控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1本章的主要內(nèi)容狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立狀態(tài)矢量的線性變換從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式2§1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量：完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。狀態(tài)變量不是唯一的，相互獨立的狀態(tài)矢量：狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,

xn(t)組成的矢量X狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,

xn(t)為坐標構(gòu)成的n維空間。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式3§1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)空間表達式一般形式

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式狀態(tài)矩陣輸入〔控制〕矩陣輸出矩陣直接轉(zhuǎn)移矩陣4§1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)框圖第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式5§1.2狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖

模擬結(jié)構(gòu)圖反映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，有利于建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式.繪制狀態(tài)空間表達式框圖的步驟：

1.積分器的數(shù)目等于狀態(tài)變量的數(shù)目；

2.每個積分器的輸出表示相應的狀態(tài)變量；

3.根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應的加法器和比例器；

4.用箭頭將這些元件連接起來。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式6例如一階標量微分方程三階微分方程第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式7§1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立由系統(tǒng)框圖建立，根據(jù)系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應的狀態(tài)空間表達式從系統(tǒng)的機理出發(fā)進行推導由描述系統(tǒng)的高階微分方程或者傳遞函數(shù)演化第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式8從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達式步驟將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)變換成相應的模擬結(jié)構(gòu)圖把每個積分器的輸出選做一個狀態(tài)變量積分器輸入是狀態(tài)變量的導數(shù)由模擬圖直接寫出狀態(tài)方程和輸出方程第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式9從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達式Step1:

變換成模擬結(jié)構(gòu)圖第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式例如10從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達式Step2&3:

選擇狀態(tài)變量及其導數(shù)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式11從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達式Step4:

列出方程第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式狀態(tài)方程輸出方程12從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達式寫成矢量形式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式狀態(tài)方程輸出方程13從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式14從系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式15從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立例如：輸入為電流源，輸出為電容上的電壓2個電容，2個電感。共4個儲能元件，4個獨立狀態(tài)變量由基爾霍夫定律電流電壓第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式16從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立消去非獨立變量i3和i4得采用第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式17從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式18由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式傳遞函數(shù)→狀態(tài)空間表達式稱作實現(xiàn)問題。只討論最小實現(xiàn)通過例如總結(jié)出步驟第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式19傳遞函數(shù)分子為1時例1

對應的輸入輸出關(guān)系是

應用拉普拉斯反變換，對應的微分方程為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式20傳遞函數(shù)分子為1時模擬圖為定義每一個積分器的輸出為新變量：第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

a2a1a0---uy+21傳遞函數(shù)分子為1時對應的狀態(tài)空間表達式特點：輸入矩陣的最后一個元素是1，其它為零；輸出矩陣的第一個元素為1，其它為零；狀態(tài)矩陣的最后一行由傳遞函數(shù)分母多項式系數(shù)決定，從低次冪系數(shù)到高次冪系數(shù)排列，并加負號，直接轉(zhuǎn)移矩陣為零。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式22傳遞函數(shù)分子為1時

將此例子推廣到一般情形對應的狀態(tài)空間表達式是友矩陣特點是主對角線上方的元素為1，最后一行的元素可取任意值，其余元素均為零。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式23傳遞函數(shù)分子不為1時例2方法一：對應的輸入輸出關(guān)系是

應用拉普拉斯反變換，對應的微分方程為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式24傳遞函數(shù)分子不為1時

a2a1a0---uy+b0模擬結(jié)構(gòu)圖第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式25傳遞函數(shù)分子不為1時狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式26傳遞函數(shù)分子不為1時方法二：系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系

令那么有

經(jīng)過拉氏反變換得第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式27傳遞函數(shù)分子不為1時

a2a1a0---uy1+b0y第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式28傳遞函數(shù)分子不為1時狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式29傳遞函數(shù)分子不為1時例3因為n=m,上式可變換為

令那么有經(jīng)過拉氏反變換得第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式30傳遞函數(shù)分子不為1時

a2a1a0---uy1+b0-a0b3y第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式b3b2-a2b3b1-a1b3+++系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖為+31傳遞函數(shù)分子不為1時系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式32傳遞函數(shù)分子不為1時由此例子推廣到一般的情形系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式33傳遞函數(shù)分子不為1時系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式思考：與分子為1時表達式的異同第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式34由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式總結(jié)：傳遞函數(shù)導出狀態(tài)空間方程的步驟1.通過長除法將傳遞函數(shù)的分子多項式次數(shù)化成低于分母多項式次數(shù)；2.考慮分子多項式為1的特殊傳遞函數(shù)；3.擴展到分子不為1為多項式的傳遞函數(shù)，分解為兩個環(huán)節(jié)的串聯(lián)。處理的根本思想是：思路一：第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式35由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式〔思路二〕U(s)Y(s)U(s)Y(s)Y1(s)狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式36由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式式中或記為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式37狀態(tài)空間表達式建立例題第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式38num=[0012]den=[1573][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)利用matlab進行系統(tǒng)模型間的互換39§1.5狀態(tài)矢量的線性變換

---------坐標變換系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性

如果選取的系統(tǒng)狀態(tài)變量不同，對應的狀態(tài)空間表達式是不同的。實際上，狀態(tài)矢量之間是一種線性變換關(guān)系。給定系統(tǒng)為：

我們總可以找到任意一個非奇異矩陣T將原狀態(tài)矢量x作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量z，設變換關(guān)系為：即第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式40系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性得到新的狀態(tài)空間表達式T為變換矩陣，由于T為任意非奇異陣，故狀態(tài)空間表達式也是非唯一的。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式將x=Tz代入狀態(tài)空間表達式41例4

某系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為〔1〕取變換陣為，即那么變換后的矢量為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式42在這個狀態(tài)變量下，變換后的狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式43〔2〕取變換陣為，即那么變換后的矢量為在這個狀態(tài)變量下，變換后的狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式44特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量系統(tǒng)特征值：系統(tǒng)矩陣A的特征值，也就是方程：的根。nn方陣A有n個特征值，A為實數(shù)矩陣，特征值為實數(shù)，或者成共軛復數(shù)；如果A為是對稱陣，那么其特征值都是實數(shù)。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式45特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量經(jīng)過非奇異變換后，系統(tǒng)的特征值不變

系統(tǒng)的不變量：特征多項式的系數(shù)原因：特征值由特征多項式系數(shù)決定特征矢量：與線性代數(shù)概念相同第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式46狀態(tài)空間表達式變換為約旦標準型問題是將變換為：根據(jù)系統(tǒng)矩陣A求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標準型矩陣J第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式約旦(Jordan)陣47約旦標準型矩陣JA的特征值無重根時第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式48約旦標準型矩陣JA的特征值有重根時(q個

1重根)49狀態(tài)空間表達式變換為約旦標準型一般步驟：根據(jù)A計算特征值

i由特征值

i計算特征矢量Pi由Pi構(gòu)造變換矩陣T由

i構(gòu)造J由J和T構(gòu)造約旦標準型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式50Case1:A為任意形式〔一〕A的特征值無重根時設是A的個互異特征根，根據(jù)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式求出A的特征矢量那么變換矩陣由A的特征矢量

構(gòu)成，即51Case1:A為任意形式A的特征值無重根時例如第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式52設A的特征根有q個1重根，其余(n-q)個根為互異根，那么變換矩陣T的計算公式如下Case1:A為任意形式〔二〕A的特征值有重根時(q個

1重根)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式其中是對應于〔n-q〕個單根的特征矢量。53Case1:A為任意形式對應于q個

1重根的矢量的求得，應根據(jù)下式計算：第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式P1仍為

1對應的特征矢量，其余則稱為廣義特征矢量。54Case2:A為標準型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式55Case2:A為標準型A的特征值無重根時第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式T是一個范德蒙德(Vandermonde)矩陣56Case2:A為標準型A的特征值有重根時(以3個

1重根為例)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式57例如Case2:A為標準型A的特征值有重根時(q個

1重根)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式58系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：具有互異特征根的情況，傳遞函數(shù)可寫成第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式59系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)對應的模擬結(jié)構(gòu)圖為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式60系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式61系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)具有重根的情況：設A的特征根有q個1重根，其余〔n-q〕個根為互異根。傳遞函數(shù)可展開為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式62系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)相應的模擬結(jié)構(gòu)圖為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式63系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)狀態(tài)空間表達式為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式64§1.6從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)〔單輸入單輸出系統(tǒng)〕系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：

在零初始條件下，進行拉氏變換可得U-Y間的傳遞函數(shù)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式65傳遞函數(shù)〔多輸入多輸出系統(tǒng)〕系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：

在零初始條件下，進行拉氏變換可得第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式66根據(jù)U和Y之間的傳遞函數(shù)為同一系統(tǒng)，盡管狀態(tài)空間表達式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但是傳遞函數(shù)陣是不變的。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式67傳遞函數(shù)的唯一性證明系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為對系統(tǒng)進行線性變換后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式68傳遞函數(shù)的唯一性證明對應的傳遞函數(shù)為第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式69子系統(tǒng)在各種連接時的傳遞函數(shù)實際的控制系統(tǒng)，往往由多個子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反響連接。以兩個系統(tǒng)為例，推導等效的傳遞函數(shù)陣。設系統(tǒng)1為：系統(tǒng)2為70系統(tǒng)1和系統(tǒng)2并聯(lián)連接u1=u2,y=y1±y2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為71系統(tǒng)1和系統(tǒng)