

由.

明理

門?說

過廠

否通

車能

輛卡

則這

.6米,

，寬1

2.5米

】

情境

問題

7、【

證

以驗

圖，可

用此

①，利

成圖

片拼

形紙

三角

直角

等的

張全

用四

小明

嗎？

定理

勾股

】

新知

【探索

從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn):大正方形的面積=小正方形的面積

+四個直角三角形的面積，

從而得數(shù)學等式:，(用含字母a,b,c的

式子表示)

化簡，得.

【變形運用】

⑴如圖①，若。=2Q,則小正方形面積：大正方形面積=;

(2)現(xiàn)將圖①中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖②，若。=4/=6.

求空白部分的面積.

①②

1.2一定是直角三角形嗎

一、選擇題

1.以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）

52

A.15,20,25B.鴻

C.6,12,14D.2,3,5

2.下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.6,8,10B.9,41,40

C.8,12,15D.5￡12￡13嵐%為正整數(shù)）

3.若△ABC中,NA,N3,NC所對的邊分別為。力,c,且三邊滿足（。

49+辦/=0廁下列結(jié)論正確的是（）

A.AABC是直角三角形，且NC為直角

B.AABC是直角三角形，且N3為直角

C.AABC是直角三角形，且NA為直角

D.ZXA3C不是直角三角形

4.如圖所示人。為AABC的中線，且A3=13,80=10^0=12,則AC的長

為（）

A

A.10B.llC.12D.13

5.如圖，在由邊長均相同的小正方形組成的網(wǎng)格中標出了

AB,CD,EF,GH四條線段,其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是

()

A.CD,EF,GHB.AB,CD,EFC,AB,CD,GHD.AB,EF,GH

6.在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股

數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中：

a68101214...

b815243548...

c1017263750...

貝!!當a=20時力+c的值為()

A.162B.200C.242D.288

、填空題

7.李老師要做一個直角三角形教具，做好后量得三邊長分別是30

cm,40cm和50cm,則這個教具.（填“合格”或“不合格”）

8.已知a,b,c是△ABC的三邊長，若口-川+|次+/一。2|=0,則△ABC的形狀

是.

9.如圖，每個小正方形的邊長均為1A3,C都是小正方形的頂點，則

,

ZABC=________

10.已知等腰三角形ABC中，底邊3c=20Q為AB上一點，且

8=16,30=12,則△ABC的周長為.

三、解答題

11.如圖，在△ABC中,C0_LA8,垂足為。，如果C0=6AD=9,BD=4,那么

△ABC是直角三角形嗎?請說明理由.

12.如圖，在四邊形A6CD中,/3=90。,48=3。=2,8=34）=1,求/。48

的度數(shù).

D

13.如圖，在由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中哪些是直角三角

形?并說明理由.

14.如圖，小明的家位于一條南北走向的河流的東側(cè)A處，某一天小

明從家出發(fā)沿南偏西30。方向走60m到達河邊B處取水，然后沿另一

方向走80m到達菜地C處澆水，最后再沿另一方向走100m回到家A

處.小明在河邊B處取水后是沿哪個方向走的？

15.如圖所示，在△ABC中,AB：BC:AC=3：4：5,它的周長為36cm,

點P從點A出發(fā)沿AB邊向點3以每秒1cm的速度移動，點。從點3

出發(fā)沿8C邊向點C以每秒2cm的速度移動.如果點P,Q同時出發(fā),

那么經(jīng)過3s時,的面積為多少？

c

16、題目:王老師在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學習中,給出了下表：

m2334...

n1123...

22+132+132+242+3

a...

2222

b461224...

c22-l232-l232-2242-32...

其中m,n為正整數(shù)，且m>n.

⑴觀察表格，當m=2,n=\時,對應的a,b,c的值能不能為直角三角

形三邊的長?說明你的理由.

(2)探究a,b,c與m,n之間的關(guān)系，并用含m,n的代數(shù)式表

示:a-,b-,

c=.

(3)以a,b,c為邊長的三角形是否一定為直角三角形?如果是，請說

明理由;如果不是,請舉出反例.

1.3勾股定理的應用

一、選擇題

1.如圖，甲船以20海里州的速度從港口O出發(fā)向西北方向航行，乙船

以15海里/H寸的速度同時從港口O出發(fā)向東北方向航行，則2小時后,

兩船相距（）

A.40海里B.45海里

C.50海里D.55海里

2.圖是一扇高為2m,寬為1.5m的門框，李師傅有3塊薄木板,尺寸如

下:①號木板長3m,寬2.7m;②號木板長2.8m,寬2.8m;③號木板長4

m,寬2.4m.可以從這扇門（木框厚度忽略不計）通過的木板是（）

口。

1.5m

A.①號B.②號

C.③號D.均不能通過

3.如圖，長方體的高為8cm,底面是邊長為3cm的正方形，現(xiàn)有一點從

點A處出發(fā)，沿長方體表面到達點C處，則該點所走的最短路程是

A.8cmB.9cm

C.10cmD.11cm

4.在一次課外社會實踐中，王強想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的

繩子垂到地面上還多

1m,當他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的

高為（）

A.13mB.12mC.4mD.10m

5.如圖，一個長、寬、高分別為4cm,3cm,12cm的長方體盒子能容下

的木棒最長為（）

A.llcmB.12cm

C.13cmD.14cm

6.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為16cm,在容

器內(nèi)壁離容器底部4cm的點3處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容

器外壁，位于離容器上沿4cm的點A處,若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最

短路徑長為20cm,則該圓柱的底面周長為（）

A.12cmB.14cmC.20cmD.24cm

二、填空題

7.如圖所示，要建一個蔬菜大棚棚寬3.2m,高2.4m,長15m,則覆蓋在

頂上的塑料薄膜（網(wǎng)格部分）需要n?.

8.課間時，學生小李看見教室里的一根長25分米的竹竿倒在墻角（如

圖）,竿足距墻底端15分米，于是他順手將竹竿扶正，使竹竿的頂端上升

了4分米，那么竿足將移動分米.

9.如圖所示，將一支長15cm的鋼筆置于底面直徑為6cm，高為8cm的

圓柱形筆筒中，設(shè)鋼筆露在外面的長度為"cm,則h的最小值

是.

D

10.如圖，長方體的底面是邊長為3cm的正方形，高為5cm.若一只螞蟻

從點P開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達點。，則螞蟻爬行的最短路徑

長為cm.

5cm

Jr3cm

P

11.圖是秋千示意圖，秋千在平衡位置時，下端B距離地面0.6m,當秋千

蕩到的位置時，下端By距離平衡位置的水平距離EB1為2.4m,距

離地面1.4m,則秋千AB的長為

m.

三、解答題

12.讀詩求解:“出水三尺一紅蓮，風吹花朵齊水面，水平移動有六尺，水

深幾何請你算

13.如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點

A,民其中由于某種原因，由村莊C到取水點A的路現(xiàn)在不通,

該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點”(點A,H,B在同一

條直線上),并新修一條路測得CB=1.5千米,C”=1.2千米,”8=0.9

千米.

(1)C”是不是從村莊。到河邊的最近路?請通過計算加以說明；

(2)求新路CH比原路CA少多少千米.

14、問題:如圖，一圓柱的高A3=5dm,底面半徑為5dm,3c是上底面直

徑，求一只螞蟻從點4出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線.

小明設(shè)計了兩條路線:

路線1：沿側(cè)面展開圖中的線段AC爬行，如圖所示:

B1c------>|C沿形剪開f-----------—------------------

①②

設(shè)路線1的長度為A,則兀）2=25+25兀4

路線2:圓柱的高A3+底面直徑BC.

設(shè)路線2的長度為，2,貝!J8=（AB+3C）2=（5+10）2=225.

因為4=25+257?一225=25兀2-200=25（兀2-8）>0,所以片〉心，所以

/1>以所以要選擇路線2較短.

（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成:“圓柱的底面半

徑為1dm,高A3仍為5dm”,繼續(xù)按前面的路線進行計算.請你幫小明

完成下面的計算：

路線l:ll=AC2=AB2+BC2=25+7t1-

路線2：￥=（A3+BC）2=49.

因為片<邑所以A々2,所以應選擇路線（填“1”或"2”）較

短.

（2）請你幫小明繼續(xù)研究:設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為九當螞蟻走

上述兩條路線的路程出現(xiàn)相等情況時，求出此時h與r的比值（本小題

兀的值取3）.

教師詳解詳析

［課堂達標］

l.C2.B3.B4.B5.D

6.C［解析］根據(jù)題意，得則在RtAACD

中AC=IAB=Ixl2=6(cm).因為CD=8cm,根據(jù)勾股定理，得

所以AD=1Ocm,所以AD+BD-AB=2AD-

4B=20-12=8(cm),即彈性皮筋被拉長了8cm.故選C.

7.C8.(1)25(2)1.2⑶：(4)96

9.169或119［解析］(1)若長為12的邊是直角邊，則第三邊長的平方

為52+122=169;

(2)若長為12的邊是斜邊廁第三邊長的平方為122-52=119.

所以該三角形的第三邊長的平方是169或119.

10.1011.12

12.30

13.49［解析］因為NC=90o,3C=a4C=b,z\AC3的面積為30,正方形

ADEB的面積為169,

所以1/?=30,序+〃=169.

所以（”-。）2=。2+。2一2。。=169-120=49.

故答案為49.

14.解:⑴在RtAABC中，由勾股定理，得8C2=482-43=172-82=1所以

3c=15.

⑵在RtAABD中，由勾股定理，得BD2=AB2+AD2=32+42=52.

在氐△CQ8中，由勾股定理，得3￡)2=132-52=122,所以30=12.

15.解:⑴因為CDL4B,

所以NCQ3=NCDA=90。.

在RtACDB中，由勾股定理，得8=12,

在RtZ^CDA中，由勾股定理，得AD=16,

所以48=40+80=16+9=25.

11

(2)S^ABC=-AB-CD=-X25X12=150.

16.解:因為△DAB的面積WQABC,

所以958c=10,

解得BC=4.

因為DB=5,

所以由勾股定理，得解得8=3.

所以CD的長為3cm.

17.解:⑴因為NC=90。,3c=12m,CO=9m,

所以在RtABCD中QOnBG+CDzMZZ+gZnZZS,

所以80=15m.

因為NAQB=90。,37)=15m,A3=17m,

所以在Rt/XADB中,AD2=4"_B02=172/52=64,

所以AD-Sm.

(2)5四邊形ABCD1=lQ.13D+；BC.CD=；1x8xl5+］1xl2x9=114(m2).

故四邊形花圃ABCD的面積是114n?.

［素養(yǎng)提升］

［解析］

(2)如圖，過點尸作FHLGE于點H.

設(shè)“G=%,貝!J”￡=15-%.

由勾股定理得FH^GP-HG2^2-%2,

FH2=EF^-HE~=132-(15㈤2,

則42-^=132-(15-^)2,

解得x-2.4,

所以