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專題03半角模型【基本模型】應(yīng)用:①利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形;②利用翻折構(gòu)造全等三角形?!纠}精講】例1.(基本模型1)已知:正方形中,,繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交(或它們的延長線)于點(diǎn).當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖1),易證.(1)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖2),線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出猜想,并加以證明.(2)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí),線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想.例2.(基本模型2)(1)如圖①,在四邊形中,,E,F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn),且.請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系:;(2)如圖②,在四邊形中,,E,F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn),且,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請寫出證明過程;(3)在四邊形中,,E,F(xiàn)分別是邊所在直線上的點(diǎn),且.請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系:.例3.(基本模型3)(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=100°,∠B=∠ADC=90°.E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn).且∠EAF=50°.探究圖中線段EF,BE,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.小明同學(xué)探究的方法是:延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論,不需證明);(2)如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且2∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由;(3)如圖3,四邊形ABCD是邊長為7的正方形,∠EBF=45°,直接寫出△DEF的周長.例4.(培優(yōu)綜合)問題情境:已知,在等邊△ABC中,∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O,點(diǎn)M、N分別在直線AC,AB上,且∠MON=60°,猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系.方法感悟:小芳的思考過程是在CM上取一點(diǎn),構(gòu)造全等三角形,從而解決問題;小麗的思考過程是在AB取一點(diǎn),構(gòu)造全等三角形,從而解決問題;問題解決:(1)如圖1,M、N分別在邊AC,AB上時(shí),探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(2)如圖2,M在邊AC上,點(diǎn)N在BA的延長線上時(shí),請你在圖2中補(bǔ)全圖形,標(biāo)出相應(yīng)字母,探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.【變式訓(xùn)練】1.(2019秋?九龍坡區(qū)校級月考)如圖.在四邊形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,AB=AD,E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn),且∠EAF∠BAD,求證:EF=BE﹣FD.2.如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,點(diǎn)E、F分別在AD、AB上,且.(1)求證:;(2)連結(jié)AC,若,求的度數(shù).3.已知:邊長為4的正方形ABCD,∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F,且∠EAF=45°,連接EF.求證:EF=BE+DF.思路分析:(1)如圖1,∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°,∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE',則F、D、E'在一條直線上,∠E'AF=度,……根據(jù)定理,可證:△AEF≌△AE'F.∴EF=BE+DF.類比探究:(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上,探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;拓展應(yīng)用:(3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,D、E在BC上,∠BAC=2∠DAE.若S△ABC=14,S△ADE=6,求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積.4.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長線)于點(diǎn)M、N,AH⊥MN于點(diǎn)H.(1)如圖①,當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí),請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系:____;(2)如圖②,當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí),(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?如果不成立請寫出理由,如果成立請證明;(3)如圖③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于點(diǎn)H,且MH=2,NH=3,求AH的長.(可利用(2)得到的結(jié)論)【課后訓(xùn)練】1.如圖所示,是邊長為1的等邊三角形,是頂角的等腰三角形,以為頂點(diǎn)作一個的角,角的兩邊交、于、,連結(jié),求周長.2.如圖1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,AC,BD相交于點(diǎn)O.(1)求邊AB的長;(2)求∠BAC的度數(shù);(3)如圖2,將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處,繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn),其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC,CD相交于點(diǎn)E,F(xiàn),連接EF.判斷△AEF是哪一種特殊三角形,并說明理由.3.問題背景:“半角模型”問題.如圖1,在四邊形中,,,,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是上的點(diǎn),且,連接,探究線段之間的數(shù)量關(guān)系.(1)探究發(fā)現(xiàn):小明同學(xué)的方法是延長到點(diǎn)G.使.連結(jié),先證明,再證明,從而得出結(jié)論:_____________;(2)拓展延伸:如圖2,在四邊形中,,,E、F分別是邊上的點(diǎn),且,請問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由.(3)嘗試應(yīng)用:如圖3,在四邊形中,,,E、F分別是邊延長線上的點(diǎn),且,請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明.4.如圖,在四邊形中,,,分別是,上的點(diǎn),連接,,.(1)如圖①,,,.求證:;
(2)如圖②,,當(dāng)周長最小時(shí),求的度數(shù);(3)如圖③,若四邊形為正方形,點(diǎn)、分別在邊、上,且,若,,請求出線段的長度.5.如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn),連接DE,將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到EG,過點(diǎn)G作GF⊥CB,垂足為F,GH⊥AB,垂足為H,連接DG,交AB于I.(1)求證:四邊形BFGH是正方形;(2)求證:ED平分∠CE
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