SARS傳播的數(shù)學(xué)模型論文

PAGEPAGE7SARS傳播的數(shù)學(xué)模型摘要本文分析了題目所提供的早期SARS傳播模型的合理性與實(shí)用性，認(rèn)為該模型可以預(yù)測(cè)疫情發(fā)展的大致趨勢(shì)，但是存在一定的不足.第一，混淆了累計(jì)患病人數(shù)與累計(jì)確診人數(shù)的概念；第二，借助其他地區(qū)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，后期預(yù)測(cè)結(jié)果不夠準(zhǔn)確；第三，模型的參數(shù)L、K的設(shè)定缺乏依據(jù)，具有一定的主觀性.針對(duì)早期模型的不足，在系統(tǒng)分析了SARS的傳播機(jī)理后，把SARS的傳播過(guò)程劃分為：征兆期，爆發(fā)期，高峰期和衰退期4個(gè)階段.將每個(gè)階段影響SARS傳播的因素參數(shù)化，在傳染病SIR模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到SARS傳播模型.采用離散化的方法對(duì)本模型求數(shù)值解得到：北京SARS疫情的預(yù)測(cè)持續(xù)時(shí)間為106天，預(yù)測(cè)SARS患者累計(jì)2514人，與實(shí)際情況比較吻合.應(yīng)用SARS傳播模型，對(duì)隔離時(shí)間及隔離措施強(qiáng)度的效果進(jìn)行分析，得出結(jié)論：“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”能有效減少累計(jì)患病人數(shù)；“嚴(yán)格隔離”能有效縮短疫情持續(xù)時(shí)間.在建立模型的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，需要認(rèn)清SARS傳播機(jī)理，獲得真實(shí)有效的數(shù)據(jù).而題目所提供的累計(jì)確診人數(shù)并不等于同期累計(jì)患病人數(shù)，這給模型的建立帶來(lái)不小的困難.本文分析了海外來(lái)京旅游人數(shù)受SARS的影響，建立時(shí)間序列半?yún)?shù)回歸模型進(jìn)行了預(yù)測(cè)，估算出SARS會(huì)對(duì)北京入境旅游業(yè)造成23.22億元人民幣損失，并預(yù)計(jì)北京海外旅游人數(shù)在10月以前能恢復(fù)正常.最后給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫(xiě)了一篇短文，介紹了建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性.4．SARS傳播的SIR改進(jìn)模型4.1模型的假設(shè)SARS的持續(xù)期不太長(zhǎng)，可以忽略在SARS持續(xù)期內(nèi)的城市人口的自然出生率和自然死亡率.被SARS感染后經(jīng)治療康復(fù)的人群在SARS流行期不會(huì)被再次感染.病人被嚴(yán)格隔離、治愈或者死亡后，不再有感染作用.不考慮人口的流動(dòng)，僅僅在一個(gè)城市范圍內(nèi)研究SARS疫情的發(fā)展過(guò)程.4.2模型的符號(hào)定義:易感類(lèi)人群占城市人口總數(shù)的比例.:傳染類(lèi)人群占城市人口總數(shù)的比例.:排除類(lèi)人群占城市人口總數(shù)的比例.:SARS患者的就診率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率.：平均傳染期.4.3傳播機(jī)理分析針對(duì)早期模型的不足，需要在模型的合理性和實(shí)用性方面進(jìn)行改進(jìn).考慮在經(jīng)典傳染病模型SIR的基礎(chǔ)上，通過(guò)機(jī)理分析，用實(shí)際因素來(lái)描述SARS的傳播過(guò)程.為了簡(jiǎn)化模型，這里不考慮人口的流動(dòng)帶來(lái)的影響，僅僅在一個(gè)封閉城市中研究SARS的傳播機(jī)理.那么，整個(gè)社會(huì)人群可以分為3類(lèi)：S類(lèi)：稱(chēng)為易感類(lèi)，該類(lèi)成員沒(méi)有染上傳染病，但缺乏免疫能力，可以被染上傳染病.I類(lèi)：稱(chēng)為傳染類(lèi)，該類(lèi)成員已經(jīng)染上傳染病，而且可以傳染給S類(lèi)成員.R類(lèi)：稱(chēng)為排除類(lèi)或恢復(fù)類(lèi)，R類(lèi)成員或者是I類(lèi)成員被嚴(yán)格隔離、治愈，或者死亡等.I類(lèi)成員轉(zhuǎn)化為R類(lèi)后，立刻失去傳染能力.S(t)、I(t)、R(t)分別表示t時(shí)刻上述3類(lèi)成員占城市人口總數(shù)的比例.對(duì)于傳播過(guò)程有3條基本假設(shè)：：人口總數(shù)為常數(shù)N，N足夠大，可以把變量S(t)、I(t)、R(t)視為連續(xù)變量，還可進(jìn)一步假定為連續(xù)可微變量.：人群中3類(lèi)成員均勻分布，傳播方式為接觸性傳播.單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率為，則一個(gè)傳播者在單位時(shí)間內(nèi)與S類(lèi)成員的接觸率為，因此，單位時(shí)間內(nèi)I類(lèi)成員與S類(lèi)成員的接觸總數(shù)為，這就是單位時(shí)間內(nèi)I類(lèi)成員增加的數(shù)量，稱(chēng)為發(fā)病率，它是S(t)和I(t)的雙線性函數(shù).：傳播者的被控制數(shù)正比于傳染者的數(shù)量，比例系數(shù)為，稱(chēng)為被控制率，則平均傳染期為.為一個(gè)傳染者在其傳播期內(nèi)與其他成員的接觸總數(shù)，稱(chēng)為接觸數(shù).那么SARS的傳播流程如圖3：圖3SARS傳播流程圖在這個(gè)模型中，排除類(lèi)就是已確診SARS患者累計(jì)數(shù)，而是全社會(huì)累計(jì)SARS患者數(shù)，包括已確診的和未被發(fā)現(xiàn)的兩部分.4.4模型的建立有了以上的機(jī)理分析，建立起針對(duì)SARS的改進(jìn)SIR模型：該模型中參數(shù)和在疫情發(fā)展的各個(gè)階段受實(shí)際因素影響，會(huì)有比較明顯的變化，現(xiàn)分析如下：eq\o\ac(○,1)參數(shù)表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率，其與全社會(huì)的警覺(jué)程度和政府、公眾采取的各種措施有關(guān)，例如，佩戴口罩，減少停留在公共場(chǎng)所的時(shí)間，噴灑消毒藥劑，提高隔離強(qiáng)度等都能有效地降低接觸率的值.一般認(rèn)為，的數(shù)值隨著SARS發(fā)展的4個(gè)階段不斷變化.在SARS初期，由于潛伏期的存在和社會(huì)對(duì)SARS病毒傳播的速度認(rèn)識(shí)不足，政府和公眾并未引起重視，故維持在一個(gè)較高的數(shù)值；進(jìn)入爆發(fā)期后，公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加，恐慌情緒增加，隨即采取多種措施，使得到一定的控制，但效果不明顯，此處假設(shè)呈線性形式緩慢衰減；在高峰期，當(dāng)高強(qiáng)度的控制措施實(shí)施后，病毒傳播的有效接觸率明顯減少，可以認(rèn)為按天數(shù)呈指數(shù)形式衰減；此后進(jìn)入衰減期，就維持在一個(gè)較低值附近.eq\o\ac(○,2)參數(shù)表示傳播者的被控制率.稱(chēng)為平均傳染期，表示一個(gè)傳播者在被隔離或者死亡之前具有傳播能力的平均時(shí)間.一般認(rèn)為，SARS患者經(jīng)過(guò)傳染期L過(guò)后，將隔離治療或者死亡，從I類(lèi)成員變?yōu)镽類(lèi)，失去傳播能力.L與政府采取的措施密切相關(guān)，例如，盡量早地發(fā)現(xiàn)病患，對(duì)疑似病例提前進(jìn)行隔離，“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”；提供更廣范圍的醫(yī)療手段，使更多的人接受有效的治療等，都可以有效地降低平均傳染期L的長(zhǎng)度.因此這里將L直接抽象為每一時(shí)期SARS患者的就診率的函數(shù).平均傳染期L應(yīng)隨的變化而變化.但是在初期，由于政府對(duì)SARS的認(rèn)識(shí)不足，并沒(méi)有采取有效控制措施，L的變化很小可以近似看作定值，這里我們?nèi)ARS病毒最長(zhǎng)潛伏期（約19天）為這個(gè)定值；在爆發(fā)期，有效控制措施的逐步加強(qiáng)，使SARS患者的就診率逐漸增加，而平均傳染期L會(huì)逐漸減小并趨于一個(gè)定值，這里我們將SARS病毒平均潛伏期（約7天）定為L(zhǎng)的最小值；在此后的高峰期以及衰減期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值會(huì)維持在7天左右.4.5針對(duì)北京疫情求解模型首先采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法，確定參數(shù)和，并證明模型有唯一解.eq\o\ac(○,1)確定和的關(guān)系令，方程組中得：在病情剛開(kāi)始時(shí)，，由于是單調(diào)減少的，且最終趨近于0，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少趨近于0；當(dāng)時(shí)，先單調(diào)增加達(dá)到最大值，然后單調(diào)減少趨近于0.容易知道，當(dāng)時(shí)，才滿(mǎn)足SARS的傳播規(guī)律，所以參數(shù)和的取值必須滿(mǎn)足這個(gè)條件.eq\o\ac(○,2)證明模型有唯一解在初值條件下解微分方程組：得到關(guān)系式：令，由eq\o\ac(○,1)得因?yàn)?，所以令則，當(dāng)時(shí)，由于在范圍內(nèi)有根，因而在內(nèi)有根.當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因而在內(nèi)也有根.注意到當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)有唯一根.所以，在內(nèi)有唯一解.eq\o\ac(○,3)劃分SARS傳播的4個(gè)階段由于SARS的傳播經(jīng)歷了4個(gè)階段，所以，要以具體的指標(biāo)劃分這4個(gè)階段.因?yàn)樵?個(gè)階段中，日發(fā)病率是一個(gè)區(qū)分每個(gè)階段特點(diǎn)的關(guān)鍵特征，所以以日發(fā)病率作為劃分的指標(biāo).從第一個(gè)患者出現(xiàn)日開(kāi)始：征兆期：日發(fā)病率在10（人/天）以下.北京疫情期的前40天.爆發(fā)期：從日發(fā)病率10（人/天）到日發(fā)病率最大，即時(shí).北京疫情期的第40天到第74天.高峰期：從日發(fā)病率最大到患者數(shù)量最大，即時(shí).北京疫情期的第74天到第79天.衰退期：患者數(shù)量最大點(diǎn)以后.北京疫情期第79天以后.eq\o\ac(○,4)確定和根據(jù)北京最終SARS患者總數(shù)2521人以及北京人口總數(shù)（約14000000人），得，所以.因?yàn)槠骄鶄魅酒?，而是SARS患者就診率的函數(shù)，且，所以，這里設(shè)計(jì)L函數(shù)為：由政府的控制措施決定，它的變化反映了政府控制措施的力度.根據(jù)實(shí)際情況，推導(dǎo)出：而接觸率與全社會(huì)的警覺(jué)程度和公眾采取的各種措施有關(guān)，根據(jù)實(shí)際情況確定為：確定出所有的參數(shù)后，做出北京各時(shí)期累計(jì)全社會(huì)SARS患者數(shù)和各時(shí)期累計(jì)確診SARS患者數(shù)預(yù)測(cè)圖（圖4）以及北京市預(yù)測(cè)確診SARS患者累計(jì)和實(shí)際確診SARS患者累計(jì)對(duì)比圖（圖5）.同時(shí)得到：北京SARS疫情的預(yù)測(cè)持續(xù)時(shí)間為106天，預(yù)測(cè)SARS患者累計(jì)2514人.(計(jì)算程序見(jiàn)附件1：SIR模型程序)圖4北京市預(yù)測(cè)非典病人累計(jì)總數(shù)和預(yù)測(cè)非典病人確診病例累計(jì)對(duì)比圖圖5北京市預(yù)測(cè)確診病例累計(jì)和實(shí)際確診病例累計(jì)對(duì)比圖附件附件1：SIR模型程序functionf=sorS(1)=14000000;I(1)=1;R(1)=0;na=0.126;F=19;L=19;JU=19;M(1)=1;fori=2:74%初期與爆發(fā)期ifi>=40&i<74JU=JU-0.25;endifi>=40na=na-0.01/35;%爆發(fā)期緩慢減少endS(i)=S(i-1)-na*S(i-1)*I(i-1)/14000000;%求解S，I，Rifi>L+2R(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1);elseR(i)=0;endifi>=51F=F-0.5;L=fix(F);ifF==LR(i)=S(i-L-3)-S(i-L-1);endendI(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)/14000000-R(i);t=log(abs(14000001-S(i)))/log(10);o(i)=abs(14000001-S(i));p=log(o(i)-o(i-1))/log(10);plot(i+JU-19,t,'sr'),holdon,plot(i+JU-19,t,'sr'),ifp>0.1plot(i+JU-19,p,'or'),plot(i+JU-19,p,'or')endendh=na;g(1)=17;n=1;fori=75:139%高峰期與衰減期n=n+1;ifi<80na=h-log(i-73)/35;%在高峰期急劇減少，此后為一定值endR(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1);%求解S，I，RS(i)=S(i-1)-na*S(i-1)*I(i-1)/14000000;I(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)/14000000-R(i);t=log(abs(14000001-S(i)))/log(10);o(i)=abs(14000001-S(i));p=log(o(i)-o(i-1)+1)/log(10);plot(i+JU-19,t,'sr'),plot(i+JU-19,p,'or')end附件2：時(shí)間序列程序functionsjxlX(1,:)=[9.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.6];X(2,:)=[9.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9];X(3,:)=[10.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5];X(4,:)=[11.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5];X(5,:)=[11.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.7];X(6,:)=[13.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.9];fori=1:12y(i)=0;forj=1:6y(i)=y(i)+X(j,i);endy(i)=y(i)/6;endfori=1:6%計(jì)算、和forj=1:12Z(i,j)=X(i,j)-y(j);endendfori=1:6p(i)=i-3.5;endb=0;q=0;for