投影作圖基礎(chǔ)

第2章 投影作圖根底【知識(shí)目標(biāo)】熟悉投影的定義及方法，掌握三視圖的畫法。熟悉根本體視圖的畫法及尺寸標(biāo)注方法；了解切割體的截交線的畫法及相貫體的相貫線的畫法?！炯寄苣繕?biāo)】能熟練正確地繪制出形體的三視圖；能熟練地繪制出平面體及回轉(zhuǎn)體的三視圖并標(biāo)注尺寸；學(xué)會(huì)截交線和相貫線的畫法。工程圖樣是采用投影法繪制的，學(xué)習(xí)并掌握投影的根本原理，對(duì)于畫圖、看圖具有極其重要的指導(dǎo)意義。下面我們從投影的根本原理入手，學(xué)習(xí)各類形體三視圖的畫法。2.1投影法與三視圖【知識(shí)目標(biāo)】熟悉投影的根本方法及正投影的特性，掌握三視圖的投影規(guī)律及其畫法?！炯寄苣繕?biāo)】能熟練地用正投影法繪制三視圖。2.1.1投影法【知識(shí)要點(diǎn)】1.投影法的概念在日常生活中，人們看到太陽光或燈光照射物體時(shí)，在地面或墻壁上出現(xiàn)物體的影子，這就是一種投影現(xiàn)象。如圖2.1所示，我們把光線SA稱為投射線；地面或墻壁P面稱為投影面；影子a稱為物體在投影面上的投影。人們對(duì)這類現(xiàn)象加以抽象概括，總結(jié)出其中規(guī)律建立了投影法。投影法是根據(jù)投射線通過物體，向選定的投影面投射，并在該面上得到圖形的方法。圖2.1投影法的概念2.投影法的分類

工程上常用的投影法分為兩大類:中心投影法和平行投影法?！?〕中心投影法如圖2.2〔a〕所示，設(shè)S為投射中心，通過ABC上各點(diǎn)的投射線SA、SB、SC與投影面的交點(diǎn)a、b、c，稱為點(diǎn)在平面上的投影。這種投射線都通過投射中心的投影法稱為中心投影法。日常生活中，照相、電影和人眼看東西得到的影像，都屬于中心投影。由于用中心投影法繪制的圖形符合人們的視覺習(xí)慣，立體感強(qiáng)，因而常用來繪制建筑物的透視圖。但由于它作圖復(fù)雜，且度量性差，故機(jī)械圖樣中很少采用。我們規(guī)定用大寫字母表示空間點(diǎn)，而用小寫字母表示相應(yīng)空間點(diǎn)的投影。2.2〔a〕中心投影法〔2〕平行投影法如圖2.2〔b〕、〔c〕所示，如果將投射中心移至無窮遠(yuǎn)處，這時(shí)所有的投射線都互相平行。這種用互相平行的投射線對(duì)物體進(jìn)行投射的方法，稱為平行投影法。用平行投影法作出的投影稱為平行投影。2.2(c)正投影2.2(b)斜投影平行投影法又根據(jù)投射線與投影面垂直與否分為斜投影法與正投影法。①斜投影法投射線或投射方向與投影面傾斜的平行投影法稱為斜投影法。用斜投影法作出的投影叫做斜投影，如圖2.2〔b〕所示。②正投影法投射線或投射方向與投影面垂直的平行投影法稱為正投影法。用正投影法作出的投影叫做正投影，如圖2.2〔c〕所示。由于應(yīng)用正投影法能在投影面上較準(zhǔn)確地表述空間物體的形狀和大小，而且作圖也比較簡便，因此在工程上應(yīng)用很廣泛。繪制工程圖樣主要采用正投影法，這里我們主要介紹正投影法。今后凡未作特殊說明的投影，均指正投影。3.正投影法的根本性質(zhì)(1)同素性點(diǎn)的投影是點(diǎn)，如圖2.1所示；直線的投影一般仍是直線，如圖2.3所示；平行投影所具有的這一性質(zhì)稱為同素性。圖2.1投影法的概念

圖2.3直線的投影仍然為直線

(2) 附屬、定比性不變、定比性是平行投影的不變性。如圖2.4所示，假設(shè)點(diǎn)在直線上，那么該點(diǎn)的投影在該直線的同名投影上，且點(diǎn)分線段的比值一定等于點(diǎn)的投影分線段投影的比值，即點(diǎn)對(duì)直線的附屬圖2.4附屬定比性(3)平行性不變

如圖2.5所示，假設(shè)空間兩直線相互平行那么兩直線的同名投影一般仍相互行。圖2.5平行性不變(4)真實(shí)性

如圖2.6所示，當(dāng)直線或平面平行于投影面時(shí),直線的投影反映實(shí)長，平面的投影反映實(shí)形，這種投影特性稱為真實(shí)性。圖2.6真實(shí)性

〔5〕積聚性

如圖2.7所示，當(dāng)直線或平面垂直于投影面時(shí)，直線的投影積聚成點(diǎn)，平面的投影積聚成直線，這種投影特性稱為積聚性。圖2.7積聚性〔6〕類似性

如圖2.8所示，當(dāng)直線或平面傾斜(既不平行、也不垂直)于投影面時(shí)，直線的投影仍然是直線，但長度縮短，平面的投影是原圖形的類似形，但投影面積變小，這種投影特性稱為類似性。圖2.8類似性

2.1.2三視圖【知識(shí)要點(diǎn)】根據(jù)有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)定，用正投影法所繪制出物體的圖形，稱為視圖，如圖2.9〔a〕所示。在正投影中，用一個(gè)視圖一般只能反映出物體一個(gè)方向的形狀，而不能確定物體的形狀和大小。如圖2.9〔b〕、〔c〕所示，兩個(gè)形狀不同的物體，在同一個(gè)投影面上的投影形狀完全相同。為了確切地表達(dá)物體的形狀，必須增加由不同投射方向，在不同的投影面上所得到的幾個(gè)視圖，只有他們之間的互相補(bǔ)充，才能把物體表達(dá)清楚，通常采用三面視圖來表示物體的形狀。(a)〔b〕

〔c〕圖2.9視圖1. 三視圖的形成過程〔1〕三面投影體系的建立為了表達(dá)物體的形狀，通常設(shè)有三個(gè)互相垂直的平面把空間分成八個(gè)局部，每個(gè)局部稱為一個(gè)分角，如圖2.10所示。將機(jī)件置于第一分角內(nèi)進(jìn)行投影的方法稱為第一角投影法；將機(jī)件置于第三分角內(nèi)進(jìn)行投影的方法稱為第三角投影法。我國國標(biāo)規(guī)定：機(jī)件的圖樣采用第一角投影法。在第一分角內(nèi)，三個(gè)相互垂直相交的平面即構(gòu)成三投影面體系，如圖2.11所示；圖2.10空間八個(gè)分角圖2.11三投影面體系三個(gè)投影面分別為：直立在觀察者正對(duì)面的投影面叫正立投影面，簡稱正面，用V表示；右側(cè)放置的投影面叫側(cè)立投影面，簡稱側(cè)面，用W表示。水平位置放置的投影面叫水平投影面，簡稱水平面，用H表示；三個(gè)投影面之間的交線稱為投影軸；V面與H面的交線稱為OX軸(簡稱X軸)，它代表長度方向；H面與W面的交線稱為OY軸(簡稱Y軸)，它代表寬度方向；0Z軸(簡稱Z軸)，是V面與W面的交線，它代表高度方向。三根投影軸相互垂直，其交點(diǎn)0稱為原點(diǎn)。〔2〕三視圖的形成將物體置于三投影面體系中，如圖2.12〔a〕所示，按正投影法分別向三個(gè)投影面投射，由前向后投射在V面上得到的視圖稱為主視圖；由上向下投射在H面上得到的視圖，稱為俯視圖；由左向右投射在W面上得到的視圖，稱為左視圖。圖2.12三視圖的形成〔a〕〔3〕三投影面的展開為了在同一張圖紙上畫出三個(gè)視圖，需將三個(gè)投影面展開到同一平面上，其展開方法如下:V面不動(dòng)；H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°；W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°，轉(zhuǎn)到與V面處于同一平面上，如圖2.12〔b〕、〔c〕所示。由于視圖所表達(dá)的物體形狀與投影面的大小、投影面之間的距離無關(guān)，所以工程圖樣上常不畫出投影面的邊界和投影軸，如圖2.12〔d〕所示，這種畫法稱為無軸畫法。(c)〔b〕〔d〕2.12三視圖的形成〔1〕位置關(guān)系以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖配置在它的正下方，左視圖配置在它的正右方，如圖2.12〔d〕所示。畫三視圖時(shí)必須按上述關(guān)系排列三視圖的位置，叫做按投影關(guān)系配置視圖。2.三視圖的關(guān)系及投影規(guī)律〔2〕尺寸關(guān)系物體有長、寬、高三個(gè)方向的尺寸，每個(gè)視圖都反映物體兩個(gè)方向的尺寸，即主視圖反映長度和高度，俯視圖反映長度和寬度，左視圖反映寬度和高度。這樣，相鄰兩個(gè)視圖同一方向的尺寸應(yīng)相等，即主、俯視圖長度相等，且對(duì)正；主、左視圖高度相等，且平齊；俯、左視圖寬度相等。三視圖之間“長對(duì)正、高平齊、寬相等〞的“三等〞關(guān)系，揭示了物體各視圖之間的內(nèi)在聯(lián)系，即三視圖的投影規(guī)律。各視圖不僅整體上要滿足這一投影規(guī)律，而且每個(gè)視圖中各局部都必須符合這一投影規(guī)律。在畫圖、看圖時(shí)要嚴(yán)格遵守這一投影規(guī)律，如圖2.13所示。〔a〕總的長、寬、高尺寸關(guān)系

〔b〕立板的尺寸關(guān)系〔c〕底板的尺寸關(guān)系

圖2.13三視圖之間的長、寬、高的尺寸關(guān)系

〔3〕方位關(guān)系 所謂方位關(guān)系，是指以觀察者面對(duì)正面(即主視圖的投射方向)為準(zhǔn)來觀察物體，確定物體的上、下、左、右、前、后六種方位，如圖2.14所示。主視圖反映物體的上、下和左、右關(guān)系。俯視圖反映物體的左、右和前、后關(guān)系。左視圖反映物體的上、下和前、后關(guān)系?！咎崾尽扛⒆笠晥D靠近主視圖的一側(cè)(里邊)，表示物體的后面；遠(yuǎn)離主視圖的一側(cè)(外邊)，表示物體的前面。圖2.14三視圖的方位關(guān)系

(a)〔b〕3.畫三視圖的方法步驟根據(jù)物體(或軸測(cè)圖)畫三視圖時(shí)，首先應(yīng)分析物體的形狀，將物體的位置放正(使其主要外表與投影面平行)，選擇反映物體形狀特征最明顯的方向作為主視圖的投射方向。再確定圖紙幅面和繪圖比例，最后繪制三視圖。作圖時(shí)，一般先畫出三個(gè)視圖的作圖基準(zhǔn)線，再從主視圖入手，按正投影法分別向各投影面投射，根據(jù)“長對(duì)正、高平齊、寬相等〞的投影規(guī)律，依次畫出各局部的視圖。注意：畫圖過程中，應(yīng)幾個(gè)視圖配合著畫，各局部應(yīng)從反映特征的視圖畫起?！竟こ虒?shí)訓(xùn)】

根據(jù)軸測(cè)圖，如圖2.15所示，畫出三視圖。具體步驟如下：〔1〕將物體放正，選擇主視圖的投射方向，如圖2.15〔a〕所示?！?〕畫底板，從反映特征的俯視圖入手，畫出底板的三視圖，如圖2.15〔b〕所示?！?〕畫左后立板，從反映特征的主視圖入手，畫左后立板的三視圖，如圖2.15〔c〕所示。〔4〕畫右前立板，從反映特征的主視圖入手，畫出右前立板的三視圖，如圖2.15〔d〕所示?！?〕加深完成形體的三視圖,如圖2.15〔e〕所示。(a)軸測(cè)圖圖(b)畫底板(e)完成形體的三視圖(c)畫左后立板(d)畫右前立板

2.15三視圖的畫圖步驟

作圖過程中用丁字尺保證高相等，用三角板與丁字尺保證長對(duì)正，而保證寬度相等的三種方法：用直尺、分規(guī)或45°斜線等，如圖2.16所示?！瞐〕用直尺〔b〕用分規(guī)〔c〕用45°斜角線圖2.16保證寬相等的方法【工程訓(xùn)練】【訓(xùn)練1】參照軸測(cè)圖，在三視圖中填寫物體的方位，如圖2.17所示?！居?xùn)練2】看懂三視圖，補(bǔ)齊視圖中所缺的圖線，如圖2.18所示。【訓(xùn)練3】根據(jù)軸測(cè)圖，畫出形體的三視圖，如圖2.19所示?！瞐〕(b)(a)(b)(a)(b)圖2.17參照軸測(cè)圖填寫物體的方位圖2.18補(bǔ)齊視圖中所缺的圖線圖2.19根據(jù)形體的軸測(cè)圖畫三視圖2.2根本體的視圖及尺寸標(biāo)注【知識(shí)目標(biāo)】掌握平面體和回轉(zhuǎn)體三視圖的畫法及尺寸標(biāo)注的方法。熟悉根本體外表取點(diǎn)的方法?！炯寄苣繕?biāo)】能熟練地繪制各類根本體的三視圖，并在其外表取點(diǎn)和標(biāo)注尺寸。平面體和回轉(zhuǎn)體的視圖畫法及其外表取點(diǎn)的方法【知識(shí)要點(diǎn)】機(jī)械零件一般都是由根本體組成，而根本體根據(jù)其外表的幾何性質(zhì)可分為兩大類：平面體——外表由假設(shè)干平面構(gòu)成，如棱柱、棱錐等；曲面體——外表由曲面或平面和曲面構(gòu)成，如圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)等。而熟練地掌握根本體視圖的繪制與閱讀為復(fù)雜形體視圖的表達(dá)打下良好的根底。1.平面體我們這里主要介紹棱柱和棱錐三視圖的畫法及外表取點(diǎn)的方法?！?〕棱柱和棱錐的三視圖畫法〔以正六棱柱,如圖2.20所示和正三棱錐，如圖2.21所示為例〕圖2.20正六棱柱的投影圖2.21正三棱錐的投影表2.1正六棱柱和正三棱錐的三視圖畫法見課本表2.2正六棱柱和正三棱錐的外表取點(diǎn)方法見課本〔2〕棱柱和棱錐的外表取點(diǎn)〔以六棱柱和三棱錐為例，如表2.2所示〕2.回轉(zhuǎn)體〔1〕圓柱、圓錐、圓球的三視圖畫法〔如表2.3所示〕〔2〕圓柱、圓錐、圓球的外表取點(diǎn)〔如表2.4所示〕表2.3圓柱、圓錐、圓球的三視圖的畫法見課本表2.4圓柱、圓錐、圓球的的外表取點(diǎn)方法見課本【工程實(shí)訓(xùn)】1.物體的主、俯視圖，補(bǔ)畫左視圖，如圖2.22〔a〕所示。分析：從物體的主、俯視圖(參照立體圖)可想像出，物體由兩局部組成:下部為四棱柱，上部為被垂直于正面的平面左右各切去一角的三棱柱，三棱柱的棱線垂直于側(cè)面，它的一個(gè)側(cè)面與四棱柱的頂面重合。作圖：〔1〕如圖2.22〔b〕所示，先補(bǔ)畫出下部四棱柱的左視圖?！?〕作三棱柱上面中間棱線的側(cè)面投影。由于該棱線垂直于側(cè)面，其側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)(在圖形中間)，過該點(diǎn)與矩形兩端點(diǎn)連線，即完成左視圖，如圖2.22〔c〕所示。注意:左視圖上的三角形為三棱柱左、右兩個(gè)斜面(垂直于正面)在側(cè)面上的投影；兩條斜線為三棱柱前、后兩個(gè)棱面(垂直于側(cè)面)的積聚性投影。(a)(b)(c)圖2.22主、俯視圖，補(bǔ)畫左視圖【工程實(shí)訓(xùn)】1.物體的主、俯視圖，補(bǔ)畫左視圖，如圖2.22〔a〕所示。分析：從物體的主、俯視圖(參照立體圖)可想像出，物體由兩局部組成:下部為四棱柱，上部為被垂直于正面的平面左右各切去一角的三棱柱，三棱柱的棱線垂直于側(cè)面，它的一個(gè)側(cè)面與四棱柱的頂面重合。作圖：〔1〕如圖2.22〔b〕所示，先補(bǔ)畫出下部四棱柱的左視圖?！?〕作三棱柱上面中間棱線的側(cè)面投影。由于該棱線垂直于側(cè)面，其側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)(在圖形中間)，過該點(diǎn)與矩形兩端點(diǎn)連線，即完成左視圖，如圖2.22〔c〕所示。注意:左視圖上的三角形為三棱柱左、右兩個(gè)斜面(垂直于正面)在側(cè)面上的投影；兩條斜線為三棱柱前、后兩個(gè)棱面(垂直于側(cè)面)的積聚性投影。(a)(b)(c)圖2.22主、俯視圖，補(bǔ)畫左視圖2.：如圖2.23所示，由點(diǎn)N、K的V面投影n′、k′，求另外兩面的投影可知，K點(diǎn)位于球體的下、后由于N點(diǎn)在前半球和后半球的分界圓上，故N點(diǎn)的正面和側(cè)面投影可直接作出；而由K點(diǎn)的正面投影半球，可利用輔助平面法求出。作圖：由n'別向水平和側(cè)面投影，在水平中心線上得n點(diǎn)，側(cè)面中心線上得n"。過〔k'〕點(diǎn)作正平面的投影圓，并在水平投影作出其對(duì)應(yīng)的直線投影，并求出水平投影〔k〕，再利用點(diǎn)的投影規(guī)律求出側(cè)面投影〔k"〕。分析：圖2.23圓球外表上取點(diǎn)【工程訓(xùn)練】1.如圖2.24所示，根據(jù)立體的兩面投影補(bǔ)畫第三面投影，并求出立體外表上點(diǎn)的其余投影。圖2.24補(bǔ)畫第三投影并求立體外表上點(diǎn)的其余投影(a)(b)2.如圖2.25所示，根據(jù)立體圖，用1：1的比例畫三視圖〔a〕〔b〕圖2.25形體的立體圖平面體和回轉(zhuǎn)體的尺寸標(biāo)注【知識(shí)要點(diǎn)】視圖只能表示形體的形狀，而形體的各局部的形狀大小及其相對(duì)位置必須由標(biāo)注的尺寸來確定。尺寸標(biāo)注的根本要求是：正確、齊全和清晰。正確是指符合國家制圖標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定；齊全是指標(biāo)注尺寸既不遺漏，也不重復(fù)；清晰是指尺寸書寫要清晰。熟悉并掌握根本體的尺寸標(biāo)注方法是學(xué)好后繼課程的根底。表2.5常用根本體的尺寸標(biāo)注見課本【工程實(shí)訓(xùn)】1.標(biāo)注如圖2.26〔a〕〔c〕所示被切圓柱體、圓球的尺寸。分析：既要標(biāo)注圓柱體的定形尺寸，又要標(biāo)注〔a〕圖的切槽的定位和定形尺寸，及〔c〕圖的定位尺寸。標(biāo)注結(jié)果如圖〔b〕和〔d〕所示圖2.26被切回轉(zhuǎn)體的尺寸標(biāo)注

〔a〕(b)(c)(d)【工程訓(xùn)練】1.補(bǔ)全如圖2.27所示以下圖形中的尺寸〔數(shù)值從圖中量取〕圖2.27補(bǔ)齊形體的尺寸〔a〕(b)(c)2.補(bǔ)全如圖2.28所示以下圖形中的尺寸〔數(shù)值從圖中量取〕(a)(b)(c)圖2.28補(bǔ)齊形體的尺寸2.3截交線【知識(shí)目標(biāo)】熟悉各種形體被平面截切的截交線的形狀，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓球的各種形狀截交線的畫法,了解同軸復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線的畫法?！炯寄苣繕?biāo)】能熟練利用各種方法繪制圓柱、圓錐、圓球的各種形狀截交線,并能繪制同軸復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線。如圖2.29所示，截切根本幾何體的平面稱為截平面；立體被截切后的斷面稱為截?cái)嗝妫唤仄矫媾c根本幾何體外表所產(chǎn)生交線稱為截交線。由于立體的幾何性質(zhì)不同、截平面的數(shù)量及截平面與立體相交位置的不同，那么產(chǎn)生的截交線形狀也不同。但截交線都具有以下兩個(gè)根本性質(zhì):〔1〕共有性截交線是截平面和立體外表的共有線，截交線上的點(diǎn)是兩相交面的共有點(diǎn)。〔2〕封閉性截交線是一封閉的平面圖形。圖2.29平面截切根本幾何體求作截交線就是求出截平面與立體外表一系列共有點(diǎn)，再按順序依次連接各共有點(diǎn)即可。常用求作截交線的方法有以下四種:(1)交點(diǎn)法求出立體外表上直線與截平面的交點(diǎn)，連接交點(diǎn)即可。(2)外表取點(diǎn)法利用立體外表的某投影具有積聚性的特點(diǎn)求解?！?〕輔助線法在立體外表上作輔助素線及輔助緯圓求解。(4)輔助平面法借助輔助平面與立體外表及截平面相交求解，又稱為三面共點(diǎn)法。平面體的截交線【知識(shí)要點(diǎn)】截平面與平面立體相交時(shí)，因平面立體的外表均是平面圖形，所以產(chǎn)生的截交線是由直線段所組成的封閉的平面多邊形，該多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)是截平面與平面立體各棱線的交點(diǎn)，多邊形的每一條邊是平面立體的棱面與截平面的交線。平面與平面立體相交的截交線求法可歸結(jié)為兩種:(1)求平面立體棱線與截平面的交點(diǎn)，順次連接各交點(diǎn)，即得截交線，這種方法稱線面交點(diǎn)法。(2)求截平面與平面立體外表的交線，這種方法稱面面交線法。截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。我們主要以特殊位置截平面為例說明求解平面立體截交線的方法和步驟?！竟こ虒?shí)訓(xùn)】1.四棱錐SABCD被正垂面P切割，求其截交線的投影，如圖2.30〔a〕所示。分析:由圖2.30(a)可知，截平面P與四棱錐的四個(gè)側(cè)外表相交，截交線為四邊形。四邊形的頂點(diǎn)1、2、3、4分別是四條棱線SA、SB、SC、SD與截平面P的四個(gè)交點(diǎn)。由于平面P是正垂面，它的V面投影積聚為一條直線，故截交線的V面投影積聚為直線段，可直接求出；然后由其V面投影求出W面的投影，再由V、W面投影確定其H面投影。

(a)圖2.30用線面交點(diǎn)法求截交線作圖步驟:如圖2.30〔b〕所示。(1) 直接標(biāo)出四條棱線與P平面四個(gè)交點(diǎn)的V面投影1′、2′、3′、4′；(2)根據(jù)直線上點(diǎn)的投影性質(zhì)，由V面投影求出交點(diǎn)的W面投影1"、2"、3"、4"，由V、W兩投影再求出四個(gè)交點(diǎn)的H投影1、2、3、4；(3)順序連接四個(gè)交點(diǎn)的同面投影，即得截交線的各投影；(4)判別可見性并整理輪廓，圖中四棱錐的上部被P平面切去，因而截交線的三個(gè)投影均可見，棱線SC的W面投影為不可見棱線，畫為虛線。(b)圖2.30用線面交點(diǎn)法求截交線2.求P、Q兩平面與三棱錐SABC相交的截交線的投影分析:由圖2.31(a)可見，正垂面P與三棱錐的兩側(cè)外表SAB和SAC相交于兩段直線12和13水平面Q也與兩側(cè)外表SAB和SAC相交于水平線24和34，它們分別與三棱錐底面的邊AB和AC平行，即24和34的方向，只要求出點(diǎn)4的投影，就可求出點(diǎn)2、3的投影。P、Q兩截平面相交于直線23。點(diǎn)1和點(diǎn)4位于SA棱線上，其V面投影和，由V面投影可直接求出其H、W投影1、1“和4、4〞；2、3兩點(diǎn)可采用先求水平面上點(diǎn)的方法，由V投影2'、(3')求出其H、W投影2、2"和3、3"。(a)圖2.31面面交線法求平面體的截交線如圖2.31所示作圖步驟：如圖2.31〔b〕所示:

(1)直接標(biāo)出P、Q兩平面與SA棱線交點(diǎn)的V面投影1'、4'，以及P、Q兩平面交線的V面投影。并直接求出1、4，及1"和4"；

(2)在H面投影面上，作42∥ab、34∥ac，由V面投影、(3")點(diǎn)向下引垂線，求出H面投影點(diǎn)2和3；

(3)再由2、2'求出2"，由3、3'求出3"；

(4)順序連接各點(diǎn)的同面投影，即得截交線的投影；

(5)判斷可見性，P、Q兩平面交線的H面投影23為不可見，畫成虛線；其他交線可見，畫成粗實(shí)線。

(b)圖2.31面面交線法求平面體的截交線【工程訓(xùn)練】1. 求作被正垂面截切后四棱臺(tái)的三視圖，如圖2.32所示。(a)(b)圖2.32求作四棱臺(tái)的截交線2.根據(jù)主、左視圖，補(bǔ)畫俯視圖，如圖2.33所示。圖2.33補(bǔ)畫被截四棱柱臺(tái)的俯視圖回轉(zhuǎn)體的截交線【知識(shí)要點(diǎn)】平面與曲面立體相交時(shí)，所產(chǎn)生的截交線的形狀通常是一條封閉的平面曲線，或是由截平面上的曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。截交線是截平面和曲面立體外表的共有線，截交線上的點(diǎn)是它們的共有點(diǎn)，截交線的形狀取決于曲面立體的幾何性質(zhì)及其與截平面的相對(duì)位置。當(dāng)截平面為特殊位置平面時(shí)，截交線的投影就積聚在截平面具有積聚性的投影上，可用在曲面立體外表上取點(diǎn)、取線的方法求作截交線。取點(diǎn)時(shí)，首先要在截交線上取能確定其形狀范圍的特殊點(diǎn)，主要是曲面投影的轉(zhuǎn)向線上的點(diǎn)，截交線在對(duì)稱軸上的頂點(diǎn)，橢圓長短軸的端點(diǎn)以及最高、最低、最左、最右、最前、最后點(diǎn)等。求作曲面立體的截交線時(shí)，通常先作出這些特殊點(diǎn)，然后按需要再作一些一般點(diǎn)，最后連接各點(diǎn)的同面投影，并判別可見性。1.圓柱、圓錐、圓球的截交線如表2.6、2.7、2.8所示。表2.6截平面和圓柱軸線的相對(duì)位置不同時(shí)所得的三種截交線見課本表2.7截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同時(shí)所得的幾種截交線見課本表2.8圓球的截交線見課本*2.同軸復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線同軸復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線是組成該回轉(zhuǎn)體所有根本體截交線的組合，求截交線的方法為：〔1〕分析該立體是由哪些回轉(zhuǎn)體組成的；〔2〕分析各根本體的截交線的形狀并求解；〔3〕正確連接截交線并描深?！竟こ虒?shí)訓(xùn)】1.求如圖2.34〔a〕所示圓柱截?cái)囿w的投影分析：圓柱的截?cái)嗝鏋闄E圓，其正面投影積聚成一斜線，水平投影與圓柱面投影重合，僅需求出側(cè)面投影即可。作圖步驟：(1)求特殊點(diǎn)對(duì)于橢圓應(yīng)求出長、短軸的四個(gè)端點(diǎn)。這四點(diǎn)的正面投影分別是1'、3'、4'、〔5'〕，水平投影是1、3、4、5，根據(jù)投影關(guān)系可求出側(cè)面投影1"、3"、4"、5"。(2)求一般點(diǎn)作圖時(shí)，在投影為圓的視圖上取適當(dāng)數(shù)量的一般點(diǎn)，如2、6點(diǎn)等，根據(jù)投影關(guān)系可求出正面投影2'、6'和側(cè)面投影2"、6"，如圖2.34(b)所示。(3)畫截交線依次光滑地連接l"、2"、3"、4"、5"、6"各點(diǎn)，即得左視圖中的截交線——橢圓。(4)判斷可見性，完成輪廓線，描深完成全圖如圖2.34(c)所示。(a)(b)(c)圖2.34圓柱的截交線2.如圖2.35〔a〕所示，圓柱被兩個(gè)截平面P、Q截切，主視圖和俯視圖，求左視圖。分析:截平面P為側(cè)平面，與圓柱面的軸線平行，與圓柱面的交線為兩條與圓柱軸線平行的直線，其正面投影積聚在p'上，水平投影積聚在圓上。截平面Q為正垂面，與圓柱面的軸線傾斜，交線為一段橢圓弧，其正面投影積聚在q'上，水平投影積聚在圓上。同時(shí),P與Q的交線為一條正垂線。作圖步驟:如圖2.35(b)所示，先求出截平面P與圓柱的截交線,正面和水平投影均為直線，側(cè)面投影為一矩形；再求出Q面與圓柱面的截交線，正面投影積聚為一直線，水平投影積聚到圓上，側(cè)面投影為一橢圓弧，分別求出特殊點(diǎn)和一般位置點(diǎn)。注意:不要漏畫兩截平面交線的側(cè)面投影b"d"。(a)(b)(c)(d)(e)圖2.35圓柱體被兩平面截切3.用輔助素線法，求圖2.36(a)所示圓錐的截交線。分析：截交線上任一點(diǎn)M，可看成是圓錐外表某一素線SⅠ與截平面P的交點(diǎn)。因M點(diǎn)在素線SI上，故M點(diǎn)的三面投影分別在該素線的同面投影上。由于截平面P為正垂面，截交線的正面投影積聚為一直線，故需求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。圖2.36用輔助素線法求圓錐的截交線(a)作圖步驟:

(1)求特殊點(diǎn)C為最高點(diǎn)，根據(jù)c'，可求出c及c"。A為最低點(diǎn)，根據(jù)a'，可求出a及a"。B為最前、最后點(diǎn)，根據(jù)b'，可求出b"，進(jìn)而求出b，如圖2.36(b)所示。

(2)利用輔助素線法求一般點(diǎn)作輔助素線，s‘l'與截交線的正面投影相交，得m'，求出輔助素線的其余兩投影sl及s"l"，進(jìn)而求出m和m"，如圖2.36(c)所示。

〔3〕畫截交線將求出的各點(diǎn)依次連成光滑的曲線，即為截交線的投影，

(4)判斷可見性完全輪廓線，加深完成全圖如圖2.36(d)所示。(b)(c)(d)圖2.36用輔助素線法求圓錐的截交線

4.用輔助平面法

求圖2.37(a)所示圓錐的截交線。分析：作垂直于圓錐軸線的輔助平面Q，Q平面與圓錐面的交線是一個(gè)圓，此圓與截平面P相交得Ⅱ、Ⅳ兩點(diǎn)，Ⅱ、Ⅳ是圓錐面、截平面P和輔助平面Q三個(gè)面的共有點(diǎn)，當(dāng)然也是截交線上的點(diǎn)。由于截平面P為正平面，截交線的水平投影和側(cè)面投影分別積聚為一直線，故只需作出正面投影。(a)圖2.37利用輔助平面求圓錐的截交線

作圖步驟:(1)求特殊點(diǎn)Ⅲ為最高點(diǎn)，根據(jù)側(cè)面投影，可求出3及3'。Ⅰ、V為最低點(diǎn)，根據(jù)水平投影1及5，可求出1‘、5'及1"、5"，如圖2.37(b)所示。(2)利用輔助平面法求一般點(diǎn)作輔助平面Q與圓錐相交，交線是圓(稱為輔助圓)，輔助圓的水平投影與截平面的水平投影相交于2和4，即為所求共有點(diǎn)的水平投影。根據(jù)水平投影2和4，再求出2‘、4’及2"、4"，如圖2.37(c)所示。(3)畫截交線將求出的各點(diǎn)依次連成光滑的曲線，即為截交線的正面投影。(4)判斷可見性，完成輪廓線，加深完成全圖如圖2.37(d)所示。(b)(c)(d)圖2.37利用輔助平面求圓錐的截交線

5.根據(jù)被切圓球的主視圖，如圖2.38〔a〕、〔b〕所示，補(bǔ)畫俯、左視圖。分析:圓球被任何位置的平面切割，截交線都是圓。由于該圓球的凹槽是由兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面切割而成，其三段被切出的截交線都是圓形的一局部，且在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形，另兩面投影均積聚成直線，故作圖的關(guān)鍵是找出畫這三段截交線圓的半徑、、。另外，還要注意圓球原有外形輪廓線的變化情況，如開槽局部的外形輪廓線，在水平投影和側(cè)面投影中均被切掉，以及槽底側(cè)面投影的可見性判斷。(a)(b)圖2.38補(bǔ)畫被切圓球的俯、左視圖

作圖:〔1〕求水平截交線的投影；〔2〕求側(cè)面截交線的投影；〔3〕完成全圖，并加深。(c)(d)(e)圖2.38補(bǔ)畫被切圓球的俯、左視圖

6.求作頂尖頭部的截交線，如圖2.39〔a〕所示。分析：頂尖是軸線垂直于側(cè)面的圓錐和圓柱組成的同軸回轉(zhuǎn)體，圓錐與圓柱的公共底圓是它們的分界線。頂尖的切口由平行于軸線的平面P和垂直于軸線的平面Q(側(cè)平面)截切。P平面與圓錐的截交線為雙曲線，與圓柱的截交線為兩條直線；Q平面與圓柱的交線為一圓弧。平面P和Q相交于直線段。(a)圖2.39頂尖頭部的截交線作圖步驟:〔1〕求作P平面與頂尖的截交線。如圖2.39〔b〕所示，由于P的V面、W面的投影具有積聚性，因此只需求水平投影。先找出圓錐與圓柱的分界線，從V面投影可知分界點(diǎn)1'、2'，側(cè)面投影為1"、2"，可求出1、2。分界點(diǎn)左邊為雙曲線，通過取點(diǎn)可求出水平投影；右邊為直線，可直接畫出?！?〕Q平面的V面投影和H面投影都積聚為直線，W面投影為積聚到圓周的一段圓弧，可直接作出。(b)(c)圖2.39頂尖頭部的截交線

【工程訓(xùn)練】分析以下各立體的截交線，并補(bǔ)齊立體的三面投影圖2.40補(bǔ)各截?cái)囿w的截交線

〔a〕(b)(c)2.3.3識(shí)讀切割體的三視圖【知識(shí)要點(diǎn)】1.定義：線面分析法就是將物體的外表進(jìn)行分析，弄清各個(gè)外表的形狀和相對(duì)位置的方法，稱為線面分析法。2.看圖的方法步驟：就是以線框(及圖線)分析為根底，先分析物體外表的形狀，再分析各個(gè)外表之間的相對(duì)位置，最后將其加以歸納、綜合，想象出物體形狀的過程?！咎崾尽俊?〕要先確定切割體的原始形狀。明確切割體被切前的原形，便于根據(jù)截平面的位置分析截交線的形狀，也容易聯(lián)想其被切后的形狀?！?〕要先看容易看懂的局部，后看難以看懂的局部。把先看懂的局部“剝離〞出去后，余下的線條就比較清晰，容易分析和看懂。(3〕要善于進(jìn)行線框分析和投影分析。要理解“一個(gè)封閉的線框表示物體的一個(gè)面〞、“相鄰的兩個(gè)封閉線框表示物體上位置不同的兩個(gè)面〞的含義。在進(jìn)行線框分析時(shí)，應(yīng)先從具有特征的部位入手，找出另兩面的對(duì)應(yīng)投影，以形成一個(gè)線框組，在此根底上再進(jìn)行投影分析；假設(shè)一個(gè)線框?qū)?yīng)兩條線，那么表示為投影面平行面；假設(shè)一條線對(duì)應(yīng)兩個(gè)線框，那么表示為投影面垂直面；假設(shè)三個(gè)線框相對(duì)應(yīng)，那么表示為一般位置平面。尤其應(yīng)注意視圖中的斜線，它們一般為投影面垂直面的投影，要抓住其積聚性投影和另兩面投影為邊數(shù)相等的類似形的特點(diǎn)，應(yīng)用于讀圖。3.由兩視圖補(bǔ)畫第三視圖是訓(xùn)練看圖能力，培養(yǎng)空間想象能力的重要手段補(bǔ)畫視圖的步驟為:先根據(jù)視圖想象物體的大致形狀；再按線框分析，逐個(gè)面地補(bǔ)畫；補(bǔ)完后，要將三個(gè)視圖聯(lián)系起來識(shí)讀，想象物體確實(shí)切形狀?！竟こ虒?shí)訓(xùn)】1. 識(shí)讀圖2.41〔a〕所示的三視圖(l)從三視圖的外形可以看出，該形體的原形為長方體；(2)分析面的形狀從左視圖右側(cè)具有明顯特征的缺口入手，斜線4"及其對(duì)應(yīng)投影4'、4所形成的線框組為“一線對(duì)兩框〞，故表示側(cè)垂面(四邊形)；與其相接的上、下兩豎線及其另兩面投影所形成的線框組為“一框?qū)删€〞，均表示正平面(四邊形)；另一特征是主視圖中的斜線2'，據(jù)此找出2、2"，其線框組為“一線對(duì)兩框〞，故表示正垂面(六邊形)；同樣，可分析出線框Ⅰ〔1、1'、1"〕為正平面(三角形)，線框Ⅲ〔3、3'、3"〕為側(cè)平面(矩形)(a)圖2.41識(shí)讀切割體的三視圖〔3〕分析面的相對(duì)位置

根據(jù)線框判別相鄰?fù)獗淼那昂?、上下、左右或相交的相?duì)位置。希讀者自行分析。綜上所述，該體是由長方體用一個(gè)正平面和正垂面在左前部切掉一個(gè)三角塊，又用一個(gè)正平面和側(cè)垂面在前上方切掉一個(gè)四棱塊所形成的，如圖2.41〔b〕所示。注意：看圖時(shí)并不是要求對(duì)視圖中所有的線框都加以分析，一般只就一個(gè)主要視圖或在不同視圖中找出幾個(gè)主要線框進(jìn)行分析就可以了。圖2.41識(shí)讀切割體的三視圖(b)【工程訓(xùn)練】

由兩個(gè)視圖補(bǔ)畫漏線和第三視圖(a)(b)圖2.42補(bǔ)畫第三視圖

2.4相貫線【知識(shí)目標(biāo)】掌握各種求相貫線的方法,熟悉特殊相貫線的畫法?！炯寄苣繕?biāo)】能熟練地繪制圓柱與圓柱相交的相貫線的畫法,并能繪制圓錐與圓柱相交的相貫線，以及特殊情況下的相貫線。兩立體外表相交稱為相貫，其外表交線稱為相貫線。相貫線的性質(zhì):〔1〕相貫線是兩相交立體外表的共有線；〔2〕由于立體具有一定的范圍，所以相貫線不可能超出兩立體投影的輪廓線外，且一般是封閉的空間曲線。特殊情況下也可能是平面曲線或直線，亦可能是不封閉的。根據(jù)相貫線的性質(zhì)，求兩回轉(zhuǎn)體相貫線的問題，可歸結(jié)為求兩回轉(zhuǎn)體外表的共有點(diǎn)。求作相貫線的一般步驟是先作出相貫線上特殊點(diǎn)的投影，再求一般點(diǎn)的投影，最后判別可見性，并光滑連接，作出相貫線的投影。求相貫線投影常用的方法【知識(shí)要點(diǎn)】求相貫線的方法有外表取點(diǎn)法〔又稱投影的積聚性法〕、輔助平面法以及輔助球面法。我們這里只講前兩種方法。1.利用投影的積聚性法〔又稱外表取點(diǎn)法〕求相貫線的投影兩回轉(zhuǎn)體相交，如果其中有一個(gè)是軸線垂直于投影面的圓柱，那么相貫線在該投影面上的投影就積聚在圓柱面的積聚投影圓周上。這樣就可以在相貫線上取一些點(diǎn)，按回轉(zhuǎn)體外表取點(diǎn)的方法作出相貫線的其他投影。具體作圖步驟:〔1〕求特殊點(diǎn)；〔2〕求一般位置的點(diǎn)；〔3〕判別可見性并光滑連接。2.輔助平面法求相貫線的投影輔助平面法是用輔助平面同時(shí)截切相貫的兩回轉(zhuǎn)體，在兩回轉(zhuǎn)體外表得到兩條截交線，這兩條截交線的交點(diǎn)即為相貫線上的點(diǎn)。這些點(diǎn)既在相貫兩立體外表上，又在輔助平面上，因此，輔助平面法就是利用三面共點(diǎn)的原理，作假設(shè)干個(gè)輔助平面求出相貫線上一系列共有點(diǎn)即可求得相貫線。選用輔助平面的原那么是:應(yīng)使輔助平面與兩相貫體的截交線的投影同為最簡單的直線或圓，一般選用投影面平行面作為輔助平面。用輔助平面法求相貫線的主要步驟如下:〔1〕設(shè)置合理的輔助平面；〔2〕求出輔助平面與回轉(zhuǎn)體外表的交線的投影,輔助平面與乙回轉(zhuǎn)體外表相交得截交線N，輔助平面與甲回轉(zhuǎn)體外表相交得截交線M，那么M、N兩組截交線的交點(diǎn)A、B即為相貫線上的點(diǎn)；〔3〕求出交線的交點(diǎn)A、B的投影，再返回到輔助平面的積聚性投影上，以求得該點(diǎn)的另一面投影，并用光滑的曲線連接，即得相貫線。【工程實(shí)訓(xùn)】1.如圖2.43〔a〕所示，兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。分析：兩圓柱的軸線正交，且軸線分別垂直于H面和W面，相貫線是前、后、左、右對(duì)稱的一條封閉的空間曲線。因?yàn)榇髨A柱面的側(cè)面投影及小圓柱面的水平投影都具有積聚性，因此相貫線的水平投影和小圓柱的水平投影重合，是一個(gè)圓；相貫線的側(cè)面投影和大圓柱的側(cè)面投影重合，是一段圓弧。要求的是相貫線的正面投影。(a)(b)圖2.43兩圓柱正交的相貫線作圖步驟〔1〕求特殊的點(diǎn)從水平投影和側(cè)面投影可以看出，相貫線的最高點(diǎn)為1、2，同時(shí)也是最左、最右點(diǎn)；最低點(diǎn)為3、4，同時(shí)又是最前、最后點(diǎn)；由于水平投影1、3、2、4和對(duì)應(yīng)的側(cè)面投影1“、3〞、〔2“〕、4〞均為，因此可求出其正面投影1、3(2)、4?！?〕求一般位置的點(diǎn)由于相貫線的水平投影具有積聚性且為，可直接在水平投影上取5、6、7、8四點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律找出其側(cè)面投影()、()，再由水平、側(cè)面投影即可求出其正面投影()、()。〔3〕判別可見性并光滑連線順次光滑連接各點(diǎn)，可見的點(diǎn)之間用粗實(shí)線連接，不可見的點(diǎn)用虛線連接。因?yàn)橄嘭灳€前后對(duì)稱，因此只畫出前半局部可見的相貫線投影即可。2.由于圓柱面可以是圓柱體的外外表，也可以是圓柱孔，因此兩圓柱軸線垂直相交可以有三種形式:兩圓柱外外表相交、外外表與內(nèi)外表相交、兩內(nèi)外表相交。外外表與內(nèi)外表相交、兩內(nèi)外表相交相貫線的形狀，如圖2.44所示?！咎崾尽績蓚€(gè)不等徑正交圓柱的相貫線，總是由小圓柱向大圓柱內(nèi)彎曲，并且兩圓柱直徑相差越小，曲線頂點(diǎn)越向大圓柱軸線靠近?！瞐〕(b)圖2.44常見的兩圓柱內(nèi)外表相貫的情況3.求圓柱與半球的相貫線，如圖2.45所示。分析：由于圓柱的軸線垂直于側(cè)面，所以相貫線的側(cè)面投影與該圓柱側(cè)面投影重合，因此只需求出其正面投影和水平投影。圖2.45圓柱與半球相交(a)(b)作圖步驟：〔1〕求特殊位置的點(diǎn)最高點(diǎn)Ⅰ和最低Ⅱ(也是最右、最左點(diǎn))的正面投影、可直接定出，水平投影1、〔2〕可根據(jù)正面投影求出。最前、最后點(diǎn)V、Ⅵ的投影，可用輔助平面Q作出水平投影5、6和正面投影?！?〕再求一般位置點(diǎn)用輔助水平面P求出Ⅲ、Ⅳ點(diǎn)的水平投影3、4和正面投影、()?！?〕判斷可見性，通過各點(diǎn)光滑連線。因相貫體前后對(duì)稱，所以相貫線正面投影的前半局部和后半局部重合為一段曲線。水平投影5、6為可見與不可見的分界點(diǎn)，所以把5、3、1、4、6連成實(shí)線，把6、〔2〕、5連成虛線?！竟こ逃?xùn)練】1.分析以下兩圓柱體的相貫線，并補(bǔ)全各面的投影，如圖2.46所示。2.分析以下圓柱體與圓錐體相交的相貫線，并補(bǔ)全各面的投影，如圖2.47所示。圖2.46補(bǔ)全兩圓柱體相貫線的投影

2.47圖補(bǔ)全圓柱體與圓錐臺(tái)相貫的相貫線的投影【知識(shí)要點(diǎn)】1.相貫線的特殊情況