山西省朔州市懷仁市第九中學校2023-2024學年九年級上學期月考數(shù)學試題（含解析）

23-24第一學期三階段檢測九年級數(shù)學試題（卷）（滿分120分，檢測時間120分鐘）第I卷（選擇題）30分一、單項選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分）1．下列四個車標圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的異號實數(shù)根C．有兩個不相等的同號實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根3．已知拋物線經(jīng)過點(0，5)，且頂點坐標為(2，1)，關(guān)于該拋物線，下列說法正確的是（

）A．表達式為 B．圖象開口向下C．圖象與軸有兩個交點 D．當時，隨的增大而減小4．甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，描述錯誤的是（

）A．甲，乙獲勝的概率均低于0.5 B．甲，乙獲勝的概率相同C．甲，乙獲勝的概率均高于0.5 D．游戲公平5．今年為慶祝共青團成立100周年，教體局舉行籃球友誼賽，初賽采用單循環(huán)制（每兩支球隊之間都進行一場比賽），據(jù)統(tǒng)計，比賽共進行了28場，則一共邀請了多少支球隊參加比賽？設(shè)一共邀請了支球隊參加比賽．根據(jù)題意可列方程是（

）A． B． C． D．6．如圖，是的弦，是的切線，A為切點，經(jīng)過圓心．若，則的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°7．如圖，AB為⊙O的弦，點C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．8．已知a，b是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（

）A．2026 B．2024 C．2022 D．20209．如圖，正方形的邊長為，動點，同時從點出發(fā)，在正方形的邊上，分別按，的方向，都以的速度運動，到達點運動終止，連接，設(shè)運動時間為，的面積為，則下列圖象中能大致表示與的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．10．已知二次函數(shù)，其函數(shù)與自變量之間的部分對應值如下表所示，則下列式子：①，②當時，，③，④關(guān)于的一元二次方程的解是，．正確的個數(shù)是（

）10A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第II卷（非選擇題）90分二、填空題（共5個小題，每小題3分，共15分）11．寫出一個一元二次方程，它的根為－1和3，這個方程可以是．12．如圖，已知A（1，1），B（3，9）是拋物線y＝上的兩點，在y軸上有一動點P，當△PAB的周長最小時，則此時△PAB的面積為．13．如圖，點B、C、D都在半徑為6的⊙O上，過點C作ACBD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，則圖中陰影部分的面積．14．小明的講義夾里放了大小相同的試卷共12頁，其中語文4頁、數(shù)學2頁、英語6頁，他隨機地從講義夾中抽出1頁，抽出的試卷恰好是數(shù)學試卷的概率為．15．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），交y軸于點C，點P為拋物線對稱軸上一點．則△APC的周長最小值是．

三、解答題（共8個小題，共75分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16．用合適的方法解方程(1)(2)(3)(4)．17．如圖1與圖2，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點及點均在格點上．請僅用無刻度直尺完成作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中，作關(guān)于點成中心對稱的；(2)在圖2中．①作繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，頂點仍在格點上的；②請直接寫出：點到的距離為_________．18．“學習強國”學習平臺是以習近平新時代中國特色社會主義思想和黨的二十大“堅持以中國式現(xiàn)代化推進中華民族偉大復興”精神為主要內(nèi)容的優(yōu)質(zhì)平臺，這個平臺功能強大，其中有個學習項目是“四人賽”，參與比賽的四人都可以完成兩局．其積分規(guī)則如下：首局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分；第二局第一名積2分，其余名次各積1分；每日僅前兩局得分．(1)若李老師只完成了首局比賽，他獲得的積分是幾分的概率最大？(2)若李老師完成了前兩局比賽，求他前兩局積分之和恰好是4分的概率．19．某公園要鋪設(shè)廣場地面，其圖案設(shè)計如圖所示．矩形地面的長為50米，寬為32米，中心建設(shè)一個直徑為10米的圓形噴泉，四周各角留一個相同的矩形花壇，圖中陰影處鋪設(shè)地磚．已知矩形花壇的長比寬多15米，鋪設(shè)地磚的面積是1125平方米．（取3）(1)求矩形花壇的寬是多少米；(2)四個角的矩形花壇由甲、乙兩個工程隊負責綠化種植，甲工程隊每平方米施工費為100元，乙工程隊每平方米施工費為120元．若完成此工程的工程款不超過42000元，至少要安排甲隊施工多少平方米？20．已知二次函數(shù)．(1)求這個二次函數(shù)的圖象的頂點的坐標，并指出當隨的增大而增大時，自變量的取值范圍；(2)求這個二次函數(shù)圖象與軸的交點A，B的坐標（點A在點B的左邊）及的面積．21．將圖中的破輪子復原，已知弧上三點A，B，C．(1)畫出該輪的圓心；(2)若是等腰三角形，底邊cm，腰AB＝10cm，求弧BC的長．22．請閱讀下列材料，并完成相應的任務(wù)．人類會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國的墨子給出圓的概念：“一中同長也．”．意思說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等．這個定義比希臘數(shù)學家歐幾里得給圓下的定義要早100年．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù)．下面是弦切角定理的部分證明過程：證明：如圖①，AB與⊙O相切于點A．當圓心O在弦AC上時，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾半圓所對的圓周角度數(shù)．如圖②，AB與⊙O相切于點A，當圓心O在∠BAC的內(nèi)部時，過點A作直徑AD交⊙O于點D，在上任取一點E，連接EC，ED，EA，則∠CED＝∠CAD．…任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖③，AB與⊙O相切于點A．當圓心O在∠BAC的外部時，請寫出弦切角定理的證明過程．23．如圖，拋物線過，兩點，點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線軸，交x軸于點H．(1)求拋物線的表達式；(2)求的面積；(3)若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當為等腰直角三角形時，點N的坐標為______．答案與解析1．D【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．B【分析】先計算出根的判別式△的值，根據(jù)△的值就可以判斷根的情況．【詳解】解：一元二次方程中，∵△=，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根,∵,∴原方程有兩個不相等的異號實數(shù)根．故選：B．【點睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．3．D【分析】由二次函數(shù)頂點坐標可設(shè)拋物線解析式為頂點式，將(0，5)代入解析式求解．【詳解】解：∵拋物線頂點坐標為(2，1)，∴，將(0，5)代入得，解得，∴，故選項A不符合題意；∵a=1>0，∴圖象開口向上，故選項B不符合題意；∵頂點坐標為(2，1)，且圖象開口向上，∴圖象與軸沒有有兩個交點，故選項C不符合題意；∵a=1>0，且對稱軸為直線x=2，∴時，隨增大而減小，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．4．C【分析】根據(jù)游戲結(jié)局共有三種情形，其中甲、乙獲勝的概率都為，即可求解．【詳解】解：甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，結(jié)局有甲獲勝（乙輸）、平局、乙獲勝（甲輸），三種結(jié)局，其中，甲、乙獲勝的概率都為，則A，B，D，選項正確，C選項錯誤．故選C【點睛】本題考查了概率公式求概率，游戲的公平性，求得概率是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】設(shè)一共邀請了x支球隊參加比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩支球隊之間都進行一場比賽），則每個隊參加（x-1）場比賽，則共有場比賽，可以列出一元二次方程．【詳解】解：設(shè)一共邀請了x支球隊參加比賽，由題意得，．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)比賽場數(shù)與參賽隊之間的關(guān)系為：比賽場數(shù)=隊數(shù)×（隊數(shù)-1）÷2，進而得出方程是解題關(guān)鍵．6．A【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半即可得解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵是的切線，A為切點，∴，即，又∵，∴，∴；故選：A．【點睛】本題考查圓的切線性質(zhì)和圓周角定理，熟練掌握圓的切線性質(zhì)和圓周角定理是解題的關(guān)鍵，遇到圓的切線時往往需要過切點連半徑．7．C【分析】過點O作OE⊥AB于點E，連接OA，OD，根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3，從而得到CE=1，然后設(shè)OE=x，根據(jù)勾股定理可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，過點O作OE⊥AB于點E，連接OA，OD，∴，∵AC＝4，BC＝2，∴BA=6，∴AE=BE=3，∴CE=1，設(shè)OE=x，∴，∵CD⊥OC，∴，∴或（舍去）．故選：C【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可得出a2+a=3，a+b=?1，將其代入即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵a，b是方程x2+x?3=0的兩個實數(shù)根，∴a2+a=3，a+b=?1，∴b=-a-1，=2026故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值問題，熟練掌握和運用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形，分情況討論：①時，根據(jù)，列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象；②時，根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象，再結(jié)合四個選項即可得解．【詳解】①當時，∵正方形的邊長為，∴；②當時，，所以，與之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項，只有A選項圖象符合，故選A．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意，分別求出兩個時間段的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】觀察圖表可知，開口向下，，二次函數(shù)在與時，值相等，得出對稱軸為直線，即可得出，在根據(jù)圖象經(jīng)過點，得出由此判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求得拋物線與軸的交點，即可判斷②；根據(jù)，即可判斷③；根據(jù)拋物線的對稱性求得點關(guān)于直線的對稱點是，即可判斷④．【詳解】解：①根據(jù)題意得：二次函數(shù)有最大值，，開口向下，對稱軸為直線，∴，，圖象經(jīng)過點，，，故說法正確；②對稱軸為直線，點關(guān)于直線的對稱點為，，開口向下，當時，，故說法正確；③當時，，，故說法錯誤；④點關(guān)于直線的對稱點是，關(guān)于的一元二次方程的解是，，故說法錯誤．綜上分析可得，正確的是：①②，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中．通過觀察圖表得出對稱軸為直線是解題的關(guān)鍵．11．x2-2x-3=0．【分析】設(shè)出解析式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：設(shè)方程x2+mx+n=0的兩根為-1和3，∴-m=-1+3，n=-1×3，∴m=-2，n=-3，∴該方程為x2-2x-3=0，故答案為：x2-2x-3=0．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．12．6【分析】根據(jù)拋物線y＝的性質(zhì)，作出B關(guān)于y軸的對稱點，連接交y軸于P，點P即為所求，再求出△PAB的面積即可．【詳解】解：如圖，作出B關(guān)于y軸的對稱點，則⊥y軸于點H，連接交y軸于P，則點P就是使△PAB的周長最小時的位置．∵拋物線y＝的對稱軸是y軸，B、關(guān)于y軸對稱，∴點P在拋物線y＝上，且，∴，∴此時△PAB的周長最小，∵B（3，9），∴（﹣3，9），∴＝6，點H的坐標是（0，9），∵A（1，1），∴點A到的距離為9－1＝8，設(shè)直線A的直線方程為y＝kx+b，把點A和點的坐標代入后得到，∴，解得，∴直線A的解析式為y＝﹣2x+3，當x＝0時，y＝3，∴P點的坐標為（0，3）,∴PH＝OH－OP＝6，此時，即△PAB的面積為6，故答案為：6．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征以及待定系數(shù)法求解析式，作出B的對稱點是本題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)條件證得，由此可知．【詳解】解：連接OC，交BD于點E，如圖所示，∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵∠OBD＝30°，∴∠OEB=∠CED=90°，∴BE=DE，在和中，∵，∴（ASA），∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查圓中的綜合應用，重點是利用三角形全等進行陰影面積的轉(zhuǎn)化．14．【分析】根據(jù)概率公式進行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等可能事件的概率，讀懂題意，知道共有12種等可能結(jié)果產(chǎn)生，其中是數(shù)學試卷的占了2種是解答本題的關(guān)鍵．15．+5【分析】先連接AP、AC、BC，根據(jù)兩點之間，線段最短得到△APC周長最小=BC+AC，根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出A、B、C三點坐標，用勾股定理求出BC、AC即可.【詳解】解：如圖，連接AP、AC、BC，

由線段垂直平分線性質(zhì)，得AP＝BP，∴△APC周長=AP+PC+AC=BP+PC+AC,∴當BC與對稱軸交點則為點P時，△APC周長=BP+PC+AC=BC+AC最小，拋物線y＝-x2+x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝-2；令x＝0，解得y＝3，∴A（-2，0），B（4，0），C（0，3），∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，在Rt△AOC中，有AC＝＝，在Rt△BOC中，有BC＝＝5，∴△APC的周長的最小值為：+5，故答案為+5．【點睛】本題是二次函數(shù)動點問題中的最短路徑問題，用對稱解決最短路徑問題是解題的關(guān)鍵.16．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直接開平方的方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴或，解得；（3）解：∵，∴，∴或，解得；（4）解：∵，∴，∴或，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．17．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點，，即可；（2）①利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可；②判斷出△ABC是直角三角形，利用等積法，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1中，即為所求．（2）解：①如圖2中，即為所求．②過點B作于點D，，，，∵，∴，且，∴，即，∴點B到的距離為，故答案為：．【點睛】本題考查-旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理和逆定理，點到直線的距離等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．18．(1)李老師獲得的積分是2分的概率最大(2)【分析】本題考查了用樹狀圖法求概率、概率公式等知識．（1）由概率公式分別求出得3分，2分和1分的概率即可得出結(jié)論；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中李老師前兩局積分之和恰好是4分的結(jié)果有5種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）李老師獲得的積分是3分的概率為，李老師獲得的積分是1分的概率為，李老師獲得的積分是2分的概率為，因為，所以，李老師獲得的積分是2分的概率最大；（2）畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中李老師前兩局積分之和恰好是4分的結(jié)果有5種，∴李老師前兩局積分之和恰好是4分的概率為．19．(1)矩形花壇的寬是5米(2)至少要安排甲隊施工300平方米【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用．（1）設(shè)矩形花壇的寬是x米，則長是米，根據(jù)陰影鋪設(shè)地磚的面積是1125平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排甲隊施工y平方米，則安排乙隊施工平方米，根據(jù)所需工程款=甲工程隊所需工程款+乙工程隊所需工程款，結(jié)合完成此工程的工程款不超過42000元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)矩形花壇的寬是x米，則長是米，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去）．答：矩形花壇的寬是5米．（2）設(shè)安排甲隊施工y平方米，則安排乙隊施工平方米，依題意得：，解得：．答：至少要安排甲隊施工300平方米．20．(1)；．(2)A，B；1．【分析】（1）先將二次函數(shù)解析式化為頂點式，從而得解；（2）令y=0，可求出點A，B的坐標，再用公式：求解即可．【詳解】（1）解：∵∴這個二次函數(shù)的圖象的頂點的坐標為：，當隨的增大而增大時，自變量的取值范圍是：（2）令，解得：．∴點A、B的坐標為：A，B∴AB=2，∴．【點睛】本題考查將一般式化為頂點式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，能將一般式化為頂點式，會求與x軸的交點是解題的關(guān)鍵．21．(1)見解析(2)cm【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點即為所求；（2）連接AO，OB，OC，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R，判定出△OAB和△OAC為等邊三角形，求出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長公式計算即可．【詳解】（1）解：如圖，點O即為圓心；（2）連接AO，OB，OC，BC，BC交OA于D．∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC=10cm，∵BC=cm，∴BD=cm，∴AD==5cm，設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD=（R-5）cm，∴，解得：R=10，∴△OAB和△OAC為等邊三角形，∴∠BOC為120°，∴弧BC的長為：=cm．【點睛】本題考查作圖-應用與設(shè)計作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．22．（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）利用圓周角定理得到∠DEA＝90°，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠CED＝∠CAD，最后利用等式的性質(zhì)即可得到∠CEA＝∠CAB；（2）通過∠C=90°說明∠CFA＋∠FAC＝90°，再根據(jù)同角的余角相等得到∠CAB＝∠CFA即可.【詳解】解：（1）∵AD是⊙O直徑，∴∠DEA＝90°．∵AB與⊙O相切于點A，∴∠DAB＝90°．∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB．∴弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù)；（2）證明：如圖，過點A作直徑AF交⊙O于點F，連接FC．∵AF是直徑，∴∠ACF＝90°．∴∠CFA＋∠FAC＝90°．∵AB與⊙O相切于點A，∴∠FAB＝90°．∴∠CAB＋∠FAC＝90°．∴∠CAB＝∠CFA，即弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù)．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識點，利用所學知識證明定理，熟記知識點是解題的關(guān)鍵．23．(1)(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)拋物線解析式求得對稱軸，進而求得點的坐標，根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，證