三角函數(shù)yAsinx的圖象與性質(zhì)

柯橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)組何利民第四編三角恒等變換、解三角形§4.4函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)題型一作y=Asin(ωx+φ)的圖象例1、已知函數(shù)

(1)求它的振幅、周期、初相、單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；

(3)說(shuō)明的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到.題型分類深度剖析解（1）的振幅A=2,周期xx把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位,得到的圖象,再把的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象,最后把上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到的圖象.方法一“先平移，后伸縮”

將y=sinx的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位；得到的圖象；再將的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到的圖象.方法二“先伸縮，后平移”題型二三角函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用

例2

已知函數(shù)（1）求它的定義域和值域；（2）求它的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷它的奇偶性；（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期。yo41x不唯一C題型三三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性例3、已知f(x)=sinx+cosx（x∈R），函數(shù)

y=f(x+)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，則的值可以是 （）

D函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移φ（φ>0）個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱則φ的最小值為（ ） 以上都不對(duì)已知函數(shù)為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為π，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式練習(xí)、把函數(shù)的圖象向左平移a個(gè)單位,所得到的函數(shù)為偶函數(shù),則a的最小值是（）若函數(shù)的最小值為-2,周期為，且它的圖象過(guò)點(diǎn)，求此函數(shù)解析式或題型四求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的解析式(2009·遼寧理)

已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)的圖象如圖所示，，則f(0)=（）A.B.

C.D.C在已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R

(其中A>0,ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為

(1)求f(x)的解析式；

(2)當(dāng)時(shí)，求f(x)的值域.題型五函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型六三角函數(shù)的值域及最值

(12分)已知函數(shù)f(x)=2asin

的定義域?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,最小值為

-5,求a和b的值.求出2x-的范圍a>0時(shí)，利用最值求a、ba<0時(shí)，利用最值求a、b解［3分］［7分］［11分］［12分］解題示范

解決此類問(wèn)題,首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y=Asin（x+）或y=Acos（x+）的最值,再由方程的思想解決問(wèn)題.知能遷移4（2009·江西理，4）若函數(shù)f(x)=(1+tanx)·cosx,0≤x<,則f(x)的最大值為（）A.1B.2C.D.解析

B方法與技巧1.利用函數(shù)的有界性(-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1),

求三角函數(shù)的值域（最值）.2.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值.3.利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負(fù)號(hào)).4.正余弦函數(shù)的線性關(guān)系式都可以轉(zhuǎn)化為f(x)=

asinx+bcosx=

特別注意把

思想方法感悟提高5.注意sinx+cosx與cosxsinx的聯(lián)系,令t=sinx+cosx(-≤t≤)時(shí),失誤與防范1.閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題，首先要在定義域的基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問(wèn)題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響.2.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先把函數(shù)式化成形如y=Asin（x+）（>0）的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出x所在的區(qū)間.

應(yīng)特別注意，考慮問(wèn)題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間不同：3.利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)注意三角函數(shù)有界性,如:y=sin2x-4sinx+5,令t=sinx(|t|≤1),則y=(t-2)2+1≥1,解法錯(cuò)誤.一、選擇題1.（2009·福建理，1）函數(shù)f(x)=sinxcosx的最小值是（）解析∵f(x)=sinxcosx=B定時(shí)檢測(cè)2.(2009·全國(guó)Ⅰ理,8)如果函數(shù)y=3cos(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,那么|φ|的最小值為（）

解析由y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)A3.已知函數(shù)在區(qū)間［0，t］上至少取得2次最大值，則正整數(shù)t的最小值是（）

A.6B.7C.8D.9

解析C4.已知在函數(shù)f(x)=圖象上,相鄰的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)恰好在x2+y2=R2上,則f（x）的最小正周期為 （）

A.1B.2C.3D.4

解析∵x2+y2=R2，∴x∈［-R，R］.∵函數(shù)f（x）的最小正周期為2R，

D5.（2009·浙江理，8）已知a是實(shí)數(shù),則函數(shù)

f(x)=1+asinax的圖象不可能是（）解析圖A中函數(shù)的最大值小于2，故0<a<1,而其周期大于2.故A中圖象可以是函數(shù)f(x)的圖象.圖B中，函數(shù)的最大值大于2,故a應(yīng)大于1，其周期小于2,故B中圖象可以是函數(shù)f(x)的圖象.當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1,此時(shí)對(duì)應(yīng)C中圖象，對(duì)于D可以看出其最大值大于2，其周期應(yīng)小于2,而圖象中的周期大于2，故D中圖象不可能為函數(shù)f(x)的圖象.答案

D6.給出下列命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②存在實(shí)數(shù),使得③④⑤

其中正確的序號(hào)為（）

A.①③B.②④C.①④D.④⑤解析①是奇函數(shù)；②③④⑤答案

C二、填空題7.

,

.解析答案

8.（2008·遼寧理，16）已知f(x)=

且f(x)在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，則

.

解析如圖所示,答案9.關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（x∈R）,有下列命題：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整數(shù)倍；②y=f（x）的表達(dá)式可改寫為③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④y=f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

其中正確的命題的序號(hào)是

.（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）解析函數(shù)f（x）=的最小正周期T=，由相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的距離是知①錯(cuò).答案

②③三、解答題10.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-<<0)，y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線

(1)求φ；（2）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

解

11.（2008·天津文，17）已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1(x∈R,ω>0)的最小正周期是.